Mathematik Oberstufe Lösungswege 6 Freiler | Marsik | Olf | Wittberger QuickMedia App für Lösungen
Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: mauritius images / Alamy / Andrew Lloyd Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Helene Ranetbauer, Wien; Christiane Schütz, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11494-5 (Lösungswege OS SB 6 + E-Book) ISBN 978-3-209-11506-5 (Lösungswege OS SB 6 + E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13050-1 (Lösungswege OS SB 6 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13047-1 (Lösungswege OS SB 6 E-BOOK+ Solo) Lösungswege 6, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer 210228 Lösungswege 6, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 210230 Lösungswege 6, E-Book Solo Schulbuchnummer 211408 Lösungswege 6, E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 211410 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 18. Juli 2023, BMBWF-GZ: 2021-0.727.606, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 6. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Philipp Freiler | Julia Marsik Markus Olf | Markus Wittberger Mathematik Oberstufe Lösungswege www.oebv.at 6 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. In der App-Medienliste findest du durchgerechnete Lösungen für alle mit markierten Aufgaben. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt So arbeitest du mit Lösungswege 4 3. Semester Terme, Gleichungen und Ungleichungen Potenzen 6 1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 7 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 10 1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten 15 1.4 Potenzen mit reellen Exponenten 18 Tei®-1-Aufgaben 19 Tei®-2-Aufgaben 20 Se®bstkontro®®e 21 Logarithmus und Exponentialgleichungen 22 2.1 Logarithmus 23 2.2 Exponentialgleichungen 28 Tei®-1-Aufgaben 31 Tei®-2-Aufgaben 32 Se®bstkontro®®e 33 Ungleichungen 34 3.1 Lineare Ungleichungen 35 3.2 Betragsungleichungen 40 Tei®-1-Aufgaben 41 Tei®-2-Aufgaben 42 Se®bstkontro®®e 43 Funktionen Untersuchen reeller Funktionen 44 4.1 Monotonie und Extremstellen von Funktionen 45 4.2 Symmetrie und Periodizität 51 4.3 Bijektive Funktionen und Umkehrfunktionen 54 4.4 Verketten von Funktionen 56 4.5 Verallgemeinern des Funktionsbegriffs 57 4.6 Änderungsmaße 60 Tei®-1-Aufgaben 64 Tei®-2-Aufgaben 65 Se®bstkontro®®e 66 Reflexion: Definitionen und der indirekte Beweis 68 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen 70 5.1 Potenzfunktionen 71 5.2 Polynomfunktionen 78 Tei®-1-Aufgaben 81 Tei®-2-Aufgaben 83 Se®bstkontro®®e 84 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen 86 6.1 Graph und Eigenschaften der Exponentialfunktion 87 6.2 Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren 94 6.3 Logarithmusfunktionen 102 Tei®-1-Aufgaben 104 Tei®-2-Aufgaben 105 Se®bstkontro®®e 106 Winkelfunktionen 108 7.1 Das Bogenmaß 109 7.2 Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen 111 7.3 Harmonische Schwingungen 116 Tei®-1-Aufgaben 121 Tei®-2-Aufgaben 123 Se®bstkontro®®e 124 Folgen und Reihen Folgen 126 8.1 Zahlenfolgen und ihre Darstellung 127 8.2 Monotonie und Grenzwert 131 8.3 Arithmetische Zahlenfolgen 136 8.4 Geometrische Zahlenfolgen 139 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 143 Se®bstkontro®®e 144 Reflexion: Dunkel war’s, der Mond schien helle 145 4. Semester Reihen 146 9.1 Arithmetische Reihe 147 9.2 Geometrische Reihe 150 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 158 Se®bstkontro®®e 159 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Vektorrechnung Vektoren 160 10.1 Vektoren im Rn 161 10.2 Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum 165 10.3 Das Vektorprodukt 173 Tei®-1-Aufgaben 178 Tei®-2-Aufgaben 179 Se®bstkontro®®e 180 Geraden im Raum 182 11.1 Parameterdarstellung der Geraden 183 11.2 Lagebeziehungen von Geraden im Raum 186 Tei®-1-Aufgaben 192 Tei®-2-Aufgaben 193 Se®bstkontro®®e 194 Ebenen im Raum 196 12.1 Parameterdarstellung einer Ebene 197 12.2 Parameterfreie Darstellung einer Ebene 199 12.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen 201 12.4 Lagebeziehungen von Ebenen – lineare Gleichungssysteme 203 12.5 Abstandsberechnungen 208 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 212 Se®bstkontro®®e 213 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Beschreibende Statistik 214 13.1 Darstellen von Daten 215 13.2 Histogramm und Mehrfeldertafel 220 13.3 Manipulationsmöglichkeiten mit statistischen Graphiken 224 13.4 Statistische Kennzahlen 228 Tei®-1-Aufgaben 237 Tei®-2-Aufgaben 239 Se®bstkontro®®e 240 Wahrscheinlichkeit 242 14.1 Zufallsversuche 243 14.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff 246 14.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 254 Tei®-1-Aufgaben 258 Tei®-2-Aufgaben 259 Se®bstkontro®®e 261 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 262 15.1 Die Multiplikationsregel 263 15.2 Die Additionsregel 269 15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen 275 Tei®-1-Aufgaben 280 Tei®-2-Aufgaben 281 Se®bstkontro®®e 282 Anhang Beweise 284 Lösungen 286 Mathematische Zeichen 293 Register 294 Bildnachweis 296 10 11 12 13 14 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Hier gibt es eine On®ine-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inha®ten. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / On®ine-Code Suchen So arbeitest Du mit Lösungswege Liebe Schü®erin, ®ieber Schü®er, auf dieser Doppe®seite wird gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege strukturiert und aufgebaut ist. 6 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens ? 7 Kompetenzen 1.3 Prozentrechnen Lernzie®e: º º º Grundkompetenz für die schrift®iche Reifeprüfung: Vorwissen Theorie Technologie Merkwissen 1 Musteraufgabe mit Lösungen Tipp: Tipp Vorwissen Technologie Merke Muster Die Motivationsseite ist die erste Seite des Kapite®s und so®® Interesse für das Kapite® schaffen. Jedes Kapite® g®iedert sich in mehrere Unterkapite®, die durchnummeriert sind. Die Lernzie®e und Grundkompetenzen geben dir eine Übersicht über die wesent®ichen Themen des Abschnittes. Im Vorwissen wird kompakt der für das Fo®gende grund®egende und bereits ge®ernte Stoff zusammengeste®®t. In der Theorie werden die mathematischen Begriffe eingeführt und erk®ärt. Wo es sich anbietet, werden Tipps zum Techno®ogieeinsatz gegeben. Im Merkwissen werden zentra®e Inha®te zusammengefasst. Hi®feste®®ungen erhä®tst du bei den Tipps. Die Musteraufgaben zeigen Lösungsverfahren für wesent®iche Frageste®®ungen auf. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Auszeichnung der Aufgaben Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Aufgabe zur Ref®exion über die Mathematik Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung Aufgaben, die ohne TR zu ®ösen sind Aufgaben, die in der QuickMedia App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 6 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 8 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 10 > Prozentrechnen Zusammenfassung Am Ende des ®etzten Unterkapite®s werden in der Zusammenfassung die wesent®ichen Inha®te aufgezeigt. 11 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-1-Aufgaben Tei®-1-Aufgaben 13 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-2-Aufgaben Tei®-2-Aufgaben 14 1 > Selbstkontrolle Se®bstkontro®®e Bei der Se®bstkontro®®e werden die Lernzie®e nochma®s benannt und entsprechende Aufgaben angeboten, deren Lösungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Im Bereich Tei®-1-Aufgaben befinden sich Aufgaben passend zum Tei®-1 der SDRP. Die Lösungen befinden sich am Ende des Buches. Passend zum Teil-2 der SDRP werden hier entsprechende Aufgaben passend zum Kapite® angeboten. Die erste Aufgabe ist kontextreduziert. 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 1 Potenzen Wir Menschen können mit Vielfachen ganz gut umgehen. Wenn wir wissen, was ein Apfel ist, können wir uns die Menge von 10, 100 oder 1000 Äpfel spontan ganz gut vorstellen. Bei der Einschätzung von Potenzen stößt unsere Vorstellung schnell an ihre Grenzen. Wenn wir wissen, dass 103 Sekunden nicht ganz 17 Minuten entsprechen, so können wir den Zeitraum 106 oder 109 Sekunden spontan kaum abschätzen. Ó Video „Powers of ten“ im E‑Book+ Mit Potenzen mächtig überfordert Die Tagesaktuellen 14.5.22 Wie vie®es in der Mathematik, aber nicht nur dort, sind die Erfindung von Zah®en und das Rechnen damit aus a®®täg®ichen Prob®emen entstanden und aus dem Bedürfnis heraus, diese zu vereinfachen und mit mög®ichst wenig (Denk-)Anstrengung zu ®ösen. Zu diesen Vereinfachungen zäh®en sicher auch die Mu®tip®ikation und die Potenzschreibweise, wobei letztere wiederho®tes Mu®tip®izieren geschickt beschreibt. Es ist sicher bequemer, anstatt „6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6“ die Mu®tip®ikation „6 · 6“ oder anstatt „6 · 6 · 6 · 6 · 6“ einfach „65“ anzuschreiben und zu berechnen. Mathe-HÜ-Gruppe Hey Leute, was soll bitte 6 hoch 0 sein? Echt? Hätte ich mir nicht gedacht. Vielen Dank! 6 hoch 3 verstehe ich ja gerade noch, also 6 · 6 · 6 = 216. Aber 6 hoch 0 ⁉ 樂 Und? Was meinst du? Was würde denn antworten, wenn man danach fragt, was 6– 1 ist? Wenn du 6 gar nicht mit sich selbst multiplizierst, dann kommt einfach 6 heraus. Sicher?! 6 hoch 1 ist doch 6. Bei 6 hoch 0 wird 6 nicht einmal hingeschrieben. Also ist es nichts, also 0! 6 hoch 3 ist doch 216 und 6 hoch 2 ist 36 und 6 hoch 1 ist 6. Da sieht man doch eine Regelmäßigkeit: Wenn die Hochzahl um eins weniger wird, dann wird das Ergebnis durch 6 dividiert. 6 hoch 0 ist also 6 durch 6, daher 1! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten Lernziele: º Die Deutung einer Potenz mit natürlichem Exponenten (≠ 0) als wiederholte Multiplikation kennen º Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten kennen und anwenden können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.1 E infache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Potenzen mit natürlichen Exponenten Eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten (einer natürlichen Hochzahl) stellt die wiederholte Multiplikation ein und desselben Faktors (Basis) dar. Dabei gibt der Exponent an, wie oft der Faktor auftritt. Allgemein gilt für a ∈ ℝ und n ∈ ℕ\{0}: a n = a · a · ... · a (n Faktoren) und a1 = a. Gib in Potenzschreibweise bzw. als wiederholte Multiplikation an. a) e · e · e · e · e · e c) (a + b) · (a + b) e) 10 6 g) (x − y) 4 b) v · v · v · v d) a · a · b · b · a · a f) x 5 h) (a + b) 2 · (a − b) 3 Berechne den Wert der Potenz. a) (− 3) 4 b) (− 3) 3 c) − 3 4 a) (− 3) 4 = (− 3) · (− 3) · (− 3) · (− 3) = 3 4 = 81 b) (− 3) 3 = (− 3) · (− 3) · (− 3) = − 3 3 = − 27 c) − 3 4 = (− 1) · 3 · 3 · 3 · 3 = (− 1) · 3 4 = − 81 –1 wird nicht potenziert! Berechne den Wert der Potenz. a) (− 2) 3 b) (− 2) 4 c) − 2 6 d) (− 2) 8 e) (− 2) 5 f) − 2 7 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A − 2 4 ≠ (− 2) 4B − 2 4 = (− 2) 4C (− 2) 3 ≠ − 2 3D (− 1) 3 = − 1 3 E (− 1) 9 = (− 1) 10 Begründe: Für a ∈ ℝ+ und n ∈ ℕ\{0} gilt: a) (− a) n = a n, wenn n gerade b) (− a) n = − a n, wenn n ungerade Zehnerpotenzen Potenzen mit der Basis 10 (101 = 10, 102 = 100, 103 = 1 000usw.) werden Zehnerpotenzen genannt. Große Zahlen lassen sich mit Zehnerpotenzen übersichtlich darstellen. z.B. 7 000 000 000 = 7 · 109 Ist die Zahl vor der Zehnerpotenz zwischen 0 und 10, spricht man von der Gleitkommadarstellung. Schreibe die Zahl mit einer Zehnerpotenz. a) 3 000 b) 50 000 c) 7 000 000 d) 9 000 000 000 000 Schreibe die Zahl ohne Zehnerpotenz. a) 2 · 104 b) 12 · 105 c) 8 · 107 d) 172 · 109 Kompetenzen Merke 1 Muster 2 3 t AG-R 2.1 M1 4 5 Merke 6 t t 7 24 Basis Potenz Exponent Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Potenzen > Potenzen mit natürlichen Exponenten 1 Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten Für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen mit gleichen Basen können Rechenregeln aufgestellt werden. Für die Multiplikation gilt: a4 · a 3 = a·a·a·a·a·a·a = a7 (4 + 3Faktoren) Für die Division gilt: a5 : a 2 = a 5 _ a 2 = a·a·a·a·a _ a · a = a 3 Nach dem Kürzen bleiben 5 − 2 = 3Faktoren übrig. Das Potenzieren von Potenzen ist ein wiederholtes Multiplizieren derselben Potenz. Es gilt: (a 3) 2 = a 3 · a 3 = a 3 + 3 = a 3·2 = a 6 Werden Produkte bzw. Quotienten mit unterschiedlichen Faktoren bzw. Zählern und Nennern potenziert, können dafür ebenfalls Rechenregeln hergeleitet werden. Für (a · b) 4 gilt: (a · b) 4 = (a · b) · (a · b) · (a · b) · (a · b) = (a · a · a · a) · (b · b · b · b) = a 4 · b 4 Analoge Überlegungen gelten für ( a _ b) 3 : ( a _ b) 3 = ( a _ b) · ( a _ b) · ( a _ b) = a · a · a _ b · b · b = a 3 _ b 3 Aufgrund dieser Überlegungen kann man folgende Rechenregeln vermuten: Potenzen mit gleicher Basis und gleichen Exponenten Für alle a , b ∈ ℝ und m, n ∈ ℕ\{0} gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (mit a ≠ 0und m > n) (3) (a m) n = a m·n (4) (a · b) n = a n · b n (5) (a : b) n = ( a _ b) n = a n _ b n (mit b ≠ 0) Formuliere die Rechengesetze (1), (2) und (3) in Worten. Berechne und gib die verwendete Rechenregel an. a) x 3 · x 5 b) y · y 2 · y 3 c) z 6 _ z 4 d) w 10 : w 5 e) (c 4) 6 f) (d 5) 4 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E y 7 : y 6 = y x 4 · x 4 = x 16 z 3 · z 3 = 2z3 a 4 · a 3 = a 2 · a 5 a · a 4 : a 3 = a Begründe allgemein die Rechenregeln a) (1), (2) und (3) b) (4) und (5). Vereinfache die Terme. a) (− c) 5 : c 3 c) (2y) 3 : (− 2y) e) r 5y : r 4y g) t 2y : t y b) (− x) 5 : (− x) 2 d) z 5 : (− z) 4 f) s 3a : s a h) u 10a : u 8a Berechne unter Verwendung der Regeln (4) und (5). a) (0, 5 x 2 y 4) 6 b) ( y 4 _ 2 ) 6 c) (x 2 : y 4) 5 d) (− 3a) 4 e) (− 2a b 3) 5 f) (− x 2 _ y 5 ) 3 Merke 8 t 9 AG-R 2.1 M1 10 ó 11 t 12 t 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Potenzen > Potenzen mit natürlichen Exponenten Vereinfache den Term (– 2 a 3) 2 · b 5 _ 6 a 4 b 3 . Zuerst muss man die Klammern ausmultiplizieren. Berücksichtige dabei das Vorzeichen: (– 2 a 3) 2 · b 5 _ 6 a 4 b 3 = (– 2) 2 · ( a 3) 2 · b 5 _ 6 a 4 b 3 = 4 a 6 b 5 _ 6 a 4 b 3 = 4 _ 6 · a 6 − 4 · b 5 − 3 = 2 _ 3 · a 2 b 2 Vereinfache die Terme. a) 8 a 8 b 7 c 4 _ − 2 a 2 b c 3 b) (− 2) 3 a 4 b 3 c 2 _ 4 a 2 b 3 c c) 9 x 4a y 3a _ 3 x a y 2a d) (– 3 x 4 y) 3 z 6 _ 9 x 8 y z 5 e) (3 z 2x) 3 _ (− 3) 2 z x f) (2 x 3y) 4 _ (− x y) 3 Vereinfache so weit wie möglich. a) (3 a 2) 2 · (− a) 3 b) (2 a 4) 3 · (3 a 5) 2 c) (− 2 a 4) 2 : (− 4 a 5) d) (3 a 3) 4 · 9 : (− 9 a 10) Stelle als Term ohne Klammern dar und vereinfache so weit wie möglich. a) ( x _ 2) 4 · (2 x 2) 3 c) (− x 5 _ 3 ) 4 : (− x 9) e) (x 3 _ 2 ) 3 : 1 _ (x 2) 2 g) ( 4 _ x 2 : − (2x) 2 _ 16 ) · (− 4 x 3) b) (2 _ 3 x 2) 3 · (x 3 _ 2 ) 2 d) (x 3 _ 2 · 3 x 2 _ 4 ) 2 f) (− 2 x 4 _ 3 ) 3 ∶ (– x 2) 3 _ 6 h) (− x 4 _ 2 ) 2 : (− 3 _ x 2) 3 Stelle als Term ohne Klammern dar und vereinfache so weit wie möglich. a) (− 3 a 2 b _ ab ) 3 · ( 4a b 3 _ − 2a b 2 ) 2 c) ( x 3 y 4 _ − x 2 ) 5 · ( − 2 x 2 y 3 _ − x y 2 ) 3 e) ( 2 x 3 y 2 _ xy ) 2 · (− 3 x 2 y _ x 3 ) 2 g) − (4 a 3 b 6 _ a b 2 ) 2 : (− 2 a 2 b 2 _ 3 b 4 ) 4 b) (− x 4 _ y 5 ) 3 ∶ (− x _ y 3) 2 d) (− 9 t 6 _ 10 u 4) 2 : (− 3 t 2 _ 5 u 5) 2 f) (− s 3 _ t 4 ) 3 : (− t 2 s _ s 4 ) 4 h) 5 x 3 y 5 _ 6 x 2 y 2 · (− 2 x 2 y _ x 3 y 4 ) 4 Potenzen von Binomen Die folgenden binomischen Formeln sind schon bekannt: (a + b) 2 = (− a − b) 2 = a 2 + 2ab + b2 (a − b) 2 = (− a + b) 2 = a 2 − 2ab + b2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a2 b + 3a b2 + b 3 (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3a b2 − b 3 Zeige durch Ausmultiplizieren die Richtigkeit der obigen binomischen Formeln. Die Potenz (a + b) 4 lässt sich durch Aufspalten in ein Produkt umwandeln und berechnen. (a + b) 4 = (a + b) 3 · (a + b) = (a 3 + 3 a2 b + 3a b2 + b 3) · (a + b) = a 4 + 4 a3 b + 6a2 b 2 + 4a b3 + b 4 Berechne die Potenzen der Binome. a) (5a + b) 2 b) (a − 7b) 2 c) (3a + 4b) 2 d) (10a − 9b) 2 e) (a − 3b) 3 f) (2a + b) 4 Berechne die Potenzen der Binome. Kontrolliere mit Technologieeinsatz. a) ( a 2 + 3) 2 b) (1 − b 3) 2 c) (a b 2 + 5) 2 d) (3 a 2 b 3 − 2 b 2) 2e) (2 − a 2 b) 3 f) (a + 3b2) 4 Potenzen von Binomen mit Basis (a + b) und Exponenten n �Multipliziere((a + b)^n) Multipliziere((2 – a^2*b)^3) − a 6 b 3 + 6 a4 b 2 − 12 a 2 b + 8 � expand((a + b)^n) expand((2 – a^2b)^3) − a 6 b 3 + 6 a4 b 2 − 12 a 2 b + 8 � expand((a + b)^n) expand((2 – a^2b)^3) − a 6 b 3 + 6 a4 b 2 − 12 a 2 b + 8 Muster 14 t 15 t 16 t 17 t 18 Vorwissen 19 t 20 21 Ó Arbeitsblatt Potenzen von Binomen z65vs9 Technologie Ó Technologie Anleitung Potenzen 9p9t4s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Lernziele: º Definition von Potenzen mit Null und negativen ganzen Zahlen als Exponenten anwenden können º Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten anwenden können º Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten verstehen und anwenden können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.1 E infache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Beim Anwenden der Rechenregel für die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis aus 1.1 können ohne die Vorraussetzung m > n im Exponenten auch die Zahl null und negative Zahlen auftreten. Wie solche Potenzen interpretiert werden können, soll im Folgenden erläutert werden. Die Quotienten a 3 _ a 3 bzw. a 4 _ a 6 können auf zwei Arten bestimmt werden: Rechnen mit Brüchen Rechenregel für Potenzen Sind Zähler und Nenner eines Bruches identisch, ist der Wert des Bruches 1: a 3 _ a 3 = 1 Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. Dabei wird auch die Hochzahl null zugelassen (erweitertes Rechengesetz): a 3 _ a 3 = a 3 : a 3 = a 3 − 3 = a 0 Der Vergleich beider Ergebnisse ergibt: a0 = 1 Für den Quotienten a 4 _ a 6 gilt: a 4 _ a 6 = a · a · a · a _ a · a · a · a · a · a = 1 _ a · a = 1 _ a 2 Nach der Rechenregel für Potenzen gilt: a 4 _ a 6 = a 4 : a 6 = a 4 − 6 = a −2 Der Vergleich beider Ergebnisse ergibt: a −2 = 1 _ a 2 Wie die Beispiele zeigen, ist es sinnvoll auch Potenzen mit der Hochzahl 0 und mit negativen Exponenten zu definieren. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Für alle a ∈ ℝ\{0} und n ∈ ℕ gilt: (1) a 0 = 1 (2) a −n = 1 _ a n Stelle den Term mit positiven Exponenten dar und löse dann die Klammern auf. a) (− 3 x 2) −4 b) − (3 x 5) −2 a) (− 3 x 2) −4 = 1 _ (– 3 x 2) 4 = 1 _ 81 x 8 Das Vorzeichen wird mitpotenziert. b) − (3 x 5) −2 = − 1 _ (3 x 5) 2 = − 1 _ 9 x 10 Das Vorzeichen wird nicht mitpotenziert. Stelle mit positiven Exponenten dar. a) x −3 b) y −5 c) (3x) −1 d) (5y) −2 e) (2y) −3 f) (x 2) −2 g) (x y 2) −4 h) (x 3 y 2) −2 Kompetenzen Merke Muster 22 23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 Potenzen > Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Stelle die Potenz 1) als Bruch mit positivem Exponenten 2) als Dezimalzahl dar. a) 10 −3 c) 5 −2 e) 2 −6 g) 6 −2 b) 10 −5 d) 5 −4 f) 2 −3 h) 4 −4 Vereinfache und stelle mit positiven Exponenten dar. a) (x 2) −2 c) (− 4 z) −1 e) − (xy) −2 g) (− 5x · y5) −2 b) (− x 2) −3 d) (− xy) −3 f) − (2 x 2 · y 3) −3 h) (− 2 x 3 · y 4) −5 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E 2 x −3 · y 0 · z 2 = z 2 _ 2 x 3 3 x −4 = 1 _ 3 x 4 x _ y 2 · 3 z3 = 3·x·y −2 · z −3 2 x −3 · y 0 · z 2 = 2 z 2 _ x 3 x _ y 2 · 3 z3 = 1 _ 3 ·x·y −2 · z −3 Schreibe den Ausdruck ohne Bruch an. a) 1 _ a 2 b) 1 _ b 4 c) 1 _ 2 3 d) 1 _ z 10 e) 2 _ c 8 f) a _ b 5 g) 2x _ y h) xy _ z 7 Berechne. a) r 0 b) 15 0 c) (− 0, 5) 0 d) 1 _ (− 1, 2) 0 e) − 5 _ (− 0, 5) 0 Zehnerpotenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten Zehnerpotenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten stellen Dezimalbrüche bzw. Dezimalzahlen dar. Es gilt: 10−1 = 1 _ 10 = 0,1; 10 −2 = 1 _ 10 2 = 1 _ 100 = 0, 01; 10 −3 = 1 _ 10 3 = 1 _ 1000 = 0, 001; ... usw. Sehr kleine Zahlen lassen sich damit übersichtlich darstellen: Z.B. 0 ,000000 6 = 6 · 0,000000 1 = 6 · 10−7 Ist die Zahl vor der Zehnerpotenz zwischen 0 und 10, spricht man von der Gleitkommadarstellung. Stelle die Zahl mit einer Zehnerpotenz dar. a) 0, 0004 b) 0, 000 006 c) 0,000 000 9 d) 0,000 000 000 2 Stelle die Zahl ohne Zehnerpotenz dar. a) 3 · 10−5 b) 7 · 10−8 c) 2,1 · 10−11 d) 4, 5 · 10−12 Ordne den Zahlen die entsprechende Darstellung zu. 1 31 · 10−5 A 0,000031 2 413 · 10−7 B 0,0031 3 41, 3 · 10−7 C 0,000413 4 3, 1 · 10−5 D 0,00031 E 0,0000413 F 0,00000431 24 25 AG-R 2.1 M1 26 ó 27 28 Merke t 29 t 30 AG-R 2.1 M1 31 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Potenzen > Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 1 Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die Potenzregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten gelten weiter. Bei der Division von zwei Potenzen mit gleicher Basis muss jedoch, nachdem auch negative Exponenten eingeführt worden sind, die Hochzahl des Zählers (des Dividenden) nicht mehr größer sein als die Hochzahl des Nenners (des Divisors). Potenzen mit gleicher Basis Für alle a , b ∈ ℝ\{0} und m, n ∈ ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (3) (a m) n = a m · n (4) (a · b) n = a n · b n (5) (a : b) n = ( a _ b) n = a n _ b n Die Beweise für die Regeln (1), (2) und (3) befinden sich im digitalen Zusatzmaterial. Schreibe den Term x −3 _ y −4 mit positiven Exponenten an. Dazu werden die Potenzen mit negativen Exponenten zuerst als Brüche geschrieben und der Doppelbruch danach aufgelöst. Dabei ist zu beachten: Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. x −3 _ y −4 = 1 _ x 3 _ 1 _ y 4 = 1 _ x 3 · y 4 _ 1 = y 4 _ x 3 Man erkennt: Die negativen Exponenten werden positiv, in dem man die Potenzen vom Zähler in den Nenner bzw. vom Nenner in den Zähler verschiebt. Schreibe mit positiven Exponenten an. a) x −5 _ y −1 c) x −2 · a −3 _ y −4 · b −5 e) x −1 _ 5 · y 4 g) 5 −3 x 2 _ y −7 i) a 3 · b −4 · c −6 _ 9 −1 d 3 b) a −1 · b _ c · d −2 d) 4 · x −6 _ y −6 f) x −1 · z −2 _ y 5 h) 2 a −2 · b −3 · c 4 _ 5 d −1 j) 3a · b −4 · c −2 _ d · e −1 · f 2 Stelle den Term mit positiven Exponenten dar und vereinfache so weit wie möglich. a) a −3 · b _ a · b −4 b) 2 −1 · c 2 _ c −2 · 2 3 c) x −2 _ 2 · x 2 d) 5 · x 5 _ x −6 e) 2 · x −6 · y _ 3 · x 6 Stelle mit positiven Exponenten und ohne Klammern dar. a) x + 1 _ x −2 b) 2x − y _ y −3 c) (a + b) −1 _ a + b d) 2a − b _ a −1 · b −2 e) a 2 − b 3 _ (2ab) −1 Schreibe als Bruch und löse die Klammer auf. a) (2a) −3 b) (− 2b) −4 c) (3 c 3) −2 d) (− 4 d 5) −3 e) (5 e 4) −4 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit einer positiven Hochzahl dar. a) 3 2 · 3 4 · 3 −7 b) 2 3 · 2 −5 · 2 −3 c) 5 −1 · 5 4 · 5 −3 d) 9 2 · 3 −2 · 3 −8 e) 8 −2 · 4 2 · 2 Löse die Klammern auf und stelle das Ergebnis mit positiven Exponenten dar. a) (a + a 2 + a −2) · a b) x −2 · (3 − 4 x 2 + 5x) c) (b 2 − b −3) · (b −1 + 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E x −3 : x −4 = x −7 x −3 · x −3 = x 9 x 0 : (x 2 · x −2) = 1 x −3 : x −3 = 0 (x −4) −3 = x 12 Merke Ó Vertiefung Beweis der Potenzregeln e2if3t Muster 32 33 34 35 36 37 38 AG-R 2.1 M1 39 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 Potenzen > Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Kreuze den zum Term − 3 · x 2 · y −3 _ 2 z −2 äquivalenten Term an. A B C D E F 2 · y −3 _ − 3 x −2 z −2 − 3 · x −2 · z 2 _ 2 y 3 2 · z 2 · y 3 _ 3 x 2 3 · x 2 · y 3 _ 2 z 2 − 1, 5 · x 2 · z 2 _ y 3 x 2 · z 2 _ 3 · 2y3 Stelle als eine Potenz dar. a) x −z · x −r + z b) (y −3) −12k c) z 5 + r : z 5 − 3r d) (a −7k + 1) 0 e) (a + 1) 3 · (a + 1) −5 Stelle die Potenz ( 2 _ x 3 · y) −4 mit einer positiven Hochzahl dar und löse dann die Klammer auf. Die Potenz mit der negativen Hochzahl wird als Bruch dargestellt und dieser Doppelbruch dann aufgelöst: ( 2 _ x 3 · y) −4 = 1 _ ( 2 _ x 3 · y ) 4 = 1 _ 2 4 _ (x 3 · y) 4 = (x 3 · y) 4 _ 2 4 = ( x 3 · y _ 2 ) 4 Man erkennt: Ist die Basis einer Potenz mit einem negativen Exponenten ein Bruch, vertauscht man Zähler und Nenner und die Hochzahl wird positiv. Nach den Rechenregeln (3), (4) und (5) gilt: ( x 3 · y _ 2 ) 4 = (x 3 · y) 4 _ 2 4 = x 12 · y 4 _ 16 Stelle erst die Potenz mit einer positiven Hochzahl dar und löse dann die Klammer auf. a) (x _ y ) −3 b) (a 4 _ 3 ) −2 c) ( a 3 _ 2 b 4) −1 d) ( 1 _ 5a b 2) −4 e) ( 2 x 3 y _ 5 ) −5 Stelle erst die Potenz mit einem positiven Exponenten dar und löse dann die Klammer auf. a) (2 _ z ) −4 b) (a 2 _ 3 ) −2 c) (a · b _ c ) −5 d) ( x · y 2 _ 4 ) −3 e) (a 2 · b 3 _ c · d 4 ) −6 Vereinfache und stelle mit positiven Exponenten dar. a) ( 2 _ x 2) −2 · 4x b) (a −2 · b) −3 _ b −3 c) 216 a 8 · (6 a 2) −3 d) (x · y 4) −2 · z 3 _ 3 z −1 Kreuze die beiden Terme an, die zum Term (2 a 3 b −4 c 2) −1 äquivalent sind. A 2 a −3 b 4 c −2 B b −4 _ 2 a 3 c 2 C 1 _ 2 a −3 b 4 c −2 D 2 a 3 c 2 _ b 4 E b 4 _ 2 a 3 c 2 Kreuze die beiden Terme an, die zum Term ( 4 x 3 y −1 _ z ) −2 äquivalent sind. A ( z _ 4 x 3 y −1) 2 B 16 x −6 y 2 _ z −2 C x −6 y 2 _ 16 z −2 D z 2 _ 16 x 6 y 2 E 16 x 6 y −2 _ z 2 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Exponenten dar. a) 3 (ab) −4 · b b) (a −3 b) −2 · 5a c) (x −4 y −2) 3 · z −1 d) x 2 y · (x −2 y) −3 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Exponenten dar. a) (3x _ y ) −3 · ( y _ x 2) 2 b) ( x _ 2y) −2 · ( 3y _ x 4 ) −2 c) ((x 3 · y −2 · z) 3) −1 d) ((4x _ y ) −2 ) 2 · 16 _ y 5 Vereinfache und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar. a) ((5x _ 4y ) 2 ) −3 : ( 2 y −2 x _ 25 ) 2 d) ( x 3 y −4 _ a −2 b 3) 3 · a −3 b −4 _ (x y 2) 2 g) − (2 x 3 y 5) 2 _ (x y 3) 3 : ( x y 4 _ x −1 y) −2 b) (− 3 x 4 y 2) 3 _ (x y 4) 2 : ( x 3 y −1 _ x −2 y 2) −3 e) ( 4 a 3 _ 3 b 4) −2 · (6 b 5 _ a −1 ) −3 : (4 a 2 b −2 _ 3ab ) −3 h) ((– 2x) 3 _ 3y ) −2 · ( x −1 y 2 _ 8 y 2 ) 2 c) ( 3 a −3 _ 6 x 3 y 2) −2 · (− a −2 _ 3x y −3) 3 f) ( 6 a −1 _ 3 b −3) 3 · (2 b −4 _ a 2 ) 2 : (2 a −2 b 2 _ a b 2 ) 3 i) ( 2 x −2 y _ 4x y −3 ) −1 · ( x 2 _ 2 y 3) 2 · 4 x −1 _ 8 x 2 y 3 AG-R 2.1 M1 40 ó 41 Muster 42 43 44 45 AG-R 2.1 M1 46 ó AG-R 2.1 M1 47 ó 48 49 50 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 14 Potenzen > Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Der Radius eines Wasserstoffatoms beträgt 0,000 000 000 025 m. a) Welche Darstellungen sind zur gegebenen Darstellung des Radius eines Wasserstoffatoms äquivalent? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E 0, 25 · 1011 25 · 10−12 2, 5 · 10−12 2, 5 · 10−11 0, 25 · 10−11 b) Wie viele Wasserstoffatome würden nebeneinander gereiht 1 cm ergeben? Ein Neutron hat eine Masse von rund 1,675 · 10−27 kg. Wie viele Neutronen würden eine Masse von a) 0,5 kg b) 50 g c) 0,5 dag ergeben? Eine Schnecke hat eine durchschnittliche Geschwindigkeit von rund 0,0072 km/h. a) Stelle die Geschwindigkeit im Gleitkommaformat dar. b) Gib die durchschnittliche Geschwindigkeit in m/s an. c) In welcher Zeit würde die Schnecke eine 9 km lange Strecke zurücklegen? Ein 10-Euro-Schein hat eine Stärke von rund 0,1 mm. Die Masse eines 10 Euro-Scheins beträgt rund 0,72 g. a) Welche Höhe hat ein Geldstapel von 5000 10-Euro-Scheinen? b) Wie viele 10-Euro-Scheine hätten eine Masse von 1 Tonne? Ein Pulslaser ist ein Laser, der das Licht nicht kontinuierlich, sondern in zeitlich begrenzten Pulsen abgibt. Die Pulsdauer eines solchen Lasers beträgt 5 · 10−9 Sekunden (s), in denen rund 1, 5 · 104 Joule (J) Energie abgestrahlt werden. Berechne die Leistung in Watt (W), die bei einem Puls abgestrahlt wird. Tipp: Energie = Leistung mal Zeit. 1 Joule (J) = 1 Wattsekunde (Ws) Von der Sonne zur Erde legt das Licht eine Strecke von rund 1,5 · 108 kmzurück. a) Die Strecke Sonne-Erde (S) wird in Meter (m) dargestellt. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E S = 0,15 · 1011 m S = 1, 5 · 1010 S = 1, 5 · 1011 m S = 15 · 1010 m S = 15 · 1011 m b) Wie lange braucht das Licht für diese Entfernung, wenn die Lichtgeschwindigkeit rund 300 000 km/s beträgt? Eine Raumsonde sendet mit Lichtgeschwindigkeit (rund 300 000 km/s) ein Signal zur Erde. Das Signal braucht 6 Stunden, bis es auf der Erde empfangen wird. In welcher Entfernung zur Erde befindet sich die Raumsonde? Ein Wassertropfen hat ein Volumen von rund 5 mm3. Wie viele dieser Tropfen zusammen ergeben 20 Liter Wasser? M2 51 52 53 M2 54 55 M2 56 57 58 Ó Arbeitsblatt Potenzen mit Exponenten aus ℤ 9cu97r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten Lernziele: º Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln deuten und zwischen den Darstellungsformen wechseln können º Rechengesetze für Wurzeln kennen und anwenden können º Die Methode des partiellen (teilweisen) Wurzelziehens kennen Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 2.1 E infache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Ziehe die Wurzel. a) 9 _ 144 b) 9 _ 625 c) 3 9 _ 8 d) 3 9 _ 125 e) 4 9 _ 81 f) 4 9 _10000 Ziehe die Wurzel. a) 9 _ a 2 b) 9 _ a 8 c) 3 9 _ a 3 d) 3 9 _ a 9 e) 4 9 _ a 4 f) 4 9 _ a 8 Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen Das Potenzieren ist die Umkehrung des Wurzelziehens. Lässt man bei Potenzen auch Bruchzahlen im Exponenten zu, kann man zwischen der Potenzschreibweise und der Wurzelschreibweise einen Zusammenhang erkennen: Potenzschreibweise Wurzelschreibweise (a 1 _ 2) 2 = a 2 _ 2 = a 1 = a (9 _ a ) 2 = a (a 2 _ 3) 3 = a 6 _ 3 = a 2 ( 3 9 _ a 2 ) 3 = a 2 (a 3 _ 4) 4 = a 12 _ 4 = a 3 ( 4 9 _ a 3 ) 4 = a 3 Führt man beide Schreibweisen zusammen, ergibt sich: a 1 _ 2 = 9 _ a , a 2 _ 3 = 3 9 _ a 2 , a 3 _ 4 = 4 9 _ a 3 Es ist sinnvoll, Potenzen mit rationalen Exponenten zu definieren und diese als alternative Schreibweise für Wurzeln zu interpretieren. Potenzen mit rationalen Exponenten Für a ∈ ℝ, a ≥ 0, m, n ∈ ℕ\{0} gilt: a m _ n = n 9 _ a m Durch folgende Überlegungen kann diese Definition ebenfalls motiviert werden: a m _ n = a m _ n a m _ n = n 9 _ (a m _ n ) n Das Potenzieren mit n und das Ziehen der n-ten Wurzel heben sich auf. a m _ n = n 9 _ a m _ n · n Eine Potenz wird potenziert, in dem man die Exponenten multipliziert. a m _ n = n 9 _ a m Nach dem Kürzen von n erhält man die gewünschte Definition. Kompetenzen Vorwissen 59 60 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Potenzen > Potenzen mit rationalen Exponenten 1 a) Stelle 3 9 _ x 2 als Potenz dar. b) Schreibe x− 3 _ 8 mit einer Wurzel. a) 3 9 _ x 2 = x 2 _ 3 b) x − 3 _ 8 = 1 _ x 3 _ 8 = 1 _ 8 9 _ x 3 Stelle als Wurzel dar. a) x 1 _ 7 b) x 2 _ 5 c) x 3 _ 4 d) x 1 _ 3 e) x − 4 _ 9 f) x − 5 _ 7 g) x − 11 _ 12 h) x − 1 _ 8 Stelle als Potenz dar. a) 4 9 _ x b) 8 9 _ x 7 c) 9 _ x 2 d) 3 9 _ x 5 e) 1 _ 7 9 _ x 4 f) 1 _ 10 9 _ x g) 1 _ 11 9 _ x 6 h) 1 _ 3 9 _ x 8 Stelle als Potenz bzw. mit einer Wurzel dar. a) x 0,8 b) y 0,25 c) 4 9 _ x 3r d) (a + b) 0,5 e) e 9 _ x f f) 10 0,7 g) x a _ 4 a) Welche der angeführten Terme sind zum Term x− 7 _ 4 (x > 0) äquivalent? Kreuze die beiden zutreffenden Terme an. A B C D E 1 _ x 7 _ 4 4 9 _ x 7 1 _ x 4 _ 7 1 _ 4 9 _ x 7 x 4 _ 7 b) Welche der angeführten Terme sind zum Term 2 _ 9 _ x 5 (x > 0) äquivalent? Kreuze die beiden zutreffenden Terme an. A B C D E 2 x −2 _ 5 1 _ 2 x 5 _ 2 2 x − 5 _ 2 1 _ 5 9 _ x 2 2 _ x 5 _ 2 Rechenregeln für Wurzeln/Partielles Wurzelziehen Die Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen bzw. ganzzahligen Exponenten behalten auch für rationale Hochzahlen ihre Gültigkeit. Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten Für alle a , b ∈ ℝ + und m, n ∈ ℚ gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m − n (3) (a m) n = a m · n (4) (a · b) m = a m · b m (5) ( a _ b) m = a m _ b m Berechne und schreibe das Ergebnis mit einer Wurzel an a) 3 1 _ 4 · 3 2 _ 4 c) ( 2 _ 3) 1 _ 3 : (2 _ 3) −5 _ 3 e) (2 2 _ 5) −3 _ 2 g) 7 − 1 _ 4 · 7 3 _ 4 i) (2 − 2 _ 3) 1 _ 4 b) 2 6 _ 7 · 2 − 4 _ 7 d) (4 3) 1 _ 2 f) 5 3 _ 7 · 5 1 _ 7 h) ( 1 _ 3) −2 _ 5 : ( 1 _ 3) − 4 _ 5 j) (7 0) 8 _ 11 Schreibe a) 4 9 _x 3 · y b) 3 9 _ x 2 _ y in Potenzschreibweise ohne Klammer an. a) 4 9 _x 3 ·y= (x 3 · y) 1 _ 4 = x 3 _ 4 · y 1 _ 4 b) 3 9 _ x 2 _ y = ( x 2 _ y ) 1 _ 3 = x 2 _ 3 _ y 1 _ 3 Schreibe in Potenzschreibweise ohne Klammer an. a) 5 9 _a · b b) 3 9 _x·y·z c) 6 9 _ a _ b d) 7 9 _ x · y _ z e) 8 9 _ 2 _ a · b · c Muster 61 62 63 64 AG-R 2.1 M1 65 ó Ó Vertiefung Beweis der Potenzregeln i4fe4u Merke 66 Muster 67 68 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 Potenzen > Potenzen mit rationalen Exponenten Schreibe in Potenzschreibweise ohne Klammer an. a) 4 9 _a 3 · b 3 b) 9 _x 2 · y 4 · z c) 8 9 _ a 7 _ b 5 d) 6 9 _ x · y 5 _ z 2 e) 7 9 _ a 2 · b 3 · c 4 _ 10 Steht im Exponenten einer Potenz ein unechter Bruch, kann dieser als gemischte Zahl geschrieben werden z.B. 4 9 _ x 11 = x 11 _ 4 = x 2 3 _ 4 = x 2+ 3 _ 4 . Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt: x 2+3 _ 4 = x 2 · x 3 _ 4 = x 2 · 4 9 _ x 3 D.h. 4 9 _ x 11 = x 2 · 4 9 _ x 3 Diese Umformung bezeichnet man als teilweises (partielles) Wurzelziehen. Teilweises Wurzelziehen in Wurzelschreibweise: 4 9 _ x 11 = 4 9 _x 4 · x 4 · x 3 = 4 9 _ x 4 · 4 9 _ x 4 · 4 9 _ x 3 = x · x · 4 9 _ x 3 = x 2 · 4 9 _ x 3 Ziehe teilweise die Wurzel. a) 9 _ x 5 b) 3 9 _ x 7 c) 4 9 _ x 9 d) 5 9 _ x 10 e) 6 9 _ x 11 Vereinfache 3 9 _a 5 · b 6 · cdurch partielles Wurzelziehen. 3 9 _a 5 · b 6 ·c= 3 9 ______________ a 3 · a 2 · b 3 · b 3 ·c= 3 9 _a 3 · b 3 · b 3 · 3 9 _a 2 ·c= a·b·b· 3 9 _a 2 · c = a · b 2 · 3 9 _a 2 · c Vereinfache. Ziehe so weit wie möglich die Wurzel. a) 9 _49 · x 2 · y b) 9 _5·x·y 4 c) 9 _ x _ y 2 d) 9 _ x 2 · y 4 _ 25 e) 4 x 3 _ 9 _16·x 5 Ziehe teilweise die Wurzel. a) 3 9 _2 · a 3 · b 7 b) 4 9 _a 5 · b 7 c) 5 9 _ a 9 _ b 10 d) 6 9 _ a 5 · b 6 · c 7 _ 64 e) 7 9 _ 4 · a 14 · b _ c 7 Bringe im Term 3 · a2 · b · 3 9 _ c 2 alles unter eine Wurzel. 3 · a 2 · b · 3 9 _ c 2 = 3 9 ______________ 3 3 · (a 2) 3 · b 3 · c 2 = 3 9 ____________ 27·a 6 · b 3 · c 2 Bringe unter die Wurzel und vereinfache. a) 4a · 9 _ 2b b) a 2 b · 3 9 _ ab c) 2 b 3 · 4 9 _ 1 _ b d) a 3 b 2 · 9 _ 3 _ 4ab e) b _ 3 · 3 9 _ 9 _ b 2 Bringe 9 _x · y 2 · 3 9 _ 4 x 2 unter ein Wurzelzeichen und vereinfache. Es gilt: 9 ____ x · y 2 · 3 9 _ 4 x 2 = (x · y 2) 1 _ 2 · (4 x 2) 1 _ 3. Man bringt nun die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner, schreibt die Terme unter ein Wurzelzeichen und vereinfacht: 9 _x · y 2 · 3 9 _ 4 x 2 = (x · y 2) 1 _ 2 · (4 x 2) 1 _ 3 = (x · y 2) 3 _ 6 · (4 x 2) 2 _ 6 = 6 9 ____________ (x · y 2) 3 · (4 x 2) 2 = 6 9 _16 x 7 y 6 Bringe unter ein Wurzelzeichen und vereinfache. a) 9 _x 3 · y 5 · 3 9 _ 2x y 2 b) 3 9 _ 4 x 2 · 9 _2 x 4 y 7 c) 4 9 _3x y 2 z 3 · 9 _5 x 3 z 2 d) 3 9 _ 2xy · 5 9 _ 2xy Zeige, dass für a ∈ ℝ, a ≥ 0, mund n ∈ ℕ\{0} sowie k ∈ ℕ gilt: a) m 9 _ n 9 _ a = n 9 _ m 9 _ a b) (n 9 _ a ) k = n 9 _ a k Wo ist in a 9 _ x · b 9 _ x = a·b 9 _ x (x ∈ ℝ, x ≥ 0und a, b ∈ ℕ\{0}) der Fehler? Begründe. 69 70 Muster 71 72 73 Muster 74 75 Muster 76 77 78 79 Ó Arbeitsblatt m49gt2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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