257 Geometrische Anwendungen von Vektoren > Winkel zwischen zwei Vektoren Orthogona®itätskriterium Mit Hi®fe der Vektor-Winke®-Forme® kann man überprüfen, ob zwei Vektoren norma® aufeinander stehen. Dazu sind Grundkenntnisse über Winke®funktionen notwendig. Norma®e Vektoren Zwei Vektoren _ À a, _ À b * R2 stehen norma® aufeinander (orthogona® zueinander), wenn die dazugehörigen Pfei®e norma® aufeinander stehen. Erinnere dich an die exakten Werte von Winke®funktionen. 1130 Vervo®®ständige die Tabe®®e. α 0° 90° 180° 270° 360° cos (α) sin (α) tan (α) Stehen zwei Vektoren _ À a, _ À b norma® aufeinander, dann ist der Cosinuswert des von ihnen eingesch®ossenen Winke®s 0. Betrachtet man noch einma® die Forme® cos (α) = _ À a· _ À b _ | _ À a|·| _ À b| , dann erkennt man, dass das ska®are Produkt der beiden Vektoren 0 ergeben muss. Orthogona®itätskriterium Zwei Vektoren _ À a, _ À b * R2 stehen genau dann norma® aufeinander, wenn ihr ska®ares Produkt nu®® ergibt: _ À a © _ À b É _ À a· _ À b = 0 1131 Überprüfe, ob die beiden Vektoren _ À a = 2 3 ‒ 4 3 und _ À b = 2 ‒ 8 ‒ 6 3 norma® aufeinander stehen. Dieses Beispie® kann man geometrisch oder rechnerisch ®ösen. Bei der geometrischen Lösung zeichnet man die beiden Vektoren mit Hi®fe von zwei Repräsentanten (Pfei®e) in ein Koordinatensystem ein und überprüft den eingesch®ossenen Winke®. Bei der rechnerischen Lösung verwendet man das Orthogona®itätskriterium. Es wird das ska®are Produkt _ À a· _ À bder beiden Vektoren berechnet und überprüft, ob dieses nu®® ergibt: _ À a· _ À b = 2 3 ‒ 4 3·2 ‒ 8 ‒ 6 3 = ‒ 24 + 24 = 0 Die beiden Vektoren stehen norma® aufeinander. 1132 Überprüfe, ob die beiden Vektoren norma® aufeinander stehen. a) _ À a = 2 5 ‒ 1 3, _ À b = 2 2 ‒ 10 3 c) _ À a = 2 ‒ 7 6 3, _ À b = 2 ‒ 6 7 3 e) _ À a = 2 3 0 3, _ À b = 2 0 ‒ 4 3 b) _ À a = 2 3 ‒ 1 3, _ À b = 2 3 ‒ 5 3 d) _ À a = 2 3 ‒ 5 3, _ À b = 2 15 9 3 f) _ À a = 2 2 ‒ 9 3, _ À b = 2 45 12 3 Merke Vorwissen ó Kapite® 10.1 S. 204 Merke Muster ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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