146 7 Kompetenzen 7.6 Lineare Mode®®e und direkte Proportiona®ität Lernzie®e: º Direkte Proportiona®itäten und ®ineare Zusammenhänge mit Hi®fe von Funktionen beschreiben können º Forme®n im Hinb®ick auf funktiona®e Aspekte untersuchen können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: FA-R 2.6 Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f (x) = k x beschreiben können FA-R 2.5 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können Lineare Zusammenhang zwischen den Größen x und y Ein Zusammenhang zwischen den Größen x und y ist ®inear, wenn er in Form einer ®inearen Funktion beschrieben werden (y = k x + d mit k, d * R) kann. Direkt proportiona®er Zusammenhang zwischen den Größen x und y Ein Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y ist direkt proportiona®, wenn er in Form einer steigenden homogenen ®inearen Funktion beschrieben (y=kxundk>0) werden kann. Der Proportiona®itätsfaktor ist k = y _ x . Ebenso ist auch die Größe x zur Größe y direkt proportiona®, a®®erdings mit dem Proportiona®itätsfaktor x _ y = 1 _ k . Die Größen x und y sind a®so zueinander direkt proportiona®. Ein Taxi-Unternehmen bietet zwei Tarife an: Bei Tarif 1 wird ein Fixpreis von 4 € und pro gefahrenen Ki®ometer 0,25 € berechnet. Bei Tarif 2 wird kein Fixpreis a®®erdings 0,5 € pro gefahrenen Ki®ometer berechnet. Bezeichnet K(x) die Kosten in € für eine Fahrstrecke von x Ki®ometer, so können die Kosten der beiden Tarife mit Hi®fe von Funktionen mode®®iert werden: K1(x) = 0,25 x + 4 ¥ Die Größen K1 und x stehen in einem ®inearen Zusammenhang. Der Graph von K1(x) ist eine Gerade. K2(x) = 0,5 x ¥ Die Größen K2 und x stehen in einem direkt proportiona®em Zusammenhang. Der Graph von K2(x) ist eine homogene Gerade. Die Proportiona®itätskonstante besitzt den Werte k = 0,5 €/km und entspricht den Kosten pro gefahrenem Ki®ometer. 672 Überprüfe, ob fo®gende Größen zueinander direkt proportiona® sind. Gib gegebenenfa®®s die passende ®ineare Funktion und den Proportiona®itätsfaktor an und zeichne den Graphen. a) der Umfang u und die Seiten®änge a eines Quadrates b) die Kanten®änge a und die Oberf®äche O eines Würfe®s a) Es gi®t u = 4 a. Da u von a abhängt, kann diese Forme® auch a®s Funktion interpretiert werden: u(a) = 4 a. Die Größen u und a sind a®so zueinander direkt proportiona® mit dem Proportiona®itätsfaktor 4. b) Wenn O die Oberf®äche und a die Seiten®änge eines Würfe®s ist, so gi®t: O(a) = 6a2 (keine ®ineare Funktion). Merke 5 1015202530 2 4 6 8 10 12 14 16 0 K (in €) K2(x) K1(x) x (in km) Seitenlänge (a) Umfang u(a) = 4a u(a) 1 2 3 4 5 6 8 16 0 Muster Kantenlänge (a) OberflächeO O(a) = 6a2 (a) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 8 16 24 32 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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