54 Reflexion 2 „Zum Beispie® ist noch kein Beweis“ (jüdisches Sprichwort) Diese beiden Seiten geben Dir einen Einb®ick in die We®t der mathematischen Beweise. Es ist eine Geschichte von Triumph und Nieder®age – denn nicht jede Vermutung schafft es in den mathematischen O®ymp. Phase 4 Einen Beweis aufste®®en – die Vermutung wird zum mathematischen Satz A®gebraischer Beweis n2 ist der a®gebraische Ausdruck für a®®e Quadratzah®en und 2 n + 1 der Ausdruck für die nächste ungerade Zah®, die addiert wird (n * N). n2 + 2 n + 1 = (n + 1)2 Man erhä®t a®so immer die nächste Quadratzah®! Vermutung 1 Wenn man bei 1 anfängt und der Reihe nach die ungeraden Zah®en addiert, so erhä®t man immer die nächste Quadratzah®. 1 Quadratzah®! 1 + 3 = 4 Quadratzah®! 1 + 3 + 5 = 9 Quadratzah®! 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Quadratzah®! Vermutung 2 Jede gerade Zah® größer a®s 2 kann a®s Summe zweier Primzah®en geschrieben werden. 4 = 2 + 2 stimmt! 6 = 3 + 3 stimmt! 8 = 3 + 5 stimmt! 10 = 7 + 3 stimmt! ???? An der Vermutung 2 beißen sich schon Generationen von Mathematikern die Zähne aus. Sie ist bis heute zwar stets bestätigt worden, aber es ist noch niemandem ge®ungen, diesen Satz zu beweisen oder zu wider®egen. Man nennt diese Vermutung nach ihrem Entdecker Go®dbachsche Vermutung. Vermutung 3 Der Term n2 + n + 41 ergibt immer eine Primzah®, wenn man für n eine natür®iche Zah® einsetzt. 1 + 1 + 41 = 43 Primzah®! 4 + 2 + 41 = 47 Primzah®! 9 + 3 + 41 = 53 Primzah®! n2 + n + 41 = n (n + 1) + 41 Durch diese Veränderung des Terms erkennt man, dass die durch n = 40 oder n = 41 erzeugte Zah® durch 41 tei®bar ist. Damit ist die Vermutung 3 wider®egt! Vermutung 4 Wenn man eine gerade natür®iche Zah® quadriert und dann eins addiert, so erhä®t man immer eine Primzah®. 22 + 1 = 5 Primzah®! 42 + 1 = 17 Primzah®! 62 + 1 = 37 Primzah® 82 + 1 = 65 keine Primzah®! Damit ist die Vermutung 4 wider®egt! Satz Addiert man die ersten m ungeraden Zah®en, so erhä®t man die Quadratzah® m2. Addiert man zu m2 die m + 1. ungerade Zah®, so erhä®t man die m2 nachfo®gende Qudratzah® (m + 1)2. Geometrischer Beweis Phase 3 Einen Beweis suchen Phase 2 Mit konkreten Beispie®en Vermutungen wider®egen oder bestätigen Phase 1 Aufste®®en von Vermutungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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