290 Beweise Anhang Beweise Quadratische G®eichungen Satzgruppe von VIETA Sind x1 und x2 Lösungen einer normierten quadratischen G®eichung x2 + p x + q = 0, dann gi®t: (1) x1 + x2 = ‒ p (2) x1 · x2 = q (3) (x2 + p x + q) = (x – x 1) · (x – x2) Tei® 1: x1 + x2 = ‒ p Die k®eine Lösungsforme® ®autet: x1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q. Diese Forme® ®ässt sich in zwei Forme®n aufspa®ten: x1 = ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – qund x2 = ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q . Addiert man nun beide Seiten, so erhä®t man x1 + x2 = 2 ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 + 2 ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3. Ansch®ießend ®öst man die K®ammern auf: x1 + x2 = ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q– p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q . Nun kann man die Wurze®n voneinander abziehen und erhä®t x1 + x2 = ‒ p _ 2 – p _ 2 , a®so: x1 + x2 = ‒ p. Tei® 2: x1 · x2 = q Wie in Tei® 1 wird die k®eine Lösungsforme® in zwei Forme®n aufgespa®ten. x1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q w x1 = ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – qund x2 = ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q Nun werden beide G®eichungen miteinander mu®tip®iziert. x1 · x2 = 2 ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 · 2 ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 Die rechte Seite kann man nun a®s Binom darste®®en (verg®eiche 3. Binomische Forme®). x1 · x2 = 2 ‒ p _ 2 3 2 – 2 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 2 Da die Diskriminante positiv ist (Voraussetzung), heben sich Wurze® und Potenz auf. Man erhä®t: x1 · x2 = 2 ‒ p _ 2 3 2 – 2 p _ 2 3 2 – (‒ q) = q Tei® 3: 2 x2 + px + q 3 = (x – x 1) · (x – x2) Für die beiden Lösungen der G®eichung x2 + p x + q = 0 gi®t: x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9_ Dmit D = 2 p _ 2 3 2 – q. Setzt man die beiden Lösungen in die rechte Seite der Behauptung ein, erhä®t man: (x – x1) · 2 x – x2 3 = 2 x – 2 – p _ 2 + 9_ D 3 3 · 2 x – 2 – p _ 2 – 9_ D 3 3 = 2 x + p _ 2 – 9_ D 3 · 2 x + p _ 2 + 9_ D 3 Durch Ausmu®tip®izieren des Ausdrucks 2 x + p _ 2 – 9_ D 3 · 2 x + p _ 2 + 9_ D 3 und ansch®ießendem Ersetzen von D durch 2 p _ 2 3 2 – q erhä®t man die ®inke Seite der Behauptung: 2 x + p _ 2 3 2 – 2 9 _ D 32 = x2 + p x + 2 p _ 2 3 2 – D = x2 + p x + 2 p _ 2 3 2 – 2 p _ 2 3 2 + q = x2 + p x + q 5 S. 96 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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