291 Beweise | Anhang Lösungen einer quadratischen G®eichung Für die Lösungen x1 , x2 einer quadratischen G®eichung der Form ax 2 + bx + c = 0 gi®t: x 1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b2 – 4 ac __ 2 a Um die Lösungsforme® zu beweisen, kann man auf die k®eine Lösungsforme® zurückgreifen. Dazu wird die G®eichung zuerst normiert: a x2 + b x + c = 0 | : a w x2 + b _ a x + c _ a = 0 Nun kann die k®eine Lösungsforme® x1,2 = ‒ p _ 2 ± 2 9____ 2 p _ 2 3 2 ‒ qmit p = b _ a und q = c _ a verwendet werden: x1, 2 = ‒ b _ a _ 2 ± 2 9 ____ 2 b _ a _ 2 3 2 – c _ a w x1, 2 = ‒ b _ 2 a ± 2 9_____ 2 b _ 2 a 3 2 – c _ a w x1, 2 = ‒ b _ 2 a ± 2 9____ b2 _ 4 a2 – c _ a Bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und zieht ansch®ießend tei®weise die Wurze®, erhä®t man die große Lösungsforme®. x1, 2 = ‒ b _ 2 a ± 2 9____ b 2 – 4 a c __ 4 a2 w x1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b2 – 4 a c __ 2 a Lineare Funktionen Graph einer ®inearen Funktion Der Graph einer ®inearen Funktion mit der a®®gemeinen Funktionsg®eichung f(x) = k x + d ist immer eine Gerade. Ist der Graph von f(x) = k x + d eine Gerade, so sind a®®e Steigungsdreiecke ähn®ich, d. h. das Seitenverhä®tnis Δy _ Δx ist bei a®®en Steigungsdreiecken g®eich. Man nimmt zwei be®iebige Punkte auf dem Funktionsgraphen von f(x) an und berechnet das Seitenverhä®tnis Δy _ Δx . P1 = (a 1 k a + d) P 2 = (b 1 k b + d) Δy _ Δx = k b + d – (k a + d) ___ b – a = k b – k a __ b – a = k(b – a) _ b – a = k A®so ist das Verhä®tnis immer konstant k und a®®e Steigungsdreiecke zueinander ähn®ich. S.93 Satz BEWEIS 7 S.129 Satz BEWEIS x f(x) P1 = (a 1 ka + d) Δ x = b – a Δ y = k(b – a) P2 = (b 1 kb + d) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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