100 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren 6 Lineares und exponentielles Modell In Lösungswege 5 wurden lineare Modelle erarbeitet. In diesem Kapitel wurden Prozesse mittels Exponentialfunktionen modelliert. Um abzuschätzen, ob und welches der beiden Modelle für eine bestimmte Aufgabe eingesetzt werden sollte, muss man die Eigenschaften der beiden Funktionen vergleichen: Lineares Wachstum f(x) = k · x + d, k > 0 Exponentielles Wachstum f(x) = a · b x, b > 1 x 1 2 3 4 5 –2 –1 1 2 3 –1 0 + 1 + k + k + 1 + k + 1 + 1 + k + 1 + k f f(x) x f(x) f 1 2 3 4 5 –2 –1 1 2 3 –1 0 + 1 • b + 1 • b + 1 + 1 + 1 • b • b • b Verändert man das Argument um 1, dann verändert sich der Funktionswert um k: f(x + 1) = f(x) + k Verändert man das Argument um 1, dann verändert sich der Funktionswert um den Faktor b: f(x + 1) = f(x) · b Verändert man das Argument um h > 0, dann verändert sich der Funktionswert um h · k: f(x + h) = f(x) + h · k Verändert man das Argument um h > 0, dann verändert sich der Funktionswert um den Faktor bh: f(x + h) = f(x) · b h Die mittlere Änderungsrate f(x + h) − f(x) _ h ist stets konstant und entspricht der Steigung k. Der Quotient f(x + h) _ f(x) ist stets konstant b h. In der Tabelle sieht man die Entwicklung der Einwohnerzahl einer Stadt. Beschreibe den Wachstumsvorgang durch eine Funktion und begründe, warum du dich für dieses Modell entscheidest. Jahr 2014 2016 2018 2021 Einwohnerzahl 12 300 13 650 14 900 17 500 Um zu überprüfen, ob ein lineares Modell sinnvoll ist, werden die mittleren Änderungsraten verglichen: mittlere Änderung von 2014 bis 2016: 13 650 − 12 300 _ 2 = 675 mittlere Änderung von 2016 bis 2018: 14 900 − 13 650 _ 2 = 625 mittlere Änderung von 2018 bis 2021: 17 500 − 14 900 _ 3 ≈ 867 Aufgrund der Abweichung bei der letzten Berechnung ist ein lineares Modell nicht sinnvoll. Um zu überprüfen, ob ein exponentielles Modell sinnvoll ist, wird jeweils der Faktor h 9 _ f(x + h) _ f(x) berechnet: Änderung von 2014 bis 2016: 13 650 _ 12 300 = b 2 ⇒ b = 1, 05 Änderung von 2016 bis 2018: 14 900 _ 13 650 = b 2 ⇒ b = 1, 045 Änderung von 2018 bis 2021: 17 500 _ 14 900 = b 3 ⇒ b = 1, 056 Die Veränderungsfaktoren sind ähnlich. Eine gute Annäherung wäre z.B. E (t) = 12 300 · 1,05t Ó Technologie Darstellung lineare und exponentielle Modelle j2xk8i Muster 394 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=