270 Geraden > Parameterdarstellung einer Geraden 13 Geraden können auch mit Hi®fe der Vektorrechnung aufgeste®®t werden. Es wird wieder eine Bedingung gesucht, die für a®®e Punkte der Geraden gi®t (für andere Punkte natür®ich nicht): Jede Gerade g besteht aus unend®ich vie®en Punkten. In nebenstehender Abbi®dung wurden ein Punkt P und ein Vektor _ À aeingezeichnet sowie sechs weitere be®iebige Punkte von g. Die Lage der Geraden kann durch den Punkt P sowie durch den Vektor _ À aeindeutig festge®egt werden (da Länge und Orientierung dieses Vektors in diesem Zusammenhang nicht wichtig sind, sondern nur seine Richtung, nennt man diesen Vektor auch einen Richtungsvektor der Geraden). Die anderen Punkte kann man mit den Methoden aus Abschnitt 12.4 auf fo®gende Art berechnen: A4 = P + 1 · _ À a A5 = P + 2 · _ À a A6 = P + 3 · _ À a A3 = P – 1 · _ À a A2 = P – 2 · _ À a A1 = P – 3 · _ À a Da man diese Berechnung für a®®e be®iebigen Punkte X auf g durchführen könnte, nimmt man einen Parameter t (dieser steht für jede be®iebige ree®®e Zah®). Parameterdarste®®ung einer Geraden g Sei g eine Gerade, P ein Punkt dieser Geraden und _ À aein Richtungsvektor von g. Dann gi®t für a®®e Punkte X * g: X = P + t · _ À a, t * R Um einfacher rechnen zu können, werden auch die Punkte in Spa®tenschreibweise angeschrieben. 1180 Gegeben ist der Punkt P = (‒ 3 1 5) und ein Richtungsvektor _ À a = 2 ‒ 0,2 0,4 3 einer Geraden g. Ste®®e eine Parameterdarste®®ung der Geraden auf und verwende dabei einen Richtungsvektor mit ganzzah®igen Komponenten. Da die Länge und die Orientierung des Richtungsvektors einer Geraden verändert werden können, kann man auch Vie®fache des Richtungsvektors verwenden. Es gi®t: 2 ‒ 0,2 0,4 3 u 2 ‒ 2 4 3 u 2 ‒ 1 2 3 Man erhä®t die Geradengleichung. g: X = 2 ‒ 3 5 3 + t · 2 ‒ 1 2 3 1181 Gegeben ist ein Punkt P und ein Richtungsvektor _ À ader Geraden g. Gib eine Parameterdarste®®ung der Geraden an. a) g4 P = (‒ 2 1 ‒ 3); _ À a = 2 ‒ 3 2 3 5 c) g4 P = (4 1 0); _ À a = 2 6 ‒ 2 3 5 e) g4 P = (‒ 7 1 3); _ À a = 2 ‒ 30 12 3 5 b) g4 P = (1 1 ‒ 1); _ À a = 2 ‒ 3 ‒ 2 3 5 d) g4 P = (2 1 5); _ À a = 2 3 5 3 5 f) g4 P = (4 1 1); _ À a = 2 3 2 3 5 Bestimmen einer Parameterdarste®®ung durch einen bereits definierten Punkt A und einen bereits definierten Richtungsvektor v Gerade[A,v] A = (2,3) v = (‒ 3,1) Gerade(A, v) x(t) ÷= a + t * v a ÷= [2,3] v ÷= [‒ 3,1] x(t) ÷= a + t * v In Main: g÷= A + t·v 4 2 3 5 w A; 4 ‒ 3 1 5 w v 4 ‒ 3 t + 2 t + 3 5 P g A6 A5 A4 A3 A1 A2 a Ó Techno®ogie Darste®®ung Parameterdarste®®ung as79zm Merke Muster ó Ó Techno®ogie An®eitung Parameterdarste®®ung 6j342r Technologie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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