96 5 Kompetenzen 5.3 Satzgruppe von VIETA Lernzie®: º Den Satz von Vieta kennen und anwenden können Im Abschnitt 5.1 wurde bereits der Produkt Nu®®-Satz angewandt. Dieser kann auch verwendet werden, um quadratische G®eichungen mit bestimmten Lösungen zu erzeugen. Sucht man z.B. eine quadratische G®eichung mit den Lösungen x1 = 3 und x2 = ‒ 4, kann man diese so aufste®®en: (x – 3) · (x + 4) = 0 w x2 + x – 12 = 0 Mit Hi®fe des Produkt-Nu®®-Satzes hat man somit eine normierte quadratische G®eichung mit p = 1 und q = ‒12 gefunden, die sicher die beiden Lösungen x 1 = 3 und x2 = ‒ 4 besitzt. Es gi®t: (x – 3) · (x + 4) = x2 – (3 + (‒ 4)) · x + 3 · (‒ 4) = 0 Man erkennt, dass q das Produkt der beiden Lösungen und p die Gegenzah® der Summe der beiden Lösungen ist. Diese Sätze werden Satzgruppe von Vieta genannt (Beweis auf S. 290). Satzgruppe von VIETA Sind x1 und x2 Lösungen einer normierten quadratischen G®eichung x 2 +p·x+q=0, dann gi®t: (1) x1 + x2 = ‒ p (2) x1 · x2 = q (3) (x – x1) · (x – x2) = x 2 + p · x + q Die Zer®egung von x2 + p x + q in (x – x 1) · (x – x2) nennt man Linearfaktorzer®egung. 475 Zer®ege die ®inke Seite der G®eichung 2x2 – 12 x + 10 = 0 in ein Produkt von Linearfaktoren. Um die G®eichung in ein Produkt von Linearfaktoren zu zer®egen, werden zuerst die beiden Lösungen mit der großen oder k®einen Lösungsforme® berechnet: x1 = 1, x 2 = 5. Um die ®inke Seite aufzuspa®ten, muss zuerst 2 herausgehoben werden. Ansch®ießend kann der 3. Tei® des Satzes von Vieta angewendet werden. 2 x2 –12x +10 = 2·(x 2 – 6 x + 5) = 2 · (x – 1) · (x – 5) 476 Zer®ege die ®inke Seite der G®eichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) x 2 + 13 x + 12 = 0 c) x2 –27x+180=0 e) 4 x2 – 8 x + 4 = 0 b) x 2 –7x+12=0 d) ‒ x 2 + 2 x + 15 = 0 f) 2 x2 – 3 x – 2 = 0 477 Gib zwei quadratische G®eichungen an, we®che fo®gende Lösungen besitzen. a) x1 = 5; x2 = ‒ 1 c) x1 = 8; x2 = 0 e) x1 = ‒12; x2 = + 13 b) x1 = 0,2; x2 = 7 d) x1 = ‒ 2; x2 = ‒ 2 f) x1 = ‒ 7; x2 = ‒ 5 478 Gegeben sind Lösungen oder die Parameter p und q einer quadratischen G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0. Ste®®e die G®eichung auf und gib beide Lösungen an. a) x 1 = ‒ 3; p = ‒ 4 c) p = ‒15; x 1 = ‒ 9 e) p = ‒ 3; q = 2 b) x 2 = ‒12; q = 48 d) x 1 = 33; q = ‒ 99 f) p=‒16;q=39 479 Verwende die ersten beiden Tei®e des Satzes von Vieta um die Lösungen aus N der quadratischen G®eichung „zu erraten“. a) x 2 – 3 x + 2 = 0 b) x 2 + 2 x – 15 = 0 c) x2 – 13 x + 40 = 0 Ó Vertiefung Francois Vieta 3qa543 Merke Muster Ó Arbeitsb®att Satzgruppe von Vieta a34t7b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=