235 Länge eines Vektors, Betrag eines Vektors Mit Hi®fe von Vektoren kann der Abstand zwischen zwei Punkten berechnet werden. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten entspricht der Länge des dazugehörigen Pfei®s. 1040 Der Abstand zweier Bojen so®® ermitte®t werden. Die Koordinaten der beiden Bojen A = (2 1 1), B = (6 1 4) sind in Meter gegeben. Die Koordinaten des Vektors _ À AB = 2 4 3 3 können ®eicht berechnet oder abge®esen werden. Mit Hi®fe eines rechtwink®igen Dreiecks und des pythagoräischen Lehrsatzes kann nun die Länge des Pfei®s und damit der Abstand der beiden Punkte (man schreibt: | _ À AB | oder _ AB ) berechnet werden: | _ À AB | = 9 ____ 32 + 42 = 5 Die beiden Bojen stehen 5 m weit auseinander. Betrag eines Vektors Unter dem Betrag eines Vektors (auch Länge eines Vektors) versteht man die Länge der dazugehörigen Pfei®e. Diese Länge kann mit Hi®fe des Lehrsatzes des Pythagoras berechnet werden. Ist _ À a = 2 xa y a 3 ein Vektor aus R², dann gi®t für seinen Betrag/seine Länge (| _ À a |): _ À a = 9 _____ xa 2 + y a 2 1041 Bestimme den Betrag des Vektors und überprüfe durch eine Zeichnung. a) _ À a = 2 3 ‒ 4 3 b) _ À a = 2 5 ‒ 2 3 c) _ À a = 2 ‒ 3 ‒ 6 3 d) _ À a = 2 ‒ 1 ‒ 9 3 e) _ À a = 2 0 ‒ 4 3 f) _ À a = 2 ‒ 3 7 3 Betrag eines bereits definierten Vektors v Länge(v) v = (‒ 3,1) Länge(v) 3.16 norm(v) v: = [‒ 3,1] norm(v) 9 __ 10 norm(v) 4 ‒ 3 1 5 w v norm(v) 3,16227766 1042 Berechne den Abstand der angegebenen Punkte. a) A = (‒ 4 1 ‒1), B = (2 1 3) c) A = (3 1 ‒ 4), B = (‒ 2 1 ‒ 6) e) A = (2 1 3), B = (6 1 4) b) A = (3 1 2), B = (‒ 5 1 ‒ 3) d) A = (‒ 1 1 ‒ 2), B = (‒ 3 1 ‒ 5) f) A = (‒ 3 1 2), B = (‒ 8 1 2) 1043 Kreuze jene beiden Vektoren an, die die gleiche Länge besitzen. A B C D E 2 3 4 3 2 5 4 3 2 0 5 3 2 8 6 3 2 ‒ 2 3 3 1044 Beweise fo®gende Behauptung: Ein Vektor und sein Gegenvektor haben den g®eichen Betrag. Muster x y 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 0 AB B A 3 4 x y 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 0 | a | = 9 ____ x a 2 + y a 2 ya xa Merke Ó Techno®ogie An®eitung Betrag eines Vektors m3q5uf Technologie óAG-R 3.2 M1 Vektoren > Geometrische Interpretation von Vektoren im R2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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