97 Kompetenzen 5.4 Quadratische Bruchg®eichungen Lernzie®: º Bruchg®eichungen, die sich auf quadratische G®eichungen umformen ®assen, ®ösen können 480 Löse die Bruchg®eichung 3 x + 3 _ x2 – 1 – 2 x + 4 _ x – 1 = 2. We®che Werte darf x nicht annehmen? Zuerst wird die Definitionsmenge bestimmt. Da der Nenner bei +1 und ‒1 Nu®® ergeben würde, müssen diese beiden Werte ausgenommen werden. D = {x * R‡ x≠±1}= R\{± 1} Um den gemeinsamen Nenner zu bestimmen, werden die einze®nen Nenner so weit wie mög®ich zer®egt. x2 – 1 = (x + 1) · (x – 1) x – 1 (kann man nicht zer®egen) Der gemeinsame Nenner ist daher: (x + 1) · (x – 1). Durch Erweitern erhä®t man: (3 x + 3) __ (x – 1 )(x + 1) – (2 x + 4 )(x + 1) __ (x – 1 )(x + 1) = 2(x – 1 )(x + 1) __ (x – 1 )(x + 1) | · (x – 1 )(x + 1) 3 x + 3 – (2 x + 4 )(x + 1) = 2 (x + 1 )(x – 1) | vereinfachen ‒ 4 x 2 – 3 x + 1 = 0 Durch Einsetzen in die große Lösungsforme® mit a = ‒ 4, b = ‒ 3, c = 1 erhä®t man x1 = ‒1 bzw. x2 = 1 _ 4 . Da ‒1 nicht in der Definitionsmenge entha®ten ist, gi®t: L = { 1 _ 4 } . 481 Löse die Bruchg®eichung mit G = R und gib die Definitionsmenge an. a) 2 1 _ 4 + 2 x _ 3 – 2 x = 2 x _ 3 + 2 x c) 15 x – 2 _ x – 1 – 3 _ 8 = 10 x – 8 _ x + 1 e) 4 x – 14 _ 4 = 5 x – 35 _ x – 7 – 2 _ x – 4 b) 5 x – 8 _ x – 2 _ 9 = 7 x – 2 _ x2 d) 2 _ 2 x – 2 + 4 _ x + 1 = 2 x _ 2 x – 2 f) x + 3 _ x – 1 + 0,5 = x – 10 __ (x – 1) · (x – 10) 482 Löse die Bruchg®eichungen mit G = R und gib die Definitionsmenge an. a) 15 x – 6 _ 2 x + 3 – 2 = (5 x – 2)2 __ 4 x2 + 12 x + 9 c) 24 __ 3 x2 – 12 + 2 x + 3 _ x + 2 = 2 x + 2 __ (x – 2) · 2 e) 7 x + 2 _ x2 – 4 – 4(x – 2) __ x2 – 4 x + 4 = 5 _ x + 2 b) 3(x3 – 3 x – 2) __ (x – 2)2 (x + 2) – 3 x – 8 _ x – 2 = 2 x – 5 __ (‒ 4 + x 2) d) 2 x __ 16 + 12 x + 2 x2 = 3 x + 12 __ (x + 4)2 (x + 2) f) 120 x __ x3 – 25 x + 2 x + 26 _ 10 + 2 x = x + 1 _ x – 5 Zusammenfassung Quadratische G®eichungen, Lösungsforme®n und Lösungsfä®®e a®®g. quadratische G®eichung: a · x2 + b · x + c = 0 a, b, c * R, a ≠ 0 normierte quadratische G®eichung (a = 1) x2 + p · x + q = 0 p, q * R große Lösungsforme® x1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b2 – 4 a c __ 2 a k®eine Lösungsforme® x1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q Diskriminante D = 9 _____ b2 – 4 a c Diskriminante D = 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q Eine quadratische G®eichung mit Diskriminante D besitzt zwei ree®®e Lösungen, wenn D > 0, eine ree®®e Lösung, wenn D = 0, keine ree®®e Lösung, wenn D < 0. Die Satzgruppe von VIETA Sind x1 und x2 Lösungen einer normierten quadratischen G®eichung x 2 +p·x+q=0, dann gi®t: (1) x1 + x2 = ‒ p (2) x1 · x2 = q (3) (x – x1) · (x – x2) = x 2 + p · x + q Muster x – 4 Ó Techno®ogie An®eitung Quadratische Bruchgleichungen lösen 5mu548 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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