212 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck > Sinus- und Cosinussatz 10 Auf®ösen von Dreiecken mit dem Sinussatz So®®en a®®gemeine Dreiecke aufge®öst werden, d.h. feh®ende Winke®maße bzw. Seiten®ängen berechnet werden, eignet sich der Sinussatz besonders, wenn º eine Seite und zwei Winke®, º zwei Seiten und ein Winke®, der einer gegebenen Seite gegenüber®iegt, gegeben sind. 942 Gegeben ist das Dreieck ABC mit c = 8,00 cm, α = 45° cm und β = 72°. Berechne die feh®enden Seiten®ängen unter Verwendung des Sinussatzes. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar, da eine Seite und die beiden an®iegenden Winke® gegeben sind (Winke®-Seiten-Winke®-Satz). Wegen der Winke®summe im Dreieck gi®t: γ = 180° – α – β = 63°. Man beginnt mit der dem größten Winke® gegenüber®iegenden Seite: b __ sin 2 72° 3 = 8 __ sin 2 63° 3 w b = 8 __ sin 2 63° 3 · sin(72°) ≈ 8,54 cm a __ sin 2 45° 3 = 8 __ sin 2 63° 3 w a = 8 __ sin 2 63° 3 · sin(45°) ≈ 6,35 cm 943 Berechne unter Verwendung des Sinussatzes die feh®enden Seiten des Dreiecks. a) c = 7cm, α = 81°, β = 45° b) a = 4,2 cm, β = 45°, γ = 108° c) b = 8,1 cm, α = 67°, γ = 53° 944 Begründe, warum das Dreieck eindeutig konstruierbar ist. Berechne die feh®enden Größen. Verwende den Sinussatz. a) a = 6,7cm, b = 9,2cm, β = 117° c) a =7cm,b = 5cm, α = 79° b) b = 5,1 cm, c = 8,0 cm, γ = 50° d) a = 10,8 cm, c = 9,0 cm, α = 104° 945 Betrachte das Dreieck UKW und kreuze die richtigen Aussagen an. A B C D E k _ w = sin(δ) _ sin(γ) w = u _ sin(γ) · sin(ε) sin(γ) _ sin(δ) = u _ k u · sin(γ) = sin(δ) · k w · sin(δ) = sin(ε) · k 946 a) Von einem Viereck ABCD kennt man die Seiten®ängen a = _ AB= 7cm und d = _ AD= 7,1 cm. Die Länge der Diagona®e e = _ AC= 9,4 cm. Weiters sind die Winke® β = ¼ABC = 101° und Winke® δ = ¼ADC = 69° bekannt. Berechne den Umfang des Vierecks. b) Gegeben ist das viereckige Grundstück ABCD. _ BD= 100 m, _ CD= 45 m, ¼ABD = 37°, ¼ADB = 63°, ¼BCD = 90°. Berechne die feh®enden Winke® und den Umfang des Vierecks. Sind zwei Seiten und ein von diesen Seiten nicht eingeschlossener Winkel gegeben, der nicht der ®ängeren Seite gegenüber®iegt, ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar. Es gibt zwei Lösungen! b a A B C α γ β c Muster δ γ ε W K U u k w Ó Arbeitsb®att Anwendung des Sinussatzes k4p3qy Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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