10 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Lernziele: º Definition von Potenzen mit Null und negativen ganzen Zahlen als Exponenten anwenden können º Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten anwenden können º Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten verstehen und anwenden können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.1 E infache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Beim Anwenden der Rechenregel für die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis aus 1.1 können ohne die Vorraussetzung m > n im Exponenten auch die Zahl null und negative Zahlen auftreten. Wie solche Potenzen interpretiert werden können, soll im Folgenden erläutert werden. Die Quotienten a 3 _ a 3 bzw. a 4 _ a 6 können auf zwei Arten bestimmt werden: Rechnen mit Brüchen Rechenregel für Potenzen Sind Zähler und Nenner eines Bruches identisch, ist der Wert des Bruches 1: a 3 _ a 3 = 1 Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. Dabei wird auch die Hochzahl null zugelassen (erweitertes Rechengesetz): a 3 _ a 3 = a 3 : a 3 = a 3 − 3 = a 0 Der Vergleich beider Ergebnisse ergibt: a0 = 1 Für den Quotienten a 4 _ a 6 gilt: a 4 _ a 6 = a · a · a · a _ a · a · a · a · a · a = 1 _ a · a = 1 _ a 2 Nach der Rechenregel für Potenzen gilt: a 4 _ a 6 = a 4 : a 6 = a 4 − 6 = a −2 Der Vergleich beider Ergebnisse ergibt: a −2 = 1 _ a 2 Wie die Beispiele zeigen, ist es sinnvoll auch Potenzen mit der Hochzahl 0 und mit negativen Exponenten zu definieren. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Für alle a ∈ ℝ\{0} und n ∈ ℕ gilt: (1) a 0 = 1 (2) a −n = 1 _ a n Stelle den Term mit positiven Exponenten dar und löse dann die Klammern auf. a) (− 3 x 2) −4 b) − (3 x 5) −2 a) (− 3 x 2) −4 = 1 _ (– 3 x 2) 4 = 1 _ 81 x 8 Das Vorzeichen wird mitpotenziert. b) − (3 x 5) −2 = − 1 _ (3 x 5) 2 = − 1 _ 9 x 10 Das Vorzeichen wird nicht mitpotenziert. Stelle mit positiven Exponenten dar. a) x −3 b) y −5 c) (3x) −1 d) (5y) −2 e) (2y) −3 f) (x 2) −2 g) (x y 2) −4 h) (x 3 y 2) −2 Kompetenzen Merke Muster 22 23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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