208 10 Kompetenzen 10.2 Erweiterung von Winkelfunktionen – Anwendungen Lernzie®e: º Die trigonometrische F®ächenforme® kennen und her®eiten können º Den Steigungswinkel von Geraden angeben können º Po®arkoordinaten kennen und einsetzen können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 4.1 Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können AG-R 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können Trigonometrische F®ächenforme® Für den F®ächeninha®t eines Dreiecks mit den Seiten®ängen a, b, c und den dazugehörigen Höhen ha , hb , und hc gi®t: A = 1 _ 2 · a · ha = 1 _ 2 · b · hb = 1 _ 2 · c · hc Durch die Höhen, z.B. hc , wird das Dreieck jewei®s in zwei rechtwink®ige Dreiecke untertei®t. hc kann mit Hi®fe der Sinusfunktion eine Winke®s und einer Seiten®änge ausgedrückt werden. sin(α) = hc _ b w hc = b · sin(α) sin(β) = hc _ a w h c = a · sin(β) Einsetzen in die F®ächenforme®: A = 1 _ 2 · c · b · sin(α) = 1 _ 2 · c · a · sin(β) Ana®oge Über®egungen können mit den anderen Höhen des Dreiecks angeste®®t werden. Trigonometrische F®ächenforme® A = 1 _ 2 · b · c · sin(α) = 1 _ 2 · a · c · sin(β) = 1 _ 2 · a · b · sin(γ) Der F®ächeninha®t eines Dreieck ist g®eich die Hä®fte des Produkts von zwei Seiten®ängen und dem Sinuswert des von den Seiten eingesch®ossenen Winke®s. 928 Zeige die Gü®tigkeit der trigonometrischen F®ächenforme® für das rechtwink®ige Dreieck mit den Katheten®ängen a = 3,4 cm und b = 5,1 cm. Tipp: Verwende zuerst die bekannte Forme® zur Berechnung des F®ächeninha®ts eines rechtwink®igen Dreiecks, ansch®ießend die trigonometrische F®ächenforme®. 929 Berechne den F®ächeninha®t des Dreiecks. a) a =7cm,b = 5cm, γ = 56° c) a = 7,8 cm, c = 6,6 cm, β = 78° b) b = 34,3 cm, c = 12,8 cm, α = 120° d) a = 11,2 cm, b = 21,4 cm, γ = 60° 930 Berechne die Länge der Höhe. Mache eine Skizze. a) a = 10 cm, β = 110°, hc = ? b) b = 5,4 cm, γ = 67°, ha = ? c) c = 3,5 cm, α = 70°, hb = ? 931 Berechne den F®ächeninha®t des Vierecks ABCD. a) a = 5,4 cm, b = 5,0 cm, c = 9,5 cm, d = 5,1 cm, β = 105°, δ = 60° b) a = 7,1cm, b = 6,1cm, c = 5,1cm, d = 6,7cm, α = 55°, γ = 69° b c A C B a α β hc Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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