133 Lineare Funktionen > Graphen und Wertetabellen linearer Funktionen Erweitertes Steigungsdreieck Der Wert der Steigung k einer ®inearen Funktion kann am Graphen aus jedem beliebigen Steigungsdreieck durch das Verhä®tnis von senkrechter zu waagrechter Seite ermitte®t werden. Z.B. gi®t im nebenstehenden Graphen: k = k _ 1 = 2 k _ 2 = 3 k _ 3 = 5 k _ 5 = 2. Die Steigung k kann man aus zwei beliebigen Punkten ab®esen und k a®s Quotient aus der Differenz der y-Werte und Differenz der x-Werte bestimmt. Diese Differenz wird mit Δ x und Δ y bezeichnet. P = (‒ 1 1 1); Q = (4 1 11) k = 11 – 1 _ 4 – (‒ 1) = 10 _ 5 = 2 Erweitertes Steigungsdreieck (Differenzenquotient) Sind P = (xP 1 yP) und Q = (xQ 1 yQ) die Koordinaten zweier Punkte auf einer Geraden, so gi®t für die Steigung: k = Δ y _ Δ x = yQ – yP _ x Q – xP (Differenzenquotient) 617 Bestimme die Funktionsg®eichung der ®inearen Funktion f mit f(x) = k x + d aus dem gegebenen Graphen. Den y-Achsenabschnitt d kann man direkt ab®esen: d = 50. Das Steigungsdreieck mit Seitenlänge 1, um k direkt abzulesen, kann man nicht einzeichnen. Methode 1: Man zeichnet zunächst ein ®eicht abzu®esendes Steigungsdreieck ein und bestimmt daraus den Wert von k: k = Δ y _ Δ x = 50 _ 100 = 0,5. w f(x) = 0,5x + 50 Methode 2: Man sucht zwei leicht abzulesende Punkte auf f: P = (‒100 | 0), Q = (100 |100), k = yQ – yP _ x Q – xP = 100 – 0 __ 100 – ( ‒100) = 100 _ 200 = 1 _ 2 d kann man auch berechnen, indem man k und die Koordinaten eines Punktes in f(x) = k x + d einsetzt: Z.B.: 100 = 1 _ 2 ·100 + d w d = 50 w f(x) = 1 _ 2 x + 50 x 2 4 6 8 10 12 –4 2 4 6 8 10 –4 0 1 1 2 3 5 3k 2k k 5k f (x) = 2 x + 3 f(x) k = 2 x f (x) 1 5 4 11 x 2 4 6 8 10 12 –4 2 4 6 8 10 0 f(x) Δ y = 11 – 1 = 10 Δ x = 4 – (‒1) = 5 P = (‒1 1 1) Q = (4 1 11) k = Δ y _Δ x x f(x) Δ x = xQ – xP Δ y = yQ – yP f P = (xP 1 yP) Q = (xQ 1 yQ) Merke Muster x f(x) 100 200 –200 –100 100 0 f x f(x) 200 –200 –100 100 0 f 50 = Δ y 100 = Δ x d = 50 x f(x) 0 P = (– 100 1 0) f Q = (100 1 100) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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