90 Quadratische Gleichungen > Lösen quadratischer Gleichungen 5 G®eichungen der Form a · x2 + b · x = 0 Möchte man die G®eichung x · (7 – x) = 0 ®ösen, dann sucht man Werte für x, sodass das gegebene Produkt nu®® ergibt. Diese Werte sind ®eicht zu ermitte®n, da einer der beiden Faktoren 0 sein müsste. 1. Mög®ichkeit: x = 0 w 0 · (7 – 0) = 0 2. Mög®ichkeit: x = 7 w 7·(7–7)=0 Produkt-Nu®®-Satz Ein Produkt ist genau dann nu®®, wenn mindestens einer der Faktoren nu®® ist. 435 Bestimme die Lösungen der G®eichung (1) 3 · x 2 – 5 · x = 0 (2) a · x 2 + b · x = 0 mit a ≠ 0 (1)3·x 2 – 5 · x = 0 | herausheben (2) a · x2 + b · x = 0 | herausheben x · (3 x – 5) = 0 Produkt-Nu®®-Satz x · (a x + b) = 0 Produkt-Nu®®-Satz x 1 = 0 3 x – 5 = 0 w x2 = 5 _ 3 x1 = 0 a x + b = 0 w x2 = ‒ b _ a Lösungen einer quadratischen G®eichung Für die Lösungen einer quadratischen G®eichung der Form a · x2 + b · x = 0 (a, b * R, a ≠ 0, b ≠ 0) gi®t: x1= 0 bzw. x2 = ‒ b _ a Eine quadratische G®eichung dieser Form besitzt immer zwei ree®®e Lösungen. 436 Löse die G®eichung in R. a) x 2 – 8 x = 0 c) ‒ 16 x – 4 x 2 = 0 e) x 2 = 35 x g) 12 x = ‒ 38 x 2 b) 3 x 2 + 14 x = 0 d) ‒ 12 x + 3 x 2 = 0 f) ‒ 4 x 2 = ‒ 39 x h) x 2 = 25 x 437 Löse die G®eichung und gib die Lösungsmenge mit der Grundmenge (1) N (2) Z und (3) R an. a) (3 x + 5)2 = 25 + 2 x c) 3 x – (5 x + 1) 2 =4·(7x+1)–5 b) (4 x – 7) · (2 x + 3) = ‒ 21 + 8 x d) 5x – 3·(2x2 – 7) = (2 x + 3)2 + 12 438 Ein Schü®er hat eine quadratische G®eichung auf fo®gende Art ge®öst: 3 x2 + 6 x = 0 | : x w 3 x + 6 = 0 | – 6; : 3 w x = ‒ 2 Erk®äre, warum die Division durch x keine Äquiva®enzumformung ist. 439 Ste®®e eine quadratische G®eichung auf, die die angegebenen Lösungen besitzt. a) x 1 = 0, x2 = 5 b) x 1 = 0, x2 = ‒ 3 c) x1 = 0, x2 = 12 d) x 1 = ‒14, x 2 = 0 G®eichungen der Form x2 + p · x + q = 0 440 Ergänze die Lücken: a) ( – )2 = 9 – + 36 y2 b) ( – 9 z)2 = 144 a2 – + c) ( – )2 = 49 – 42 x + d) ( – )2 = – 160 x + 100 x2 Merke Muster { { { { Merke ó ó ó M1 AG-R 1.2 Ó Arbeitsb®att Binomische Forme®n s9r2na Vorwissen Kapite® 2 S. 36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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