237 Kompetenzen 11.4 G eometrische Interpretation der Rechenoperationen Lernzie®e: º Additionen und Subtraktionen von Vektoren geometrisch darste®®en und interpretieren können º Mu®tip®ikation eines Vektors mit einem Ska®ar geometrisch darste®®en und interpretieren können º Para®®e®e Vektoren definieren, erkennen und aufste®®en können (Para®®e®itätskriterium) Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 3.3 Definitionen der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und geometrisch deuten können Addieren und Subtrahieren von Vektoren Du hast bereits ge®ernt, wie du die Summe zweier Vektoren berechnen kannst. Z.B.: Die Rechnung 2 1 ‒ 1 3 + 2 3 2 3 kann auch geometrisch interpretiert werden. Interpretation a®s Punkt-Pfei®-Addition Interpretation a®s Pfei®-Pfei®-Addition x y 2 4 6 8 10 –4 –2 2 –2 0 B = (4 1 1) A = (1 1 –1) p = 2 3 3 2 x y 2 4 6 8 10 –4 –2 2 –2 0 a = 2 3 1 – 1 p = 2 3 3 2 a + p = 2 3 4 1 Bei der Punkt-Pfei®-Addition wird der erste Vektor a®s Punkt A = (1 1 ‒1) und der zweite Vektor a®s Pfei® _ À p = 2 3 2 3 interpretiert, der vom Punkt A aus eingezeichnet wird. Das Ergebnis dieser Addition ergibt einen Punkt: B = 2 1 ‒ 1 3 + 2 3 2 3 = 2 4 1 3 = (4 1 1) Bei der Pfei®-Pfei®-Addition werden beide Vektoren a®s Pfei®e interpretiert. Das Ergebnis ist wieder ein Pfei® (vom Schaft des ersten Pfei®s zur Spitze des zweiten Pfei®s): _ À a + _ À p = 2 1 ‒ 1 3 + 2 3 2 3 = 2 4 1 3 Beachte, dass das Ergebnis jeder Addition zweier Vektoren wieder einen Vektor ergibt und daher durch einen Punkt oder durch unend®ich vie®e para®®e®e, g®eich ®ange Pfei®e mit g®eicher Orientierung dargeste®®t werden kann. In vie®en Anwendungsaufgaben ist es wichtig das Ergebnis auch entsprechend zu interpretieren. Subtraktion a®s Addition des Gegenvektors Die Subtraktion kann a®s Addition mit dem Gegenvektor dargeste®®t werden: _ À a – _ À p = _ À a + (‒ _ À p) _ À a – _ À p = 2 1 ‒ 1 3 – 2 3 2 3 = 2 ‒ 2 ‒ 3 3 geometrisch: 2 1 ‒ 1 3 + 2 ‒ 3 ‒ 2 3 = 2 ‒ 2 ‒ 3 3 Ó Techno®ogie Darste®®ung Interpretation der Addition m5q352 x y 1 2 3 4 5 –2 –1 1 2 3 4 0 a = 2 3 1 – 1 p = 2 3 3 2 a – p = 2 3 – 2 – 3 – p = 2 3 – 3 – 2 (Gegenvektor von p) Ó Techno®ogie Darste®®ung Subtraktion von Vektoren h2ax59 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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