261 Geometrische Anwendungen von Vektoren > Finden von Normalvektoren 1145 Von einem Quadrat sind der Eckpunkt A = (2 1 ‒ 3) und der Mitte®punkt M = (1 1 ‒1) gegeben (Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn). Bestimme die anderen Eckpunkte. Da _ À AM und _ À MCdurch den g®eichen Vektor repräsentiert werden, gi®t: C = M + _ À AM = 2 1 ‒ 1 3 + 2 ‒ 1 2 3 = (0 1 1) Um den Eckpunkt B zu bekommen, muss man den Vektor _ À AMnach rechts kippen und zu M addieren, wie die Abbi®dung zeigt. B = M + _ À n _ À AM r = 2 1 ‒ 1 3 + 2 2 1 3 = (3 1 0) Den Eckpunkt D erhä®t man z.B. durch: D = A + _ À BC = 2 2 ‒ 3 3 + 2 ‒ 3 1 3 = (‒ 1 1 ‒ 2) 1146 Von einem Quadrat sind zwei Punkte gegeben (Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn). Bestimme die Koordinaten der anderen Eckpunkte durch Rechnung. Gib auch den F®ächeninha®t und den Umfang des Quadrats an. a) A = (‒ 3 1 ‒ 4), B = (1 1 ‒ 2) c) A = (‒ 1 1 ‒ 4), D = (1 1 3) e) B = (‒ 2 1 5), D = (4 1 1) b) A = (‒ 4 1 ‒5),M = (‒1 1 1) d) C = (‒ 3 1 6), M = (1 1 1) f) B = (10 1 2), M = (6 1 5) 1147 Von einer Raute kennt man die beiden Eckpunkte A = (‒ 5 1 ‒ 4), und C = (‒ 2 1 ‒1), sowie die Länge der Diagona®e f = 9 _ 2. Berechne die anderen beiden Eckpunkte, sowie den F®ächeninha®t der Raute. Da die Diagona®en norma® aufeinander stehen, einander ha®bieren und man die Länge der Diagona®e f kennt, muss man den nach rechts gekippten Norma®vektor von _ À AC berechnen, auf die Länge der ha®ben Diagona®e von f bringen und diesen zum Mitte®punkt der Raute addieren, um B zu erha®ten. _ À AC = 2 3 3 3 w _ À n _ À AC r = 2 3 ‒ 3 3 MAC = 1 _ 2 ·(A + C) = (‒ 3,5 1 ‒ 2,5) Um den Norma®vektor auf die Länge der ha®ben Diagona®e f zu bringen, muss man den Einheitsvektor des Norma®vektors ausrechnen und diesen mit f _ 2 = 9 _ 2 _ 2 mu®tip®izieren. | 2 _ À n _ À AC r 3 | = 9 ____ 32 + 32 = 9 __ 18 w 2 _ À n _ À AC r 3 0 = 1 _ | 2 _ À n _ À AC r 3 | · _ À n _ À AC r = 1 _ 9 __ 18 2 3 ‒ 3 3 w f _ 2 ·2 _ À n _ À AC r 3 0 = 9_ 2 _ 2 · 1 _ 9 __ 18 2 3 ‒ 3 3 = 2 0,5 ‒ 0,5 3 Den Eckpunkt B erhä®t man nun durch: B = M + f _ 2 ·2 _ À n _ À AC r 3 0 = 2 ‒ 3,5 ‒ 2,5 3 + 2 0,5 ‒ 0,5 3 = (‒ 3 1 ‒ 3) Den feh®enden Eckpunkt D kann man auf verschiedene Arten ausrechnen, z.B. durch: D = A + _ À BC = 2 ‒ 5 ‒ 4 3 + 2 1 2 3 = (‒ 4 1 ‒ 2) Den F®ächeninha®t erhä®t man durch A = e·f _ 2 . Aus e = | _ À AC | fo®gt: e = | _ À AC | = 9 __ 18 w A = 9__ 18 ·9 _ 2 _ 2 = 3 FE 1148 Von einer Raute kennt man zwei Eckpunkte und die Länge einer Diagonale. Berechne die beiden anderen Eckpunkte sowie den Flächeninhalt der Raute. a) B = (2 | ‒ 2), D = (‒ 3 | 3), e = 9 _ 2 b) A = (1|‒2), C = (6|13), f = 9 __ 18 Muster x y 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 –2 –3 –1 0 A D B C nAM r nAM r AM AM M Muster y x 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 0 e f M A B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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