83 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme > Teil-2-Aufgaben Weg zur Matura Tei®-2-Aufgaben 405 Tortenerzeugnis Ein Konditor ste®®t zy®inderförmige Torten mit dem Radius r (in dm) und der Höhe h (in dm) her. a) Die Torten werden oben und seit®ich g®eichmäßig mit Creme überzogen. Der Bedarf an Creme wird in Litern angegeben. Das Vo®umen V einer Cremeschicht mit der Dicke d kann mit der Forme® V = d · [(r + d)2 · π + (2 r + d) · h · π] berechnet werden. Eine Torte hat einen Durchmesser von 40 cm. 1) Berechne die Höhe h der Torte, wenn sie mit 1,6 Litern Creme oben und seit®ich 5 mm dick eingestrichen werden kann. b) Es so®®en zehn Torten mit einem Durchmesser von jewei®s 24 cm nur oben eine d mm dicke Cremeschicht erha®ten. 1) Kreuze den Term an, der den dazu benötigten Cremebedarf in Litern angibt. A B C D E F 1,22 · π · d · 10 122 · π · d __ 10 24 · π · d 1,44 · π · d __ 10 1,44 · π · d 24 · d c) Für die Herste®®ung einer Creme wird um ein Dritte® weniger Sch®agobers a®s Joghurt benötigt. Sch®agobers und Joghurt machen zusammen 4 _ 5 des Gesamtvo®umens der Creme aus. x gibt die Menge des Sch®agobers in Litern an, y die Menge des Joghurts in Litern. 1) Berechne die benötigen Mengen Sch®agobers und Joghurt für 20 Liter Creme. Löse mit Hilfe von Technologie und notiere die eingegebenen Befehle. d) Zum Verzieren einer Torte verwendet eine Konditorin b Zuckerblätter und e Erdbeeren. 1) Interpretiere den Ausdruck b = 1,5 e. 406 Cramer’sche Rege® Gabrie® Cramer ®ehrte Mathematik und Phi®osophie an der Genfer Akademie und arbeitete mit Leonhard Eu®er zusammen. Er entwicke®te eine Lösungsmethode für ®ineare G®eichungssysteme mitte®s Determinanten. Unter einer Determinante versteht man die Zah®, die man einem quadratischen Schema der Form | a1 a 3 a2 a 4 | zuordnet. Die Berechnung der Determinante erfo®gt durch das Bi®den der Differenz der kreuzweise berechneten Produkte: | a1 a 3 a2 a 4 | = a1 · a4 – a2 · a3 Cramer’sche Rege® Die Lösungen x und y des G®eichungssystems { I: a x + b y = c II: d x + e y = f ®auten: x = | c f b e | _ | a d b e | = c e – b f __ a e – b d y = | a d c f | _ | a d b e | = a f – c d __ a e – b d a) 1) Zeige die Gü®tigkeit dieser Rege® durch das Anwenden des E®iminationsverfahrens auf das obige G®eichungssystem. b) 1) Wäh®e ein be®iebiges ®ineares G®eichungssystem mit zwei Variab®en, das unend®ich vie®e Lösungen besitzt, und zeige damit, dass in diesem Fa®® die Cramer’sche Rege® auf die unbestimmten Formen x = y = 0 _ 0 führt. c) Leonard Euler und Gabriel Cramer wurden gemeinsam 123 Jahre alt. Euler wurde 29 Jahre älter. Euler starb im Alter von e Jahren und Cramer im Alter von c Jahren. 1) Gib ein Gleichungssystem an, mit dem man c und e berechnen kann. 2) Berechne wie alt Leonard Euler tatsächlich wurde. KM2 AG-R 2.2 AG-R 1.2 AG-R 2.5 AG-R 2.2 M2 Ó Vertiefung Gabrie® Cramer u55y2t AG-R 2.5 AG-R 2.5 AG-R 2.5 AG-R 2.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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