278 Geraden > Lagebeziehung und Schnittwinkel von Geraden 13 1218 Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h. a) g: X = 2 ‒ 1 3 3 + t · 2 ‒ 2 4 3 h: X = 2 ‒ 3 2 3 + s · 2 1 ‒ 1 3 d) g: X = 2 ‒ 1 1 3 + t · 2 3 4 3 h: X = 2 11 ‒ 1 3 + s · 2 6 5 3 b) g: X = 2 2 ‒ 2 3 + t · 2 ‒ 2 3 3 h: X = 2 ‒ 10 16 3 + s · 2 1 ‒ 4 3 e) g: X = 2 5 ‒ 2 3 + t · 2 1 ‒ 2 3 h: X = 2 1 3 3 + s · 2 2 ‒ 3 3 c) g: X = 2 ‒ 3 2 3 + t · 2 6 9 3 h: X = 2 ‒ 3 11 3 + s · 2 8 ‒ 6 3 f) g: X = 2 1 ‒ 4 3 + t · 2 ‒ 12 4 3 h: X = 2 ‒ 31 7 3 + s · 2 4 ‒ 2 3 1219 Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h und berechne – wenn mög®ich – deren Schnittpunkt. a) g: X = 2 ‒ 1 2 3 + t · 2 2 6 3 h: X = 2 11 ‒ 8 3 + s · 2 ‒ 3 ‒ 9 3 d) g: X = 2 5 ‒ 3 3 + t · 2 ‒ 1 5 3 h: X = 2 ‒ 18 20 3 + s · 2 4 ‒ 2 3 b) g: X = 2 ‒ 1 ‒ 3 3 + t · 2 ‒ 1 4 3 h: X = 2 ‒ 6 17 3 + s · 2 1 ‒ 4 3 e) g: X = 2 0 1 3 + t · 2 3 ‒ 4 3 h: X = 2 0 33 3 + s · 2 ‒ 6 ‒ 8 3 c) g: X = 2 2 1 3 + t · 2 2 3 3 h: X = 2 ‒ 3 11 3 + s · 2 ‒ 6 ‒ 9 3 f) g: X = 2 5 11 3 + t · 2 1 2 3 h: X = 2 1 3 3 + s · 2 2 4 3 Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden g und h in Parameterdarstellung Schneide(g,h) g: X = (2,4) + t * (‒ 3,5); h: X = (1,7) + s * (‒ 4,6) Schneide(g,h) = (‒ 7,19) so®ve(g(t) = h(s),t) g(t) ÷= [2,4] + t * [‒ 3,5]; h(s) ÷= [1,7] + s * [‒ 4,6] solve(g(t) = h(t), t) w t = 3 and s = 2 w g(3) = [‒ 7,19] oder h(‒ 1) = [‒ 7,19] so®ve (g(t) = h(s),t) Define g(t) = 4 2 4 5 + t·4 ‒ 3 5 5; Define h(s) = 4 1 7 5 + s·4 ‒ 4 6 5 so®ve(g(t) = h(s),t); {t = 3} Zwei einander schneidende Geraden sch®ießen miteinander vier Winke® ein, wobei jewei®s zwei davon g®eich sind. Da der Winke® α zwischen zwei Geraden eindeutig sein so®®te, hat man sich auf fo®gende Eigenschaft geeinigt: 0° ª α ª 90° Den Schnittwinke® zwischen den beiden Geraden kann man mit Hi®fe der Vektor-Winke®-Forme® (vg®. S. 255 und zwei Richtungsvektoren der Geraden berechnen. 1220 Berechne den Winke® zwischen den beiden Geraden g und h. g: X = 2 ‒ 2 ‒ 4 3 + t · 2 2 ‒ 1 3; h[A = (2 1 5), B = (‒ 3 1 1)] Um den Winke® zwischen den beiden Geraden zu berechnen, werden die beiden Richtungsvektoren benötigt. Richtungsvektor von g: _ À g = 2 2 ‒ 1 3 Richtungsvektor von h: _ À h = _ À AB = 2 ‒ 5 ‒ 4 3 Da die beiden Richtungsvektoren nicht para®®e® sind, schneiden die beiden Geraden einander. Durch Einsetzen in die Vektor-Winke®-Forme® erhä®t man: cos(α) = 2 2 ‒ 1 3 · 2 ‒ 5 ‒ 4 3 __ 9 _ 5 ·9 __ 41 = ‒ 10 + 4 _ 9 __ 205 w α = 114,78°. Da jener Winke® berechnet werden so®®, der zwischen 0° und 90° ®iegt, gi®t für den spitzen Winke® α‘ = 180° – 114,78° = 65,22°. 1221 Berechne den Schnittwinke® der Geraden g und h aus Aufgabe 1218. 1222 Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinke® der beiden gegebenen Geraden. a) g: X = 2 1 3 3 + t · 2 2 4 3 h: X = 2 ‒ 7 5 3 + s · 2 3 ‒ 10 3 b) g: X = 2 ‒ 2 5 3 + t · 2 1 ‒ 3 3 h: X = 2 ‒ 3 13 3 + s · 2 ‒ 2 1 3 ó Ó Techno®ogie An®eitung Schneiden von Geraden p399fh Technologie g h α α 180° – α 180° – α h g Muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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