244 Vektoren > Zusammenfassung 11 Addieren bzw. Subtrahieren von Vektoren, Mu®tip®izieren eines Vektors mit einem Ska®ar _ À A + _ À B = 2 a1 + b1 a 2 + b2 3 _ À A – _ À B = 2 a1 – b1 a 2 – b2 3 k · _ À A = 2 k · a1 k · a2 3 Bei der Addition bzw. Subtraktion zweier Vektoren und der Mu®tip®ikation eines Vektors mit einem Ska®ar (einer ree®®en Zah®) erhä®t man a®s Ergebnis wieder einen Vektor. Ska®ares Produkt zweier Vektoren Mu®tip®iziert man zwei Vektoren miteinander, dann gi®t: _ À A · _ À B = 2 a1 a 2 3 · 2 a2 b 2 3 = a1 · b1 + a2 · b2 Das Ergebnis bei der Mu®tip®ikation zweier Vektoren ist eine ree®®e Zah® (Ska®ar). Darste®®ung eines Vektors Ein Vektor der Ebene kann durch genau einen Punkt oder unend®ich vie®e para®®e®e, g®eich ®ange Pfei®e mit g®eicher Orientierung dargeste®®t werden. Umgekehrt kann ein Punkt bzw. ein Pfei® genau einem Vektor zugeordnet werden. Berechnung eines Vektors durch Anfangspunkt und Endpunkt Sind zwei Punkte P, Q * R2 gegeben, dann nennt man den durch den Pfei® von P nach Q repräsentierten Vektor _ À PQ und es gi®t: _ À PQ=Q–P Länge/Betrag eines Vektors Unter dem Betrag eines Vektors _ À a = 2 xa y a 3 aus R² (| _ À a|) versteht man die Länge der ihm zugeordneten Pfei®e und es gi®t: | _ À a| = 9 _____ xa 2 + y a 2 (Verwendung des pythagoräischen Lehrsatzes). Geometrische Interpretation der Rechenoperationen Punkt-Pfei®-Addition Pfei®-Pfei®-Addition Mu®tip®ikation mit einem Ska®ar B = A + p A p a p b = a + p r · a a Die Subtraktion zweier Vektoren kann a®s Addition des Gegenvektors interpretiert werden. Wird ein Vektor mit einer ree®®en Zah® (≠ 0, 1) mu®tip®iziert, entspricht dies einer Streckung bzw. Stauchung der zum Vektor gehörigen Pfei®e. para®®e®e Vektoren, Para®®e®itätskriterium Zwei Vektoren _ À a, _ À b * R2 sind genau dann para®®e®, wenn ein Vektor ein Vie®faches des anderen Vektors ist, d.h. wenn eine ree®®e Zah® k ≠ 0 existiert mit _ À a= k· _ À b. x y 1 2 3 4 5 –3–2 2 1 3 4 –2 0 p = 2 3 –1 2 p = 2 3 –1 2 P(–1 1 2) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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