252 Geometrische Anwendungen von Vektoren > Abtragen von Strecken 12 1108 Tei®e die Strecke AB in vier g®eich große Tei®e und gib die Tei®ungspunkte an. a) A = (‒ 2 1 ‒ 4), B = (‒ 4 1 ‒ 8) c) A = (3 1 2), B = (‒1 1 ‒ 6) e) A = (5 1 3), B = (‒1 1 ‒ 1) b) A = (‒ 1 1 ‒ 4), B = (3 1 2) d) A = (‒ 5 1 4), B = (7 1 2) f) A = (‒ 3 1 ‒ 9), B = (1 1 3) 1109 Tei®e die Strecke AB im angegebenen Verhä®tnis und gib den Tei®ungspunkt an. a) A = (‒ 2 1 ‒4),B = (‒7 1 ‒ 9), 2:3 c) A = (3 1 4), B = (11 1 ‒ 4), 3:5 e) A = (‒ 4 1 5), B = (0 1 ‒ 3), 3:1 b) A = (‒ 1 1 ‒4),B = (4 1 1), 1:4 d) A = (‒ 5 1 ‒ 2), B = (7 1 2), 1:3 f) A = (‒ 1 1 ‒7), B = (0 1 3), 1:1 Einheitsvektor Mu®tip®iziert man einen Vektor mit 2, so ist der entstandene Vektor doppe®t so ®ang wie der ursprüng®iche Vektor. In vie®en Anwendungen in der Geometrie, sucht man einen Vektor mit einer bestimmten Länge. Hierbei ist es sinnvo®®, den Vektor zuerst auf eine Einheit (Länge 1) zu verkürzen bzw. zu ver®ängern. Um einen Vektor auf eine Einheit zu bringen, muss man diesen durch seine Länge dividieren. Dadurch ändert sich weder die Richtung noch die Orientierung. In der Abbi®dung sieht man den Vektor _ À a mit der Länge 5, Vie®fache von _ À a, sowie den Einheitsvektor _ À a0 von _ À amit der Länge 1. Einheitsvektoren und normierte Vektoren Ist ein Vektor _ À a * R² (≠ _ À 0) gegeben, dann nennt man jenen zu _ À a para®®e®en Vektor mit Länge 1 und g®eicher Orientierung, den Einheitsvektor von _ À a(i. Z. _ À a0). Es gi®t: a0 = 1 _ |a| · _ À a Einen Vektor mit der Länge 1 nennt man auch normierten Vektor. 1110 Bestimme den Einheitsvektor von _ À a = 2 12 16 3. Um den Einheitsvektor zu berechnen, wird zuerst die Länge von _ À aberechnet und der Vektor ansch®ießend durch seine Länge dividiert. | _ À a| = 9 _____ 122 + 162 = 9 _____ 144 + 256 = 20 ¥ _ À a0 = 1 _ 20 ·2 12 16 3 = 2 0,6 0,8 3 Bei einigen Aufgaben ist die Schreibweise 1 _ 20 ·2 12 16 3von Vortei®. Einheitsvektor eines bereits definierten Vektors v Einheitsvektor(v) v = (‒ 3,1) Einheitsvektor(v) (‒ 0.95,0.32) unitV(v) v÷= [‒ 3,1] unitV(v) 4 ‒ 3· 9__ 10 _ 10 9 __ 10 _ 10 5 unitV(v) v÷= 4 ‒ 3 1 5 unitV(v) 4 – 0,95 0,32 5 1111 Bestimme den Einheitsvektor von _ À a. a) _ À a = 2 ‒ 3 4 3 b) _ À a = 2 2 7 3 c) _ À a = 2 ‒ 9 12 3 d) _ À a = 2 ‒ 3 ‒ 5 3 e) _ À a = 2 11 6 3 f) _ À a = 2 3 ‒ 22 3 g) _ À a = 2 ‒ 1 1 3 h) _ À a = 2 100 0 3 Ó Techno®ogie Darste®®ung Einheitsvektor 2i37zc x y 2 4 6 8 –6 –4 –2 4 –2 0 2 · a · a 1 – 2 · a 3 – 2 a · a 1 – 5 a0 = Merke Muster Ó Techno®ogie An®eitung Einheitsvektoren 57my6m Technologie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=