217 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck > Vermessungsaufgaben 966 Zwei auf verschieden Seiten eines Ta®es ge®egene Punkte A und B so®®en durch eine Brücke verbunden werden. Der Punkt A ®iegt 130 m, der Punkt B 135 m über der Ta®soh®e. Vom Punkt C in der Ta®soh®e erscheint der Punkt A unter einem Höhenwinke® α = 47° und nach Schwenken des Messinstruments um den Horizonta®winke® φ = 74° erscheint der Punkt B unter dem Höhenwinke® β = 42°. Berechne die Länge und die Steigung (in Prozent) der Brücke. Zusammenfassung Winke®funktionen º Vorzeichen der Winke®funktionen in den Quadranten I, II, III und IV: º Grundbeziehungen: tan(α) = sin(α) _ cos(α) sin2(α) + cos2(α) = 1 Folgende Zusammenhänge gelten im Einheitskreis: P = (cos(α) 1 sin(α)) Trigonometrische F®ächenforme® A = a · b · sin(γ) __ 2 = a · c · sin(β) __ 2 = b · c · sin(α) __ 2 Steigung einer Funktion Für die Steigung k einer ®inearen Funktion f(x) = k x + d gi®t: tan(α) = k = yQ – yP _ x Q – xP bzw. α = tan‒ 1(k) = tan‒ 1 2 yQ – yP _ x Q – xP 3 Kartesische Koordinaten (x 1 y) und Po®arkoordinaten (r 1 φ) r = 9 ____ x2 + y2 φ = arctan2 y _ x 3 x = r · cos(φ) y = r · sin(φ) Sinussatz a _ sin(α) = b _ sin(β) = c _ sin(γ) sin(α) _ a = sin(β) _ b = sin(γ) _ c Cosinussatz a2 = b2 + c2 – 2 b c · cos(α) b2 = a2 + c2 – 2 a c · cos(β) c2 = a2 + b2 – 2 a b · cos(γ) I II III IV sin(x) + + – – cos(x) + – – + tan(x) + – + – β γ α c a b A B C x f(x) f P xQ – xP yQ – yP Q 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 0 α 1 –1 –1 1 D 0 x y sin(β) tan(β) cos(β) P r = 1 β 1 –1 –1 1 0 y x sin(γ) tan (γ) cos(γ) P r = 1 γ 1 –1 –1 1 0 x y Einheitskreis α sin(α) cos(α) tan(α) P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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