284 13 Kompetenzen 13.5 Anwendungen Lernzie®e: º Den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen º Merkwürdige Punkte eines Dreiecks berechnen Abstand eines Punktes zu einer Geraden Mit Hi®fe der Vektorrechnung bzw. den Darste®®ungsarten von Geraden kann der Norma®abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnet werden. 1240 Berechne den Abstand des Punktes P = (‒ 3 1 1) von der Geraden g: X = 2 2 0 3 + t · 2 3 2 3. Der Abstand von P zu g wird oft mit d(P, g) abgekürzt (für eng®. distance). Um den Norma®abstand des Punktes P zur Geraden g zu berechnen, muss eine zu g norma®e Gerade n aufgeste®®t und mit g geschnitten werden. Danach wird die Länge des Vektors _ À PSberechnet. Um die Norma®e von g durch den Punkt P zu erha®ten, muss ein Norma®vektor von g aufgeste®®t werden: _ À ng = 2 ‒ 2 3 3. Mit Hi®fe des Norma®vektors kann nun die Gerade n aufgeste®®t werden, da diese den Punkt P enthä®t gi®t: n: X = 2 ‒ 3 1 3 + s · 2 ‒ 2 3 3. Durch Schneiden der beiden Geraden n und g erhä®tmanS=(‒1 1 ‒ 2). Durch Berechnung der Länge des Vektors _ À PS erhä®t man: d(P, g) = | _ À PS | = | 2 2 ‒ 3 3 | = 9__ 13 . 1241 Bestimme den Abstand der Geraden g zu dem Punkt R. a) g: X = 2 1 ‒ 2 3 + t · 2 2 3 3, R = (0 1 3) c) g: X = 2 3 ‒ 2 3 + t · 2 ‒ 1 ‒ 2 3, R = (2 1 1) b) g: X = 2 ‒ 3 ‒ 1 3 + t · 2 ‒ 1 4 3, R = (4 1 5) d) g: X = 2 6 3 3 + t · 2 3 5 3, R = (‒ 2 1 1) 1242 Bestimme den Abstand der Gerade g zu dem Punkt R. a) g:2x–y=5,R=(‒1 1 3) b) g: ‒ x + 4 y = 8, R = (5 1 ‒ 1) c) g: 3 x + 2 y = ‒ 3, R = (2 1 2) Merkwürdige Punkte im Dreieck Mit Hi®fe von Vektoren kann man die merkwürdigen Punkte im Dreieck berechnen. Um diese berechnen zu können, müssen jewei®s zwei Geraden miteinander geschnitten werden. Der Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der Höhengeraden, der Schwerpunkt der Schnittpunkt der Schwer®inien und der Umkreismitte®punkt ist der Schnittpunkt der Streckensymmetra®en. Den Schwerpunkt kann man auch mitte®s der fo®genden einfachen Forme® berechnen (Her®eitung der Forme® S. 293). Schwerpunkt im Dreieck Sind A, B, C drei Punkte eines Dreiecks ABC, dann kann man den Schwerpunkt S berechnen mit: S = 1 _ 3 · (A + B + C) Muster x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –4 –2 0 d(P, g) P n S g Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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