255 Kompetenzen 12.2 Winke® zwischen zwei Vektoren Lernzie®e: º Die geometrische Bedeutung des Ska®arprodukts kennen und den Winke® zwischen zwei Vektoren ermitte®n können º Aufeinander norma® stehende Vektoren definieren und erkennen können º Vorzeichen des Skalarprodukts interpretieren können º Besondere Eigenschaften von Figuren überprüfen können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 3.3 Definitionen der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Der Winke® zwischen zwei Vektoren _ À a, _ À b * R2 ist der Winke®, den die dazugehörigen Pfei®e miteinander einsch®ießen. Zwei Vektoren sch®ießen immer auch einen erhabenen Winke® miteinander ein (außer bei para®®e®en Vektoren). Es wird aber der Winkel kleiner gleich 180° angegeben (auch von diversen Technologien). Den Winke® zwischen zwei Vektoren kann man mit den Methoden aus Kapite® 10 berechnen. Wie man in nebenstehender Abbi®dung sieht, kann hier ein Dreieck eingezeichnet werden. Mit Hi®fe des Cosinussatzes kann man den Winke® zwischen diesen beiden Vektoren wie fo®gt berechnen: | _ À a – _ À b|2 = | _ À a|2 + | _ À b|2 – 2·| _ À a|·| _ À b|·cos (α) Bei dieser Forme® sind einige Rechenschritte notwendig. Durch einige Umformungen erhä®t man eine einfachere Forme® (siehe Beweise, S. 293). Vektor-Winke®-Forme® Für den Winke® α zwischen zwei (vom Nu®®vektor verschiedenen) Vektoren _ À a, _ À b * R2 gi®t: cos (α) = _ À a· _ À b _ | _ À a|· | _ À b| Tipp: Bei dieser Forme® wird das Skalarprodukt von Seite 228 benötigt. 1124 Berechne den Winke® zwischen den beiden gegebenen Vektoren. _ À a = 2 6 3 3 _ À b = 2 ‒ 3 ‒ 2 3 Durch Einsetzen in die Vektor-Winke®-Forme® erhä®t man: cos (α) = 2 6 3 3·2 ‒ 3 ‒ 2 3 __ 9 __ 45 · 9 __ 13 = ‒ 18 ‒ 6 _ 9 ____ 45·13 = ‒ 24 _ 9 __ 585 α = arccos 2 ‒ 24 _ 9 __ 585 3 = 172,88° x y 2 4 6 –2 2 4 –2 0 b a α x y 2 4 6 –2 2 –4 –2 0 b a a – b α Merke Muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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