93 Quadratische Gleichungen > Lösen quadratischer Gleichungen 452 Berechne die Diskriminante der quadratischen G®eichung und gib an, wie vie®e ree®®e Lösungen sie besitzt. a) x 2 –7x+15=0 c) x2 + 6 x + 9 = 0 e) x 2 + 12 x – 35 = 0 b) x 2 + 3 x + 33 = 0 d) x 2 + 24 x + 144 = 0 f) x2 – 24x –11111 = 0 453 Setze für p in der G®eichung x2 + p x + 1 = 0 die angegebenen Werte ein und bestimme die Anzah® der ree®®en Lösungen. 454 Bestimme den Parameter k der G®eichung x2 + k x + 4 = 0 so, dass die G®eichung genau eine ree®®e Lösung besitzt. Zuerst wird die Diskriminante berechnet: p = k, q = 4 w D = 2 p _ 2 3 2 – q = 2 k _ 2 3 2 – 4 Damit die G®eichung genau eine ree®®e Lösung besitzt, muss die Diskriminante 0 sein: 2 k _ 2 3 2 – 4 = 0 | + 4 k 2 _ 4 = 4 | · 4 w k 2 = 16 w k 1, 2 = ± 4. 455 Bestimme den Parameter k so, dass die G®eichung genau eine ree®®e Lösung besitzt und berechne diese Lösung. a) x 2 + k x + 100 = 0 c) x2 + k x + 144 = 0 e) x 2 – 32 x + k = 0 b) x 2 + k x + 49 = 0 d) x 2 – 18 x + k = 0 f) x2 – 66 x + k = 0 456 Gegeben ist eine normierte quadratische G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0. Diese G®eichung besitzt keine ree®®e Lösung. We®che Bedingung muss für die Parameter p und q ge®ten? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A p2 _ 2 – q < 0 D p2 < 4 q B p2 _ 4 – q < 0 E p2 < 2 q C 2 p _ 2 3 2 – q > 0 G®eichungen der Form a · x2 + b · x + c = 0 Dividiert man G®eichungen der Form a · x2+ b · x + c = 0 durch den Koeffizienten a, dann erhä®t man eine normierte quadratische G®eichung, die man z.B. mit der k®einen Lösungsforme® ®ösen kann. Es gibt aber auch die große Lösungsforme®, die man ohne Umformung anwenden kann. (Beweis siehe Anhang Beweise S. 290) Große Lösungsforme® für quadratische G®eichungen Für die Lösungen einer quadratischen G®eichung der Form a · x 2 + b · x + c = 0 gi®t: x1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b2 – 4 a c __ 2 a b2 – 4 a c wird auch a®s Diskriminante D der quadratischen G®eichung a · x 2 + b · x + c = 0 bezeichnet. Eine quadratische G®eichung der Form a · x2 + b · x + c = 0 mit D = b 2 – 4 a c besitzt w zwei ree®®e Lösungen, wenn D > 0. w eine ree®®e Lösung, wenn D = 0. w keine ree®®e Lösung, wenn D < 0. Ó Arbeitsb®att Diskriminante ermitte®n q955qn p ‒ 4 ‒ 3 ‒ 2 ‒ 1 0 1 2 3 zwei ree®®e Lösungen eine ree®®e Lösung keine ree®®e Lösung Muster M1 AG-R 2.3 ó Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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