225 Kompetenzen 11.2 Rechnen mit Vektoren Lernzie®e: º Vektoren rechnerisch addieren und subtrahieren können º Den Gegenvektor und den Nu®®vektor definieren können º Vektoren mit einem Ska®ar mu®tip®izieren können º Das ska®are Produkt zweier Vektoren definieren und berechnen können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 3.3 Definitionen der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen [...] deuten können Addieren und Subtrahieren von Vektoren, Mu®tip®izieren eines Vektors mit einer ree®®en Zah® Wie mit ree®®en Zah®en, kann man auch mit Vektoren rechnen. 997 Ein Sportgeschäft verkauft drei verschiedene Arten von Bä®®en. Die Vektoren W1, W2 und W3 geben die Verkaufszah®en der einze®nen Bä®®e in zwei Wochen wieder. Der Vektor P gibt den Preis in Euro pro Ba®® an. W1 = 2 20 10 3 W2 = 2 17 16 3 W3 = 2 20 21 3 P = 2 20 17 3 a) Berechne den Vektor S, der die Gesamtanzah® der verkauften Bä®®e pro Art angibt. b) Berechne den Vektor D, der die Differenz der Anzah® der verkauften Bä®®e zwischen der ersten und zweiten Woche angibt. Was bedeutet ein negatives Ergebnis? c) Nach der dritten Woche gibt es eine Sonderaktion. Jeder Ba®® wird um 20% ermäßigt. Berechne den Vektor P‘, der die neuen Preise für diese Sonderaktion angibt. a) Den Summenvektor erhä®t man, indem man die einze®nen Komponenten der Vektoren addiert. S = W1 + W2 + W3 = 2 20 10 3 + 2 17 16 3 + 2 20 21 3 = 2 57 47 3 b) Die Differenz erhä®t man durch Subtraktion der einze®nen Komponenten der Vektoren. D = W1 – W2 = 2 20 10 3 – 2 17 16 3 = 2 3 ‒ 6 3 Anhand der negativen Ergebnisse kann man ab®esen, dass von den Bä®®en der zweiten Art in der zweiten Woche mehr Stück verkauft wurden. c) Eine 20 prozentige Preisreduktion entspricht einer Mu®tip®ikation mit 0,8. P’ = 0,8 · 2 20 17 3 = 2 16 13,6 3 Wird ein Vektor mit einer ree®®en Zah® (auch Ska®ar genannt) mu®tip®iziert, dann werden die einze®nen Komponenten mit dieser ree®®en Zah® mu®tip®iziert. Rechenrege®n für Vektoren Seien A = 2 a1 a 2 3 , B = 2 b1 b2 3 Vektoren aus R2 und k eine ree®®e Zah® (auch Ska®ar genannt), dann gi®t: A + B = 2 a1 + b1 a2 + b2 3 A – B = 2 a1 – b1 a2 – b2 3 k · A = 2 k · a1 k · a2 3 Bei der Addition bzw. Subtraktion zweier Vektoren und der Mu®tip®ikation eines Vektors mit einem Ska®ar (einer ree®®en Zah®) erhä®t man a®s Ergebnis wieder einen Vektor. Muster Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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