159 Nichtlineare Funktionen > Variation der Parameter von f(x) = a(x – m)² + n Quadratische Funktionen der Form f(x) = a(x – m)2 + n und f(x) = ax2 + b x + c Nun wird betrachtet, wie sich die Parameter a, n und m gemeinsam auf die Norma®parabe® auswirken. Dazu fügt man zum Funktionsterm f(x) = x2 schrittweise die drei Parameter hinzu und betrachtet die Veränderung des Funktionsgraphen. f (x) = x2 a = 1; m = 0; n = 0 f1 (x) = 3 x 2 a = 3; m = 0; n = 0 f2 (x) = 3 x 2 – 1 a=3;m=0;n=‒1 f3 (x) = 3(x + 2) 2 – 1 a=3;m=‒2;n=‒1 Da man aus f3 (x) in der gegebenen Form sehr ®eicht die Koordinaten des Scheite®punktes der Parabe® ab®esen kann – f3 (x) = 3(x‒(‒2)) 2 – 1 w S = (‒ 2 1 ‒1) –, nennt man diese Form auch die Scheite®punktform der Parabe®g®eichung. Durch Ausrechnen des Funktionsterms erhä®t man f3 (x) in der Hauptform der Parabe®g®eichung. f3 (x) = 3(x + 2) 2 – 1 ¥ f 3 (x) = 3(x 2 + 4 x + 4) – 1 ¥ f 3 (x) = 3 x 2 + 12 x + 11 (Hauptform) Scheite®punktform und Hauptform einer quadratischen Funktion Ist der Scheitelpunkt S = (m 1 n) so gilt: Scheite®punktform: f(x) = a(x – m)2 + n Hauptform: f(x) = a x2 + b x + c Graph der quadratischen Funktion f mit f(x) = a(x – m)2 + n Den Graphen der quadratischen Funktion f(x) = a(x – m)2 + n erhä®t man, wenn man º den Graphen der Norma®parabe® (f(x) = x2) um den Parameter a streckt oder staucht, º um n Einheiten ent®ang der senkrechten Achse verschiebt und º um m Einheiten ent®ang der waagrechten Koordinatenachse verschiebt. 714 Bestimme die Funktionsg®eichung der abgebi®deten Funktionen. 715 Lies die Werte der Parameter a, m und n der Funktion f mit f(x) = a(x – m)2 + n aus der Funktionsg®eichung ab. Fertige eine Skizze des Graphen an. Bestimme die Wertemenge W von f. a) f(x) = (x + 1)2 b) f(x) = ‒x2 c) f(x) = ‒3(x – 2)2 – 3 d) f(x) = ‒(x – 1)2 + 2 Ó Techno®ogie Darste®®ung Einf®uss von a, m und n gp53dy x y 1 2 –2 –1 1 2 3 –1 0 f (x) = x2 a = 1 x y 1 2 –2 –1 1 2 3 –1 0 f (x) = x2 f 1 (x) = 3x 2 a = 1 a = 3 x y 1 2 –2 –1 1 2 3 0 f1 (x) = 3x 2 f2(x) = 3x2 – 1 n = – 1 x y 1 1 2 3 –1 0 m = – 2 f3(x) = 3(x + 2)2 – 1 f2(x) = 3x2 – 1 S Merke Ó Techno®ogie Übung Parameter a, m und n bestimmen m58c55 x y 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f h q p g r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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