293 Beweise | Anhang Geometrische Anwendung von Vektoren Vektor-Winke®-Forme® Für den Winke® α zwischen zwei (vom Nu®®vektor verschiedenen) Vektoren _ À a, _ À b * R2 gi®t: cos (α) = _ À a · _ À b __ | _ À a | · | _ À b | Für den Beweis muss zuerst fo®gende Beziehung erk®ärt werden. (1) | _ À a |2 = _ À a2, da gi®t: | _ À a |2 = 2 9 ____ xa 2 + y a 2 32 = _ À a2 Zur Berechnung des Winke®s (vg®. Abbi®dung) kann der Cosinussatz verwendet werden. | _ À a – _ À b | 2 = | _ À a |2 + | _ À b | 2 – 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos(α) | Anwendung der Beziehung (1) 2 _ À a – _ À b 3 2 = _ À a2 + _ À b 2 – 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos(α) _ À a2 – 2 · _ À a · _ À b + _ À b 2 = _ À a2 + _ À b 2 – 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos(α) | – _ À a2 – _ À b 2 ‒ 2 · _ À a · _ À b= ‒2·| _ À a | · | _ À b | · cos(α) | – 2 · | _ À a | · | _ À b | cos (α) = _ À a · _ À b __ | _ À a | · | _ À b | Geraden Schwerpunkt im Dreieck Sind A, B, C drei Punkte eine Dreiecks ABC, dann kann man den Schwerpunkt S berechnen mit: S = 1 _ 3 · (A + B + C) Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Schwer®inien. Eine Schwer®inie verbindet den Mitte®punkt einer Seite mit dem gegenüber®iegenden Eckpunkt. Um eine Forme® für den Schwerpunkt zu erha®ten, verwendet man die Eigenschaft, dass der Schwerpunkt die Schwer®inie im Verhä®tnis 1 : 2 tei®t sowie die Forme® zur Berechnung des Mitte®punkts einer Strecke M AB = 1 _ 2 · (A + B). Daher gi®t: S = MAB = 1 _ 3 · _ MABC = 1 _ 2 · (A + B) + 1 _ 3 · (C – MAB) = 1 _ 2 · (A + B) + 1 _ 3 · 2 C – 1 _ 2 · (A + B) 3 = 1 _ 2 · (A + B) + 1 _ 3 · C – 1 _ 6 · (A + B) = 1 _ 2 · A + 1 _ 2 · B + 1 _ 3 · C – 1 _ 6 · A – 1 _ 6 · B = 1 _ 3 · A + 1 _ 3 · B + 1 _ 3 · C = 1 _ 3 · (A + B + C) 12 S. 255 Satz BEWEIS x y 2 4 6 –2 2 4 –2 0 α a – b b a 13 S. 284 Satz BEWEIS C B A S Mc sb s c sa Mb Ma a b c 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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