209 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck > Erweiterung von Winkelfunktionen – Anwendungen Steigung von Geraden/Steigungswinke® Im Kapitel 1 haben wir bereits die Steigung von Straßen mit Hilfe der Formel Δh _ Δs berechnet. Die Steigung wird oft in Prozent angegeben. 932 Ergänze die fehlende Angabe (vgl.Aufgabe 113). Steigung waagrechte Distanz ∆s Höhenunterschied ∆h a) 10 % 20 m b) 20 km 0,8 km c) 100 % 23 dm Im Kapitel 7 haben wir lineare Funktionen und deren Steigung k kennengelernt. Als Steigungswinkel von linearen Funktionen bezeichnet man den Schnittwinkel vom Graphen der Funktion mit der x-Achse. Du weißt bereits, dass im allgemeinen Steigungsdreieck k = ∆y _ ∆x gilt. Den Steigungswinkel einer Funktion bestimmt man mit Hilfe des Steigungsdreiecks und der Tangensfunktion: Gegenkathete G: yq – yp = ∆y = 3 – 0 = 3 Gegenkathete G: yq – yp = ∆y = ‒ 3 – 0 = ‒ 3 Ankathete A: xq – xp = ∆x = 1 – (‒ 0,5) = 1,5 Ankathete A: xq – xp = ∆x = 2 – 0,5 = 1,5 tan(α) = G _ A = yq – yp _ x q – xp = ∆y _ ∆x = k tan(α) = G _ A = yq – yp _ x q – xp = ∆y _ ∆x = k w tan(α) = 3 _ 1,5 = 2 = 200 % w tan(α) = ‒ 3 _ 1,5 = ‒ 2 = ‒ 200 % w α = tan‒ 1(2) ≈ 63,43° w α = tan‒ 1(‒ 2) ≈ ‒ 63,43° Steigungswinke® einer ®inearen Funktion Für den Steigungswinke® α gi®t: tan(α) = k = yQ – yP _ x Q – xP bzw. α = tan‒ 1(k) = tan‒ 1 2 yQ – yP _ x Q – xP 3 Der negative Winkel (‒ 63,43°) bedeutet, dass die Gerade fällt und mit der x Achse 63,43° im Uhrzeigersinn einschließt. 933 Gib die Steigung der Funktion f in Prozent an und berechne das Maß des Winke®s α. a) b) c) d) ∆h ∆s Vorwissen x f(x) f P xQ – xP = ∆x yQ – yP = ∆y Q 1 2 3 –3 –2 –1 –1 1 2 3 0 α x f(x) f P xQ – xP = ∆x yQ – yP = ∆y Q 2 3 –2 –1 –1 1 –2 –3 0 4 α Merke x f(x) f P Q 1 2 –3 –2 –1 –1 1 2 3 0 α x f(x) f P Q 1 2 –3 –2 –2 1 2 0 α x f(x) f P Q 1 2 –3 –2 –1 –1 1 2 3 0 α x f(x) f P Q 1 2 3 4 –1 –1 1 2 3 0 α Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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