276 13 Kompetenzen 13.2 Lagebeziehungen und Schnittwinke® von Geraden Lernzie®e: º Lagebeziehungen zweier Geraden ermitte®n können º Schnittwinke® zweier Geraden bestimmen können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 3.4 [...] Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können In den drei Abbi®dungen sind a®®e mög®ichen Lagebeziehungen der beiden Geraden in R2 g: X = G + t · _ À g und h:X=H+s· _ À h, s, t * R angegeben. g und h sind para®®e® g und h sind ident g und h schneiden einander g u h w keine Punkte gemeinsam g = h w unend®ich vie®e Punkte gemeinsam einen Punkt gemeinsam Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind para®®e® (d. h. sie sind ein Vie®faches voneinander): _ À g = k · _ À h, k * R Die beiden Richtungsvektoren sind nicht para®®e® (d. h. kein Vie®faches voneinander). Der Punkt G ®iegt nur auf g und nicht auf h: G * g ¥ G + h Der Punkt G ®iegt auf beiden Geraden: G * g ¥ G * h 1212 Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h. g: X = 2 ‒ 2 ‒ 3 3 + t · 2 1 2 3 h:X=2 1 3 3 + s · 2 ‒ 3 ‒ 6 3 Zuerst werden die beiden Richtungsvektoren von g und h betrachtet. Die beiden Richtungsvektoren sind para®®e®, da ein Richtungsvektor ein Vie®faches des anderen Richtungsvektors ist: 2 ‒ 3 ‒ 6 3 = (‒ 3) · 2 1 2 3. Aus diesem Grund sind die beiden Geraden nicht schneidend. Um zu überprüfen, ob die beiden Geraden para®®e® oder ident sind, muss kontro®®iert werden, ob G = (‒ 2 1 ‒ 3) auch auf der Geraden h ®iegt (es wäre auch mög®ich zu überprüfen, ob H = (1 1 3) auf g ®iegt). Dafür wird G in h eingesetzt. 2 ‒ 2 ‒ 3 3 = 2 1 3 3 + s · 2 ‒ 3 ‒ 6 3 w Durch Lösen der beiden G®eichungen erkennt man, dass der Punkt G auch auf der Geraden h ®iegt. Da die Geraden para®®e®e Richtungsvektoren und mindestens einen gemeinsamen Punkt besitzen, sind sie ident: g = h. Ó Techno®ogie Darste®®ung Lagebeziehungen von Geraden wj276k G H g h h g G H g h h g G S H g h h g Muster ‒ 2 = 1 – 3 s w s = 1 ‒ 3 = 3 – 6 s w s = 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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