103 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Logarithmusfunktionen Bestimme die Definitionsmenge der Funktion f mit f(x) = 3·log5(x − 4). Zeichne den Graphen von f und erkläre außerdem, welche Zusammenhänge zwischen dem Graphen von f und dem Graphen von h mit h (x) = log5(x) bestehen. Da die Logarithmusfunktion nur für positive reelle Zahlen definiert ist, gilt: x − 4 > 0 ⇒ x > 4 ⇒ D f = (4; ∞) Der Graph von f entsteht durch Streckung des Graphen von h entlang der y-Achse mit dem Faktor 3. Außerdem wird der Graph um 4 Einheiten nach rechts verschoben. Zeichnen des Graphen der Logarithmusfunktion zur Basis b G f(x) = log(b, x) f(x) = log(5, x) C Grafik und Tabelle → y 1 = log5(x) → Hakerl setzen → $ T f(x) = log(x, b) f(x) = log(x, 5) oder ctrl 10x Bestimme die Definitionsmenge der Funktion f. Zeichne den Graphen von f mit Hilfe von Technologie und erkläre außerdem, welche Zusammenhänge zwischen dem Graphen von f und dem Graphen von h bestehen. a) f(x) = 2·log2(x − 2) h(x) = log2(x) d) f(x) = − 2 · log4(x + 3) h(x) = log4(x) b) f(x) = 4·log4(x + 5) h(x) = log4(x) e) f(x) = − 3 · log3(x + 2) h(x) = log3(x) c) f(x) = 1,5 · log3(x − 1) h(x) = log3(x) f) f(x) = 2·log2(x − 5) h(x) = log2(x) Zusammenfassung Exponentialfunktion f(x) = a·bx (a ∈ ℝ\{0} und b ∈ ℝ +) Es gilt: b = e λ bzw. λ = ln(b) f(x) = a·eλ·x mit λ ∈ ℝ (natürliche Exponentialfunktion) Es gilt: f(0) = aund f(x + 1) = f(x) · b bzw. f(x + h) = f(x) · b h Vergrößert man das Argument einer Exponentialfunktion um 1, dann ändert sich der Funktionswert auf das b-Fache. Wachstums- und Zerfallsprozesse N(t) = N 0 · b t N(t) = N 0 · e λ·t Exponentielles Wachstum b > 1 λ > 0 Exponentielle Abnahme 0 < b < 1 λ < 0 Ist der Quotient f(x + 1) _ f(x) bzw. f(x + h) _ f(x) stets nahezu konstant, dann ist ein exponentielles Modell sinnvoll. Ist die Differenz f(x + 1) − f(x) bzw. f(x + h) − f(x) stets nahezu konstant, dann ist ein lineares Modell sinnvoll. Muster 404 x y 2 h f 4 6 8 10 12 14 2 4 –2 0 Technologie 405 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –2 0 3 · 2x – 3 · 2x 2 1 _ 23 x 3 2 1 _ 23 x – 3 Ó Technologie Anleitung Logarithmus zeichnen 9qy4vz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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