279 Kompetenzen 13.3 Norma®vektordarste®®ung einer Geraden Lernzie®e: º Norma®vektordarste®®ungen von Geraden angeben und interpretieren können º Punkte einer Geraden (in Norma®vektordarste®®ung) ermitte®n können º Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade ermitte®n können º Geraden in verschiedenen Darste®®ungen angeben können Grundkompetenz für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 3.4 Geraden in ℝ2 durch (Parameter-) Gleichungen angeben können; Geradengleichugen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Bestimmen einer Norma®vektordarste®®ung Neben der Parameterdarste®®ung gibt es noch eine andere Mög®ichkeit, Geraden in R2 mit Hi®fe von Vektoren darzuste®®en. In nebenstehender Abbi®dung ist ein Norma®vektor _ À n g der Geraden g eingezeichnet, der natür®ich auch auf den Richtungsvektor _ À ader Geraden norma® steht. Die Gerade g kann durch fo®gende Parameterdarste®®ung beschrieben werden: g: X = P + t · _ À a, t * R Mu®tip®iziert man diese G®eichung mit dem Norma®vektor von g, dann gi®t: _ À n·X = _ À n·P + t· _ À n · _ À a Da der Norma®vektor von g auch norma® auf den Richtungsvektor _ À asteht, muss das ska®are Produkt _ À n · _ À a= 0 sein. Norma®vektordarste®®ung einer Geraden Sei _ À nein Norma®vektor und P ein be®iebiger Punkt der Geraden g, dann gi®t für a®®e Punkte X * g: g: _ À n·X = _ À n · P (Norma®vektordarste®®ung einer Geraden) 1223 Ste®®e die Gerade g[A = (‒ 3 1 ‒ 4), B = (4 1 1)] in Norma®vektorform und a®®gemeiner Form dar. Um die Gerade in Norma®vektorform g: _ À n·X = _ À n· P darzuste®®en, wird ein Punkt und ein Norma®vektor der Geraden benötigt. A®s Punkt kann A oder B verwendet werden. Um einen Norma®vektor zu bekommen, geht man z.B. wie fo®gt vor: _ À AB = 2 7 5 3 w _ À n = 2 ‒ 5 7 3. Durch Einsetzen erhä®t man: g: 2 ‒ 5 7 3 · X = 2 ‒ 5 7 3 · 2 ‒ 3 ‒ 4 3 (a®s Punkt wurde A gewäh®t). Die a®®gemeine Form der Geradeng®eichung erhä®t man z.B. auf fo®gende Art: g: 2 ‒ 5 7 3 · 2 x y 3 = 2 ‒ 5 7 3 · 2 ‒ 3 ‒ 4 3 w g:‒5x+7y=15–28 g: ‒5x +7y = ‒13. P g a ng Merke Muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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