258 Geometrische Anwendungen von Vektoren > Winkel zwischen zwei Vektoren 12 1133 Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit Mitte®punkt M. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A _ À AB · _ À BC = 0 D _ À AB · _ À CD = 0 B _ À AC · _ À BC = 0 E _ À AM · _ À BM = 0 C _ À AM · _ À CM = 0 1134 Bestimme die feh®ende Koordinate so, dass die beiden Vektoren norma® aufeinander stehen. a) _ À a = 2 ‒ 4 2 3, _ À b = 2 6 r 3 c) _ À a = 2 ‒ 7 u 3, _ À b = 2 ‒ 6 42 3 e) _ À a = 2 2 1 3, _ À b = 2 a ‒ 6 3 b) _ À a = 2 a ‒ 1 3, _ À b = 2 5 12 3 d) _ À a = 2 9 ‒ 4 3, _ À b = 2 16 a 3 f) _ À a = 2 22 15 3, _ À b = 2 ‒ 30 r 3 1135 Bestimme die feh®ende Koordinate so, dass das Dreieck rechtwink®ig wird (mit rechtem Winke® in C). a) A = (4 1 1), B = (11 1 2), C = (r 1 4) c) A = (u 1 ‒ 2), B = (4 1 2), C = (‒1 1 3) b) A = (8 1 5), B = (‒ 3 1 s), C = (5 1 ‒ 3) d) A = (4 1 ‒ 2), B = (11 1 ‒ 3), C = (v 1 1) 1136 Überprüfe, u.a. mit Hi®fe des Orthogona®itätskriteriums, um we®ches Viereck es sich hande®t. a) A = (3 1 ‒1), B = (8 1 ‒ 3), C = (10 1 2), D = (5 1 4) b) A = (1 1 ‒ 4), B = (6 1 ‒ 4), C = (9 1 0), D = (4 1 0) c) A = (‒ 6 1 ‒1),B = (‒8 1 ‒ 2), C = (‒ 8 1 ‒7),D = (‒5 1 ‒ 3) d) A = (2 1 2), B = (3 1 0), C = (7 1 2), D = (6 1 4) 1137 Betrachte die Abbi®dung und kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A _ À CD · _ À EF = 0 B _ À GH · _ À BJ = 0 C _ À AB · _ À CI = 0 D _ À HJ · _ À EI = 0 E _ À GJ · _ À HJ = 0 Interpretation des Vorzeichens des Skalarprodukts Stehen zwei Vektoren normal aufeinander, dann ist ihr Skalarprodukt null. Mit Hilfe der Vektor-Winkel-Formel kann man auch die weiteren Winkelarten bestimmen. Dafür benötigt man zwei wichtige Zusammenhänge. º Die Vektor-Winkel-Formel: cos (α) = _ À a· _ À b __ | _ À a |·| _ À b | º den Einheitskreis: Der Cosinus eines spitzen Winkels ist immer positiv, der Cosinus eines stumpfen Winkels ist immer negativ. Der Cosinus eines gestreckten Winkels (= 180°) ist ‒1. Aufgrund dieser Überlegungen kann man das Vorzeichen des skalaren Produkts deuten. A a a a a B C M D AG-R 3.3 M1 ó ó óAG-R 3.3 M1 A B H G F I J E C D –1 –1 0 x 1 y 1 cos (β) < 0 cos (α) > 0 α β Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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