210 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck > Erweiterung von Winkelfunktionen – Anwendungen 10 934 Berechne den Steigungswinke® α der ®inearen Funktion f, indem man 1) k abliest 2) zwei Punkte auf der linearen Funktion berechnet. a) f(x) = 4 x – 2 b) f(x) = 2 _ 3 x + 1 c) f(x) = ‒ 5 _ 4 x d) f(x) = ‒ 5,1 x + 1 935 Gegeben ist die ®ineare Funktion f, deren Graph durch die Punkte P = (‒ 2 1 ‒ 5) und Q = (3 1 ‒ 1) ver®äuft. We®che Steigung hat f? Kreuze die zutreffende Aussage an. A B C D E 5 _ 4 % 20% 4% 40% 80% 936 Von einer ®inearen Funktion f kennt man die Steigung k und einen Punkt P auf dem Graphen von f. 1) Zeichne den Graphen von f in ein Koordinatensystem. 2) Gib die Funktionsg®eichung von f in der Form f(x) = k · x + d an. 3) Berechne das Maß des Steigungswinke®s α. a) k=25%,P=(0 1 ‒ 7) b) k=40%,P=(‒2 1 ‒ 1) c) k = ‒12,5%,P = (‒4 1 1) d) k=‒20%,P=(1 1 3) Tipp: Z.B. k = 40 % bedeutet, dass k = 40 _ 100 = 2 _ 5 . Das allgemeine Steigungsdreieck kann man einzeichnen, indem man von Punkt P nach rechts 5 Einheiten und nach oben 2 Einheiten zeichnet. Po®arkoordinaten Unter einem Po®arkoordinatensystem versteht man ein zweidimensiona®es Koordinatensytem, in dem jeder Punkt P(x 1 y) auf der Ebene durch einen Winke® φ (in Bezug zur positiven ersten Achse) und einen Abstand r (zum Nu®®punkt) eindeutig definiert wird. Das Koordinatenpaar (r 1 φ) bezeichnet man a®s Po®arkoordinaten des Punktes P. φ wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Umrechnung von kartesischen Koordinaten (x 1 y) in Po®arkoordinaten (r 1 φ) Satz von Pythagoras: r = 9 ____ x2 + y2 Definition des Tangens: φ = arctan2 y _ x 3 937 Berechne die Po®arkoordinaten (r 1 φ). a) (3 1 5) b) (2 1 7) c) (‒ 4 1 1) d) (‒ 3 1 7) e) (‒ 6 1 ‒ 3) f) (‒ 8 1 ‒ 1) g) (10 1 ‒ 5) h) (1 1 ‒ 1) Umrechnung von Po®arkoordinaten (r 1 φ) in kartesische Koordinaten (x 1 y) Es wird die Definition des Sinus bzw. des Cosinus im rechtwink®igen Dreieck verwendet. x ist die Ankathete, y die Gegenkathete des Winke®s φ. r ist die Länge der Hypotenuse. cos(φ) = x _ r w x = r · cos(φ) und sin(φ) = y _ r w y = r · sin(φ) 938 Berechne die kartesischen Koordinaten der Punkte. a) A = (5 1 60°) c) B = (10 1 100°) e) C = (11,2 1 220°) g) D = (8,25 1 315°) b) E = (17 1 0°) d) F = (4 1 90°) f) G = (8,8 1 180°) h) H = (30 1 270°) Ó Arbeitsb®att Steigungswinkel jh9c6k óAG-R 4.1 M1 M2 FA-R 2.1 FA-R 2.2 AG-R 4.2 1 –1 –1 1 0 y (x, y) x r φ Merke Merke r 0 φ x y 2. Achse 1. Achse (x 1 y) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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