58 Gleichungen und Formeln > Gleichungen 3 a) Da der Nenner nicht nu®® werden darf, gi®t 1 – 4 x ≠ 0. Durch Äquiva®enzumformungen erhä®t man x ≠ 1 _ 4 . Es dürfen a®®e ree®®en Zah®en außer 1 _ 4 für die Variab®e eingesetzt werden. Diese Zah®en ste®®en die Definitionsmenge der G®eichung dar. b) Da der Term unter der Wurze® nicht negativ sein darf, gi®t x + 3 º 0 bzw. x º ‒ 3. Für x dürfen daher a®®e ree®®e Zah®en größer a®s ‒ 3 eingesetzt werden. 272 We®che Zah®en dürfen für die Variab®e nicht eingesetzt werden? Beschreibe die Definitionsmenge der G®eichung in Worten. a) 2 _ x = 5 b) 1 _ x + 4 = 1 c) 7 = x + 1 _ x – 1 d) 4 _ 2 x – 1 = ‒ 2 e) 10 = 3 – 5 x _ 5 – 8 x 273 Beschreibe die Definitionsmenge der G®eichung in Worten. Gib die Menge ebenso in Mengen- bzw. Interva®®schreibweise an. a) 9 _ x = 2 b) 9 ___ x+1=7 c) 3 = 9 ____ 2x – 4 d) 9 ____ 1 – 3x= 2 e) 9 ____ 4x+3=5 G®eichungen ®ösen – Äquiva®enzumformungen Die G®eichungen 2 x = 6 und x + x = 6 haben beide die Lösung x = 3. Durch sogenannte Äquiva®enzumformungen ®ässt sich eine G®eichung in äquiva®ente G®eichungen überführen. Zie® ist es, die Variab®e auf einer Seite der G®eichung zu iso®ieren und so rechnerisch die Lösung der G®eichung zu erha®ten. Dabei kann man sich die G®eichung a®s Waage vorste®®en, die im „G®eichgewicht“ b®eiben so®®. Auf beiden Seiten der G®eichung müssen mit dense®ben Termen/Zah®en diese®ben Rechenoperationen durchgeführt werden. Äquivalente Gleichungen und Äquiva®enzumformungen Zwei G®eichungen mit derse®ben Lösungsmenge heißen äquiva®ent. Äquivalente Gleichungen erhält man durch Äquivalenzumformungen. Das bedeutet: º ®inks und rechts des G®eichheitszeichens dense®ben Term addieren º ®inks und rechts des G®eichheitszeichens dense®ben Term subtrahieren º ®inks und rechts des G®eichheitszeichens mit derse®ben Zah® (≠ 0) mu®tip®izieren º ®inks und rechts des G®eichheitszeichens durch diese®be Zah® (≠ 0) dividieren º die Terme ®inks und rechts des G®eichheitszeichens vertauschen Durch Äquiva®enzumformungen verändert sich die Lösungsmenge nicht. Es entstehen äquiva®ente G®eichungen. Die durchgeführten Äquiva®enzumformungen werden rechts von der G®eichung hinter einem senkrechten Strich angezeigt. x – 3 = 5 | + 3 x _ 7 = 5 | · 7 x – 3 + 3 = 5 + 3 7 x _ 7 = 5 · 7 x = 8 x = 35 274 Führe die angegebene Äquiva®enzumformung durch. a) x + 5 = 8 | – 5 c) 2 x = 6 | : 2 e) 1,5 + x = 0,5 | · 2 b) 3 _ 4 – x = 5 _ 4 | · 4 d) 6 = 2 x – 4 | + 4 f) 1 _ 7 · 3 = x – 6 _ 7 | · 7 Ó Techno®ogie An®eitung Äquivalenzumformungen c8x4ya Merke Ó Arbeitsb®att Äquiva®enzumformungen x8pu2p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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