211 Kompetenzen 10.3 Sinus- und Cosinussatz Lernzie®e: º Die Her®eitung des Sinus- und Cosinussatzes kennen º Dreiecke mit dem Sinus- und Cosinussatz auf®ösen können º Einfache Berechnungen an a®®gemeinen Dreiecken, an Figuren und Körper (auch mitte®s Sinus- und Cosinussatz) durchführen können Der Sinussatz In jedem Dreieck ste®®t der sogenannte Sinussatz eine Beziehung zwischen den Sinuswerten der Winke® und den Längen der Seiten, die den Winke®n gegenüber®iegen, her. Dazu wird zunächst ein spitzwink®iges Dreieck ABC betrachtet, das durch die Höhe hc in zwei rechtwink®ige Dreiecke getei®t wird. In den entstandenen Dreiecken ge®ten fo®gende Beziehungen. Dreieck I: sin(α) = hc _ b | · b Dreieck II: sin(β) = hc _ a | · a b · sin(α) = hc a · sin(β) = hc w a · sin(β) = b · sin(α) | : sin(α) a · sin(β) __ sin(α) = b | : sin(β) a _ sin(α) = b _ sin(β) 939 Skizziere ein spitzwink®iges Dreieck und tei®e es durch die Höhe ha in zwei rechtwink®ige Dreiecke. Zeige, dass gi®t: b _ sin(β) = c _ sin(γ) . Sinussatz In jedem Dreieck sind die Verhä®tnisse der Seiten®ängen und der Sinuswerte der den Seiten gegenüber®iegenden Winke® stets g®eich groß: a _ sin(α) = b _ sin(β) = c _ sin(γ) Daher gi®t auch: sin(α) _ a = sin(β) _ b = sin(γ) _ c 940 Skizziere ein rechtwink®iges Dreieck und zeige, dass der Sinussatz auch für diese Dreiecke gü®tig ist. 941 Zeige die Gü®tigkeit des Sinussatzes auch für stumpfwink®ige Dreiecke. (Betrachte die Dreiecke BDC und ADC und die Winke® α und 180° – β, sin(180° – β) = sin(β).) b A C B a α β hc I II Merke Ó Techno®ogie Darste®®ung Sinus- und Cosinussatz ih33mg b a A B C α γ β c b c a h c C A B D α γ β 180° – β Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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