292 Beweise Anhang Nicht ®ineare Funktionen Scheite®punkt der quadratischen Funktion Der Scheite®punkt der quadratischen Funktion f(x) = a x2 + b x2 + c ®autet: S = 2 ‒ b _ 2 a 1 4 a c – b2 __ 4 a 3 An der Scheite®punktform einer quadratischen Funktion kann man die Koordinaten des Scheite®punkts S ®eicht ab®esen: f(x) = a(x ‒ m)2 + n; S = 2 m _ n 3 Wir bringen die a®®gemeine quadratische Funktion der Form f(x) = ax2 + bx + c durch quadratische Ergänzung auf die Scheite®punktform: f(x) = a x2 + b x + c f(x) = a 2 x2 + b _ a x 3 + c f(x) = a 2 x2 + b _ a x + 2 b _ 2 a 3 2 ‒ 2 b _ 2 a 3 2 3 + c f(x) = a 2 x2 + b _ a x + 2 b _ 2 a 3 2 3 ‒ b 2 _ 4 a + c f(x) = a 2 x ‒ b _ 2 a 3 2 + c ‒ b 2 _ 4 a = a2 x ‒ b _ 2 a 3 2 + 4 a c ‒ b 2 __ 4 a Aus dieser Form kann man die Koordinaten m und n des Scheite®punkts ab®esen: m = ‒ b _ 2 a und n = 4 a c – b2 __ 4 a ; S = 2 ‒ b _ 2 a 1 4 a c – b2 __ 4 a 3 Trigonometrie im a®®gemeinen Dreieck Cosinussatz a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos(α) b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos(β) c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos(γ) Für die Her®eitung des Cosinussatzes für spitzwink®ige Dreiecke wird das Dreieck z.B. durch die Höhe hc in zwei rechtwink®ige Dreiecke untertei®t. Rechtwink®iges Dreieck AEC: cos(α) = x _ b w x = b · cos(α) b2 = x2 + h c 2 w h c 2 = b2 – x2 x einsetzen w hc 2 = b2 – b2 · cos2(α) Rechtwink®iges Dreieck EBC: x + y = c w y = c – x a2 = h c 2 + y2 für h c , y und x einsetzen: a2 = b2 – b2 · cos2(α) + c2 – 2 xc + x2 a2 = b2 – b2 · cos2(α) + c2 – 2 · b · cos(α) · c + b2 · cos2(α) a2 = b2 + c2 – 2 bc · cos(α) Ana®oge Über®egungen für die Cosinuswerte von β und γ führen zu den anderen G®eichungen. 8 S. 160 Satz BEWEIS 10 S. 213 Satz BEWEIS b x y a A B E hc C α γ β c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=