213 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck > Sinus- und Cosinussatz 947 Begründe, warum das Dreieck mit a = 10 cm, b = 6,3 cm und β = 37° nicht eindeutig konstruierbar ist. Berechne mit Hi®fe des Sinussatzes die Strecken®ängen und Maße der Winke® der beiden Lösungsdreiecke. Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wei® die dem Winke® β gegenüber®iegende Seite b kürzer ist a®s die Seite a. Es ergeben sich ein spitz- und ein stumpfwink®iges Dreieck. Die Umformung des Sinussatzes ®iefert das Maß des spitzen Winke®s α 1. Schreibe die gesuchte Größe immer in den Zäh®er. sin(α1) _ a = sin (β) _ b w sin(α1) = sin(β) _ b · a α1 ≈ 72,80° Da das Dreieck A1AC g®eichschenk®ig ist, ergänzen sich α1 und α auf 180°. D. h. α = 180° – 72,80° ≈ 107,20°. Für die Winke® des Dreiecks ABC gi®t daher: α ≈ 107,20°, β = 37°, γ = 180° – α – β ≈ 35,80°. Durch Anwenden des Sinussatzes ®assen sich für die Dreiecke ABC und A1BC die Längen der noch feh®enden Seiten c und c1 bestimmen. c _ sin(γ) = b _ sin(β) É c = b _ sin(β) · sin(γ) c ≈ 6,1 cm c1 _ sin(γ1) = b _ sin(β) É c1 = b _ sin(β) · sin(γ1) c1 ≈ 9,8 cm 948 Begründe, warum das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar ist und berechne für beide Lösungsdreiecke die Winke®maße und die Seiten®ängen. Verwende den Sinussatz. a) a = 6,1 cm, b = 8,5 cm, α = 45° c) b = 3,6 cm, c = 6 cm, β = 21° b) a = 5,1 cm, c = 4,0 cm, γ = 42° d) a = 6,1 cm, b = 7,2 cm, α = 56° 949 Berechne die feh®enden Winke®maße und Seiten®ängen des Dreiecks. a) a = 5,8 cm, α = 63°, γ = 76° d) b = 6,1 cm, α = 108°, γ = 39° b) a = 8,1 cm, c = 4,5 cm, γ = 30° e) a = 7,1 cm, b = 5,1 cm, α = 52° c) c = 10,3 cm, β = 29°, γ = 72° f) b = 7cm, c = 10cm, β = 41° Der Cosinussatz Der Cosinussatz beschreibt in jedem Dreieck den Zusammenhang zwischen den Seiten®ängen und dem Cosinuswert eines der drei Winke®. Dabei wird stets die Seiten®änge, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt, durch die anderen beiden Seitenlängen und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels ausgedrückt. Cosinussatz º a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos(α) º b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos(β) º c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos(γ) Die Her®eitung des Cosinussatzes befindet sich im Anhang Beweise (S. 292). γ1 γ α β α1 c1 c A1 A C B a b b Muster β γ α c a b A B C Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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