162 Nichtlineare Funktionen > Nullstellen einer quadratischen Funktion 8 Quadratische G®eichungen graphisch ®ösen Graphisches Lösen einer quadratischen G®eichung Da man jede quadratische G®eichung auf die Form a x2 + b x + c = 0 bringen kann, entsprechen die Lösungen der quadratischen G®eichung den Nu®®ste®®en der Funktion f mit f(x) = ax2 + b x + c. 728 Bestimme graphisch die Lösungen der quadratischen G®eichung 2 x2 – 3 x – 3 = x2 – 2 x + 3. 1. Mög®ichkeit: Nu®®ste®®enmethode Man bringt die G®eichung auf die Form x2 – x – 6 = 0 und ®iest am Graphen von f mit f(x) = x2 – x – 6 die Nu®®ste®®en ab. Nu®®ste®®en: x1 = ‒ 2 und x2 = 3 A®so ®autet die Lösungsmenge der G®eichung L = {‒ 2; 3}. 2. Mög®ichkeit: Schnittstellenmethode Man zeichnet die Graphen der Funktionen, die sich aus dem ®inken und dem rechten G®eichungsterm ergeben in ein Koordinatensystem. Die x Werte der Schnittpunkte entsprechen den Lösungen der G®eichung. f(x) = 2x2 –3x–3; g(x)=x2 – 2 x + 3 S1 = (‒ 2 1 11); S2 = (3 1 6) L = {‒ 2; 3} 729 Bestimme graphisch auf zwei verschiedene Arten die Lösungen der G®eichung. a) 2 x2 – 4 x – 6 = 0 b) 5 x2 + 3 x – 1 = 4 x2 – 6 x – 1 c) x2 = x d) 2 x2 – 4 x = x – 1 Linearfaktorform Eine weitere Darste®®ung von quadratischen Funktionen erhä®t man, wenn man den dritten Tei® der Satzgruppe von Vieta (S. 96) berücksichtigt. Linearfaktorform einer quadratischen Funktion Sind x1 und x2 ree®®e Lösungen der quadratischen G®eichung a x 2 + b x + c = 0, so kann man die quadratische Funktion f mit f(x) = a x2 + b x + c auf fo®gende Form bringen: f(x)=a·(x–x1) · (x – x2) 730 Ste®®e die quadratische Funktion f mit f(x) = 3 x2 – 12 x + 12 in Linearfaktorform dar. Zuerst bestimmt man die Nu®®ste®®en von f: 3 x2 – 12 x + 12 = 0 w x2 – 4 x + 4 = 0 w x 1 = + 2 und x2 = + 2 Da a = 3 ®autet die Linearfaktorform von f: f(x) = 3 (x – (+2))(x – (+2)) = 3(x – 2)(x – 2) = 3 (x – 2)2 731 Stelle die Funktionsg®eichung in Linearfaktorform dar. a) f(x) = 2x2 – 4 x – 6 b) f(x) = 3x2 + 3 x c) f (x) = x2 + 9 x d) f(x) = 4x2 – 36 Merke Muster x f(x) 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f (x) = x2 – x – 6 N1(–2 1 0) N2(3 1 0) x y 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 4 8 16 0 f(x) = 2x2 – 3x – 3 g(x) = x2 – 2x + 3 S1(–2 1 11) S2(3 1 6) Merke Muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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