Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schülerbuch

Freiler | Marsik | Olf | Wittberger Mathematik Oberstufe Lösungswege 5 E-Book+ mit neuen Ergänzungen

Lösungswege 5, Schülerbuch + E-Book Schulbuchnummer 205266 Lösungswege 5, Schülerbuch + E-Book+ Schulbuchnummer 205267 Lösungswege 5, Schülerbuch + E-Book SOLO Schulbuchnummer 207902 Lösungswege 5, Schülerbuch + E-Book+ SOLO Schulbuchnummer 207903 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 11. Juli 2022, BMBWF-GZ: 2020-0.674.294, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 5. Klasse an allgemein bildende höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Vladimir Vladimirov / Getty Images; robvanhal / Getty Images - iStockphoto Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0002) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2022 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Christiane Schütz, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11493-8 (Lösungswege OS SB 5 + E-Book) ISBN 978-3-209-12560-6 (Lösungswege OS SB 5 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-11505-8 (Lösungswege OS SB 5 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12558-3 (Lösungswege OS 5 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Philipp Freiler Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger www.oebv.at 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Inhalt So arbeitest du mit Lösungswege 4 Zah®en und Rechengesetze Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 6 1.1 Mengen 7 1.2 Zah®enmengen 12 1.3 Schätzen von Ergebnissen 22 1.4 Prozentrechnen 24 1.5 G®eitkommadarste®®ung 29 1.6 Das binäre Zah®ensystem 33 Zusammenfassung 34 Tei®-1-Aufgaben 35 Tei®-2-Aufgaben 37 Se®bstkontro®®e 38 Terme 40 2.1 Termbegriff 41 2.2 Operieren (Rechnen) mit Termen 43 2.3 Aufste®®en und Interpretieren von Termen 47 Zusammenfassung 49 Tei®-1-Aufgaben 50 Tei®-2-Aufgaben 51 Se®bstkontro®®e 52 Ref®exion: Zum Beispie® ist noch kein Beweis 54 G®eichungen G®eichungen und Forme®n 56 3.1 G®eichungen 57 3.2 Forme®n 61 Zusammenfassung 63 Tei®-1-Aufgaben 64 Tei®-2-Aufgaben 65 Se®bstkontro®®e 66 Ref®exion: Prob®eme mit Forme®n 67 Lineare G®eichungen und G®eichungssysteme 68 4.1 Lineare G®eichungen 69 4.2 Lineare G®eichungssysteme mit zwei Variab®en 74 4.3 Textaufgaben zu ®inearen G®eichungssystemen 78 Zusammenfassung 81 Tei®-1-Aufgaben 82 Tei®-2-Aufgaben 83 Se®bstkontro®®e 84 Quadratische G®eichungen 86 5.1 Lösen quadratischer G®eichungen 87 5.2 Aufste®®en von quadratischen G®eichungen 95 5.3 Satzgruppe von VIETA 96 5.4 Quadratische Bruchg®eichungen 97 Zusammenfassung 97 Tei®-1-Aufgaben 98 Tei®-2-Aufgaben 99 Se®bstkontro®®e 100 Funktionen Funktionen a®®gemein 102 6.1 Darste®®ung von Zuordnungen 103 6.2 Die Funktion – eine eindeutige Zuordnung 108 6.3 Funktionensprache 110 6.4 Nu®®ste®®e einer Funktion 118 6.5 G®eichungen graphisch ®ösen 119 Zusammenfassung 120 Tei®-1-Aufgaben 121 Tei®-2-Aufgaben 123 Se®bstkontro®®e 124 Lineare Funktionen 126 7.1 Die Funktionsg®eichung der ®inearen Funktion 127 7.2 Graphen und Wertetabe®®en ®inearer Funktionen 129 7.3 Besondere Geraden 136 7.4 Lineare G®eichungen und G®eichungs- systeme graphisch ®ösen 138 Ref®exion: Mode®®haftigkeit von Funktionen 140 7.5 Anwendungen von ®inearen Funktionen 141 7.6 Lineare Mode®®e und direkte Proportiona®ität 146 Zusammenfassung 148 Tei®-1-Aufgaben 149 Tei®-2-Aufgaben 151 Se®bstkontro®®e 152 1 2 3 4 5 6 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

3 Nicht®ineare Funktionen 154 8.1 Quadratische Funktionen und Parabe®n 155 8.2 Variation der Parameter von f(x) = a(x – m)2 + n 157 8.3 Nu®®ste®®en einer quadratischen Funktion 161 8.4 Anwendungen quadratischer Funktionen 164 8.5 Gebrochen rationa®e Funktionen 166 8.6 Indirekte Proportiona®ität 169 8.7 Abschnittsweise definierte Funktionen 172 Zusammenfassung 173 Tei®-1-Aufgaben 174 Tei®-2-Aufgaben 176 Se®bstkontro®®e 178 Trigonometrie Trigonometrie im rechtwink®igen Dreieck 180 9.1 Winke®funktionen 181 9.2 Auf®ösen von rechtwink®igen Dreiecken 187 9.3 Anwendungen in der Geometrie und Vermessungsaufgaben 190 Zusammenfassung 195 Tei®-1-Aufgaben 196 Tei®-2-Aufgaben 197 Se®bstkontro®®e 198 Trigonometrie im a®®gemeinen Dreieck 200 10.1 Winke®funktionen für be®iebige Dreiecke 201 10.2 Erweiterung von Winkelfunktionen – Anwendungen 208 10.3 Sinus- und Cosinussatz 211 10.4 Vermessungsaufgaben 215 Zusammenfassung 217 Tei®-1-Aufgaben 218 Tei®-2-Aufgaben 219 Se®bstkontro®®e 220 Vektorrechnung Vektoren 222 11.1 Einführung in die Vektorrechnung 223 11.2 Rechnen mit Vektoren 225 11.2 Geometrische Interpretation von Vektoren im R2 231 11.3 Geometrische Interpretation der Rechenoperationen 237 Zusammenfassung 243 Tei®-1-Aufgaben 245 Tei®-2-Aufgaben 247 Se®bstkontro®®e 248 Geometrische Anwendungen von Vektoren 250 12.1 Abtragen von Strecken 251 12.2 Winke® zwischen zwei Vektoren 255 12.3 Finden von Norma®vektoren 260 Zusammenfassung 262 Tei®-1-Aufgaben 263 Tei®-2-Aufgaben 264 Se®bstkontro®®e 266 Geraden 268 13.1 Parameterdarste®®ung einer Geraden 269 13.2 Lagebeziehungen und Schnittwinke® von Geraden 276 13.3 Norma®vektordarste®®ung einer Geraden 279 13.4 Lagebeziehungen zweier Geraden in der a®®gemeinen Form 282 13.5 Anwendungen 284 Zusammenfassung 285 Tei®-1-Aufgaben 286 Tei®-2-Aufgaben 287 Se®bstkontro®®e 288 Anhang Beweise 290 Lösungen 294 Mathematische Zeichen 302 Register 303 8 9 10 11 12 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Hier gibt es eine On®ine-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inha®ten. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / On®ine-Code Suchen So arbeitest Du mit Lösungswege Liebe Schü®erin, ®ieber Schü®er, auf dieser Doppe®seite wird gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege strukturiert und aufgebaut ist. 6 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens ? 7 Kompetenzen 1.3 Prozentrechnen Lernzie®e: º º º Grundkompetenz für die schrift®iche Reifeprüfung: Vorwissen Theorie Technologie Merkwissen 1 Musteraufgabe mit Lösungen Tipp: Tipp Vorwissen Technologie Merke Muster Die Motivationsseite ist die erste Seite des Kapite®s und so®® Interesse für das Kapite® schaffen. Jedes Kapite® g®iedert sich in mehrere Unterkapite®, die durchnummeriert sind. Die Lernzie®e und Grundkompetenzen geben dir eine Übersicht über die wesent®ichen Themen des Abschnittes sind. Im Vorwissen wird kompakt der für das Fo®gende grund®egende und bereits ge®ernte Stoff zusammengeste®®t. In der Theorie werden die mathematischen Begriffe eingeführt und erk®ärt. Wo es sich anbietet werden Tipps zum Techno®ogieeinsatz gegeben. Im Merkwissen werden zentra®e Inha®te zusammengefasst. Hi®feste®®ungen erhä®tst du bei den Tipps. Die Musteraufgaben zeigen Lösungsverfahren für wesent®iche Frageste®®ungen auf. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Auszeichnung der Aufgaben Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Aufgabe zur Ref®exion über die Mathematik Teil-1-Aufgaben in einem der Formate der schrift- ®ichen Reifeprüfung Aufgaben die ohne TR zu ®ösen sind Aufgaben die im Digitalen Zusatzmaterial durchgerechnet sind Teil-2-Aufgaben im Format der schrift®ichen Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 6 7 9 8 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 10 > Prozentrechnen Zusammenfassung Am Ende des ®etzten Unterkapite®s werden in der Zusammenfassung die wesent®ichen Inha®te aufgezeigt. 11 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-1-Aufgaben Tei®-1-Aufgaben 13 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-2-Aufgaben Tei®-2-Aufgaben 14 1 > Selbstkontrolle Se®bstkontro®®e Bei der Se®bstkontro®®e werden die Lernzie®e nochma®s benannt und entsprechende Aufgaben angeboten, deren Lösungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Im Bereich Tei®-1-Aufgaben befinden sich Aufgaben passend zum Tei®-1 der SDRP. Die Lösungen befinden sich am Ende des Buches. Passend zum Tei®-2 der SDRP werden hier entsprechende Aufgaben passend zum Kapite® angeboten. Die erste Aufgabe ist kontextreduziert. 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

6 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens Zahlen, Zahlen wohin man schaut Zahlen sind überall zu finden. Manchmal offensichtlich, wie auf Preisschildern und Kassazetteln, in Sozialversicherungs- und Haus- nummern. Manchmal verstecken sie sich auch: in Computern, in der Steckdosen, in Speisen, in der Luft, die wir atmen, in Kunstwerken. Das Bild zeigt eine Skulptur vom Künstler Victor Vasarely, die eindeutig von Mathematik inspiriert ist. Und ob wir wollen oder nicht, Zahlen greifen oft bestimmend in unser Leben ein. Die zahlenmäßige Verteilung der Nationalratsmandate beeinflusst die Gesetze, in Anträgen beeinflussen Zahlen die Vergabe von Krediten, bei Online-Partnerbörsen die Partnervorschläge, bei Suchmaschinen die Suchergebnisse, in Pandemien unsere Freiheit. Die Tagesaktuellen 10.01.2022 Unterha®tung mit Schatz Ha®®o Schatz, Beziehungstest auf der Homepage des Beziehungsinstituts der Uni Heartbreak gemacht! (09:03) Wir haben 9,2 von 10!!!  (09:06)  ☺ (09:47) 殺 (09:24) ?? ?? (09:53) Und?? (09:04) Wieso nicht 9,3??? (10:00) „Das kann man mit Zah®en be®egen!“ – oft werden Zah®en a®s unwider®egbares Argument angeführt. Aber, gibt es Größen, die nicht mit einer Zah® bemessen werden können? Hmm, 0 ist doch auch gerade? Dann gibt es unend®ich p®us 1 gerade Zah®en. Was meinst du? Kann es mehr Zah®en a®s unend®ich geben? Eine Lösung für dieses kniff®ige Prob®em hat Cantor gefunden. (siehe S. 21) ? Die geraden Zah®en 2, 4, 6, ... hören doch nie auf. Da gibt es doch unend®ich vie®e, oder? Wenn man die ungeraden Zah®en dazunimmt, dann gibt es 2 ma® unend®ich p®us 1 vie®e Zah®en. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Kompetenzen 1.1 Mengen Lernzie®e: º Die Begriffe Menge, E®emente einer Menge und Tei®menge kennen º Mengen darste®®en können (aufzäh®end, beschreibend, a®s Mengendiagramm) º Mit Beziehungen und Verknüpfungen von Aussagen und Mengen umgehen können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 1.1 Wissen über die Zah®enmengen N, Z, Q, R verständig einsetzen Menge º Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, den Elementen. º Ist das Objekt x ein E®ement der Menge M, so schreibt man x * M, andernfa®®s x + M. º Die ®eere Menge, die keine E®emente hat, wird in der Form { } geschrieben. Die E®emente der Menge können Zah®en sein, aber auch andere mathematische oder rea®e Gegenstände (Dreiecke, Punkte, Tiere, P®aneten, …). N: Menge der natür®ichen Zah®en 0, 1, 2, 3, 4, … Nu: Menge der ungeraden natür®ichen Zah®en 1, 3, 5, … Ng: Menge der geraden natür®ichen Zah®en 0, 2, 4, … N+: Menge der positiven natür®ichen Zah®en 1, 2, 3, … Z: Menge der ganzen Zah®en … ‒2,‒1,0,1,2,… P: Menge der Primzah®en 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 1 Setze * oder +. a) ‒ 3 N c) 2,5 N e) 0 Z g) ‒ 22 Z i) 45 Nu b) 7 Nu d) 0 N+ f) 17 P h) ‒ 3 N u j) 1 { } 2 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A  3 * N g B  ‒ 2 * N u C  11 * P D  3 * Z E  0 * Z + 3 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A  6 * N g B  ‒ 7 * N u C  23 * P D  3,5 * Z E  ‒ 4 * N Darste®®ung von Mengen Aufzäh®ende Darste®®ung Diese Darste®®ungsform kann für Mengen mit wenigen E®ementen verwendet werden, oder wenn ein Bi®dungsgesetz für die E®emente der Menge erkennbar ist. Die E®emente der Menge werden in be®iebiger Reihenfo®ge angeführt (jedes E®ement nur einma®): Die Menge M der Ziffern von 10 003 561: M = {0, 1, 3, 5, 6} Die Menge Q der Quadratzah®en: Q = {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} Merke Ó Arbeitsb®att Zah®enmengen P, N, Z t5jv2s M1 AG-R 1.1 ó M1 AG-R 1.1 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Mengen 1 Beschreibende Darste®®ung Die E®emente werden durch eine gemeinsame Eigenschaft angegeben. Um die Menge M aller Primzahlen kleiner als 100 anzugeben, schreibt man in beschreibender Darstellung: M = {x‡ x * P und x < 100} oder M = {x * P‡ x < 100} und ®iest dies a®s „Menge a®®er Primzah®en, für die gi®t: x ist k®einer a®s 100“. Mengendiagramm Eine Menge kann graphisch a®s Mengendiagramm veranschau®icht werden. Beispie®: A = {1, 5, 7, 11} 4 Gib die Menge in aufzäh®ender Darste®®ung an. a) A = {x * Nu‡ 5 ª x < 15} c) C = {x * Z‡ ‒ 5 ª x < 2} e) G = {x * Z‡ x 2 = 16} b) B = {x * N‡ 2 < x ª 12} d) F = {x * N‡ x tei®t 48} f) H = {x * N‡ x < 0} 5 Gib die Menge in beschreibender Darste®®ung an. a) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8} c) C = {5, 7, 9, 11, 13} e) E = {11, 12, 13, 14, 15} b) B = {‒ 13, ‒ 12, ‒ 11, ‒ 10} d) D = {…,‒4,‒3,‒2,‒1} f) F = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} 6 Gib die Menge in beschreibender Darste®®ung an und ste®®e sie a®s Mengendiagramm dar. a) A = {4, 8, 16, 32, 64} c) C = {27, 30, 33, 36, 39} e) E = {8, 27, 64, 125, 216} b) B = {4, 9, 16, 25, 36, 49} d) D = {‒ 2, 2} f) F = {1, 2, 5, 10} 7 Gib ein Beispie® für M in beschreibender Form an. a) M hat genau 5 E®emente. b) M hat genau 3 E®emente. c) M ist die ®eere Menge. 8 Gib die Menge in den drei Darste®®ungsarten an. a) A = Menge a®®er ungeraden natür®ichen Zah®en, deren Quadrat k®einer a®s 40 ist. b) B = Menge a®®er Primzah®en, die k®einer a®s 30 sind. c) C = Menge a®®er ganzen Zah®en, deren Quadrat 9 oder 25 ist. Beziehungen zwischen Mengen G®eichheit von Mengen und Tei®mengen º Zwei Mengen M und N sind g®eich (M = N), wenn sie aus dense®ben E®ementen bestehen. º M ist Tei®menge von N (M a N), wenn jedes E®ement von M auch ein E®ement von N ist. º M ist echte Tei®menge von N (M ² N), wenn M Tei®menge von N ist und die beiden Mengen nicht g®eich sind. 9 Gegeben sind die Mengen A = {1, 3, 4, 7} und B = {1, 3, 4, 7, 10}. Entscheide mit Begründung, ob die angegebene Beziehung gi®t. a) A a B b) B ² A c) B a A d) A ² B a) A a B gi®t, wei® jedes E®ement von A auch E®ement von B ist. b) und c) B ² A und B a A ge®ten nicht, wei® 10 E®ement von B, aber nicht von A ist. d) A ² B gi®t, wei® A a B und A ≠ B. 10 Gegeben sind die Mengen A = {2, 5, 9}, B = {x * N‡ x ª 9} und C = {1, 3, 5, 7, 9}. Begründe, ob die angegebene Mengenbeziehung gi®t. a) A a B c) B a C e) A ² C g) C ² A i) C a Nu k) B ² Nu b) A a C d) B ² C f) C = B h) B a A j) A a Nu ®) Ng a N 7 11 1 5 A Merke Muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

9 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Mengen Verknüpfung von Mengen Verknüpfung von Mengen (Venn-Diagramm) Es ist G die Grundmenge und M bzw. N sind Tei®mengen von G (M a G, N a G). º Die Durchschnittsmenge (der „Durchschnitt“) der Mengen M und N ist die Menge a®®er E®emente, die in M und in N entha®ten sind: M ° N = {x‡ x * M und x * N} º Die Vereinigungsmenge der Mengen M und N ist die Menge a®®er E®emente, die in M oder in N (oder in beiden Mengen) entha®ten sind: M ± N = {x‡ x * M oder x * N} º Die Differenzmenge der Mengen M und N ist die Menge a®®er E®emente, die in M, aber nicht in N entha®ten sind: M \ N = {x‡ x * M und x + N} º Die Komp®ementärmenge von A bezüg®ich der Grundmenge G ist die Menge a®®er E®emente, die in G, aber nicht in A entha®ten sind: A’ = G\A = {x‡ x * G und x + A} 11 Gegeben sind die Mengen A = {1, 4, 7, 9, 12} und B = {3, 7, 12, 17} sowie die Grundmenge G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 17}. Gib die Mengen A ° B, A ± B und B \ A und A’ in aufzählender Form und markiere sie jeweils in einem passenden Venn-Diagramm. A ° B = {7, 12} A ± B = {1, 3, 4, 7, 9, 12, 17} B \ A = {3, 17} A’ = {2, 3, 5, 6, 8, 17} 12 Ste®®e die Mengen in aufzäh®ender Darstellung dar und markiere sie in einem passenden Venn-Diagramm. (1) A ± B (2) A ° B (3) A \ B (4) B \ A a) A = {2, 11, 27, 33}, B = {1, 11, 27, 35} c) A = {5, 10, 15, 1}, B = {5, 10, 15, 34} b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {x * Nu‡ 3 ª x < 12} d) A = {2, 5, 7, 11}, B = {1, 3, 8, 20} 13 Gegeben ist die Grundmenge G = {x * N‡ 2 < x < 9} sowie die Menge A. Gib die Komp®ementärmenge von A in aufzäh®ender Darste®®ung und markiert im Venn-Diagramm an. a) A = {3, 4, 6, 7, 8} b) A = {x * N‡ 4 < x < 6} c) A = {x * N‡ 4 ª x ª 8} 14 Gegeben sind die Mengen A = {2, 5, 7, 11}, B = {5, 7, 12, 14} und C = {7, 10, 12}. Gib die Menge aufzählend und markiert in einem Venn-Diagramm an. a) A ± B c) B \ A e) (A ° B) \ C g) B \ (A ° C) i) (B ± C) ° A b) A ± C d) (A \ B) ± C f) (A ± B) \ C h) A \ (B ° C) j) (B ° C) ± A Merke N M M ° N N M M ± N N M M \ N A G A’ = G \ A Muster 9 17 7 12 3 1 4 B A 9 17 7 12 3 1 4 B A 9 17 7 12 3 1 4 B A 9 2 3 5 6 8 7 12 17 1 4 G A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

10 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Mengen 1 15 Markiere die angegebene Menge im Venn-Diagramm. a) (A ± B) ° C b) (B \ A) ± C c) (B ° C) \ A 16 Gib mit Hilfe von Mengensymbolen (±, °, \) an, welche Menge im Venn-Diagramm markiert ist. a) b) c) d) 17 Zeige mit Hi®fe eines Gegenbeispie®s anhand eines Venn-Diagramms, dass die gegebene Aussage für be®iebige Mengen A, B, C nicht richtig ist. a) A ° (B ± C) = (A ° B) ± C b) A \ (B ° C) = A \ B ° A \ C 18 In einem Gymnasium mit Ober- und Unterstufe sei S die Menge a®®er Schü®erinnen und Schü®er, M die Menge a®®er Schü®er, U die Menge a®®er Jugend®ichen der Unterstufe, W die Menge a®®er Schü®erinnen der Unterstufe und F die Menge a®®er Fußba®®fans. Beschreibe die Menge im gegebenen Kontext. a) S \ M c) M \ U e) M ± F g) U ° F i) S \ (M ° U) b) S \ U d) F \ W f) U ± (S \ M) h) F ° W j) F \ (U ° W) 19 Es sei M die Menge an Angeste®®ten in einer Firma, V die Menge der Angeste®®ten dieser Firma, die bei einem Sportverein angeme®det sind, R sei die Menge der Raucher in dieser Firma und H die Menge der Raucherinnen. Ste®®e die Menge mit R, V, H und M dar. a) Raucherinnen, die bei keinem Sportverein sind. b) Jene Angeste®®ten, die nicht rauchen und bei keinem Sportverein sind. c) Jene Angeste®®ten, die rauchen und bei einem Sportverein sind. 20 In einer K®asse wurden die Schü®erinnen und Schü®er befragt, we®che sozia®en Netzwerke sie benutzen. Sie konnten zwischen Twitter (T), Instagram (I) und Facebook (F) wäh®en. 1) Ordne jeder Menge jewei®s die passende Beschreibung zu. 1 F \ (T ± I) A Menge an Personen, die nur Facebook benutzen. 2 T ° F B Menge an Personen, die Twitter oder Facebook benutzen. C Menge an Personen, die Twitter und Facebook benutzen. D Menge an Personen, die Instagram oder Twitter und Facebook benutzen. 2) Was bedeutet die markierte F®äche im gegebenen Kontext? Interpretiere. ó M1 AG-R 1.1 B C A B C A B C A óAG-R 1.1 M1 B C A B C A B C A B C A Ó Arbeitsb®att Verknüpfung von Mengen 8gv6nx ó M1 AG-R 1.1 I F T Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

11 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Mengen 21 In einer Schu®e fahren die sechsten K®assen auf Sportwoche. Es ist J die Menge a®®er Jugend ®ichen der sechsten K®asse. T ist die Menge an Personen, die sich für Tennis entschieden haben, K die Menge an Personen, die Kajak fahren gewäh®t haben und S die Menge an Personen, die Sege®n gewäh®t haben. Schü®erinnen und Schü®er können auch mehrere Sportarten ausprobieren. Das Ergebnis dieser Auswah® ist im Venn-Diagramm als Anzahl abgebi®det. 1) Gib die Gesamtanzah® der Jugend®ichen der sechsten K®assen an. 2) Gib die Anzah® der Personen an, die sich für Kajak und Tennis entschieden haben. 3) Gib die Anzah® der Personen an, die a®®e drei Sportarten ausprobieren möchten. 4) Kennzeichne die angegebene Menge im gegebenen Venn-Diagramm. 5) Interpretiere die blau markierte Menge im gegebenen Kontext und stelle sie mit den Mengensymbolen (±, °, \) dar. a) K \ T b) (K ± T) \ S c) K ° (T ± S) 22 In einem Kindergarten können die Kinder eine Suppe, eine Hauptspeise und eine Nachspeise essen. Die Kinder können wäh®en, we®che Speisen sie gerne hätten. S ist die Menge der Kinder, die die Suppe essen. H ist die Menge der Kinder, die die Hauptspeise essen und N ist die Menge der Kinder, die die Nachspeise essen. Insgesamt gibt es 50 Kinder (K) in diesem Kindergarten. 1) Gib die Anzah® der Kinder in der grau markierten Teilmenge an. 2) Interpretiere die markierte Schnittmenge im gegebenen Kontext. a) b) c) Tipp: Beachte die Kinder, die gar nichts essen. 23 Es wurden mehrere Personen gefragt, welche Ballsportarten sie gerne ausüben. B steht für die Menge der Personen, die Basketball spielen, F für die Menge der Personen, die Fußball spielen und H für die Menge der Personen, die Handball spielen. Jede Person hat mindestens eine der drei Ballsportarten ausgewählt. Erstelle ein Venn-Diagramm zu diesem Thema und trage die richtige Anzahl an Personen ein. a) 21 Personen spielen Basketball, 26 spielen Fußball und 29 Personen spielen gerne Handball. 5 Personen üben alle drei Sportarten aus, 6 Personen wählten Fußball und Basketball, aber nicht Handball. 2 Personen spielen zwar gerne Fußball und Handball, aber nicht Basketball. 14 Personen beschäftigen sich nur mit Handball. b) 26 Personen spielen Basketball, 29 spielen Fußball und 24 Personen spielen gerne Handball. 12 Personen wählten Fußball und Basketball, aber kein Handball. 12 Personen spielen nur Basketball und Handball. 5 Personen spielen zwar gerne Fußball und Handball, aber kein Basketball. 2 Personen spielen alle drei Sportarten. 6 3 19 5 18 7 4 K S T 5 18 9 4 11 3 7 K S T 18 7 20 3 11 4 9 K S T Ó Arbeitsb®att Maturaformate Venn-Diagramme ad87mm M1 AG-R 1.1 ó 2 6 4 3 12 2 18 H N K S 3 6 7 4 3 0 18 H N K S 5 12 3 4 1 20 H N K S Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 1 Kompetenzen 1.2 Zah®enmengen Lernzie®e: º Die Zah®enmengen (N, Z, Q, I, R) und deren Grundeigenschaften kennen º Tei®barkeitsrege®n und Eigenschaften von Primzah®en kennen º Rationa®e Zah®en a®s Bruch und Dezima®zah® anschreiben sowie auf der Zah®engeraden markieren können º Mit rationa®en Zah®en (Brüchen) rechnen können º Interva®®schreibweise kennen und Interva®®e angeben können Grundkompetenzen für die schrift®iche Reifeprüfung: AG-R 1.1 Wissen über die Zah®enmengen N, Z, Q, R verständig einsetzen Menge der natür®ichen Zah®en Die natür®ichen Zah®en werden im A®®tag benutzt, um Gegenstände zu zäh®en (0, 1, 2, 3, …) oder in eine Reihenfo®ge zu bringen, a®so zu ordnen (erster, zweiter, dritter, …). Es gibt unend®ich vie®e natür®iche Zah®en – die k®einste natür®iche Zah® ist die Zah® nu®®. Menge der natür®ichen Zah®en N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der natür®ichen Zah®en. N+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der positiven natür®ichen Zah®en. Die natür®ichen Zah®en können auf der Zah®engeraden veranschau®icht werden. Im vorherigen Abschnitt wurden bereits Tei®mengen von N erwähnt, näm®ich Ng, Nu und P, wobei die Primzah®en a®®e natür®ichen Zah®en größer a®s 1 sind, die nur durch sich se®bst und 1 rest®os tei®bar sind. Man kann beweisen, dass es unend®ich vie®e Primzah®en gibt. 24 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A  Ng ° Nu = N B  Ng ° Nu = { } C  P ± Ng ² N D  P ° Ng = { } E  P a Nu Bezeichnungen bei den Grundrechnungsarten º Addition: m + n ist die Summe der Summanden m und n º Subtraktion: m – n ist die Differenz von Minuend m und Subtrahend n º Mu®tip®ikation: m · n ist das Produkt der Faktoren m und n º Division: m : n ist der Quotient von Dividend m und Divisor n ≠ 0 25 Ste®®e jewei®s in der geforderten Form dar. a) 14 a®s Produkt zweier Primzah®en d) 11 a®s Quotient zweier gerader natür®icher Zah®en b) 14 a®s Summe zweier Primzah®en e) 23 a®s Summe benachbarter natür®icher Zah®en c) 14 a®s Differenz zweier Primzah®en f) 11 a®s Quotient zweier ungerader Zah®en Merke 0 1 2 3 4 5 6 ó M1 AG-R 1.1 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

13 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen Nicht a®®e Grundrechnungsarten sind in N unbeschränkt ausführbar. Tatsäch®ich kann man nur bei der Addition und bei der Mu®tip®ikation natür®icher Zah®en sicher sein, dass das Ergebnis wieder eine natür®iche Zah® ist. 26 Zeige anhand von drei Beispie®en, dass a) die Differenz natür®icher Zah®en eine natür®iche Zah® sein kann, aber nicht sein muss. b) der Quotient natür®icher Zah®en eine natür®iche Zah® sein kann, aber nicht sein muss. Abgesch®ossenheit einer Zah®enmenge Eine Zah®enmenge M ist abgesch®ossen bezüg®ich einer Rechenoperation („Verknüpfung“), wenn das Ergebnis der Verknüpfung zweier E®emente aus M immer in M ®iegt. So sind die natür®ichen Zah®en z.B. abgesch®ossen bezüg®ich der Addition und der Mu®tip®ikation, nicht aber bezüg®ich der Subtraktion, der Division und dem Wurze®ziehen. 27 Zeige anhand eines Gegenbeispie®s, dass die angegebene Aussage fa®sch ist: Nu ist additiv abgesch®ossen. Findet man ein Gegenbeispie®, kann man zeigen, dass die Aussage nicht stimmt: 7 + 11 = 18 7 * Nu und 11 * Nu , aber 18 + Nu 28 Zeige anhand eines Gegenbeispie®s, dass die angegebene Aussage fa®sch ist. a) P ist mu®tip®ikativ abgesch®ossen. d) Ng ist bezüg®ich der Subtraktion abgesch®ossen. b) P ist additiv abgesch®ossen. e) Nu ist bezüg®ich der Subtraktion abgesch®ossen. c) Die Menge der Quadratzah®en ist additiv abgesch®ossen. Tei®barkeit natür®icher Zah®en d heißt Tei®er von n (d tei®t n; n ist durch d tei®bar), wenn bei der Division von n durch d kein Rest b®eibt (n, d * N). Statt „d tei®t n“ sagt man auch oft „n ist ein Vie®faches von d“. Man drückt „d tei®t n“ durch „d‡n“ aus. 29 Gib die Menge in aufzäh®ender Darste®®ung an. a) die Tei®er von 48 c) die Tei®er von 25 e) die Tei®er von 49 g) die Tei®er von 1 b) die Tei®er von 32 d) die Tei®er von 37 f) die Tei®er von 17 h) die Tei®er von 20 30 Eine natür®iche Zah® wird vo®®kommene Zah® genannt, wenn sie g®eich der Summe ihrer echten Tei®er ist (ohne der Zah® se®bst). Zeige, dass die Zah® eine vo®®kommene Zah® ist. a) 6 b) 28 c) 496 31 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Jede natür®iche Zah® besitzt einen Vorgänger in N.  B Die natür®ichen Zah®en sind abgesch®ossen bezüg®ich der Division.  C Es gibt eine k®einste natür®iche Zah®.  D Jede natür®iche Zah® (≠ 0) besitzt einen k®einsten Tei®er.  E Es gibt eine größte natür®iche Zah®.  Merke N, n * N + – · : ( )n 9 _ Muster Merke Ó Handrechnen Video Teiler eh7pn2 M1 AG-R 1.1 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen 1 Tei®barkeitsrege®n Eine Zah® ist º durch 2 tei®bar, wenn die Einerziffer gerade ist. (z.B. 140 568) º durch 3 tei®bar, wenn die Ziffernsumme durch 3 tei®bar ist. (z.B. 813, da 8 + 1 + 3 = 12) º durch 4 tei®bar, wenn die aus Zehner- und Einerziffer gebi®dete Zah® durch 4 tei®bar ist. (z. B. 579 156) º durch 6 tei®bar, wenn sie durch 2 und 3 tei®bar ist. (z. B. 450) º durch 8 tei®bar, wenn die aus Hunderter-, Zehner- und Einerziffer gebi®dete Zah® durch 8 tei®bar ist. (z. B. 72 848) º durch 9 tei®bar wenn die Ziffernsumme durch 9 tei®bar ist. (z.B. 342, da 3 + 4 + 2 = 9) 32 Formu®iere Tei®barkeitsrege®n für den angegebenen Tei®er. a) 5 b) 10 c) 12 d) 24 e) 30 33 Gib an, ob die Zah® durch 2, 3, 4, 5, 8, 9 oder 10 tei®bar ist. a) 46 700 236 b) 129 763 320 c) 3 179 122 d) 837 895 320 e) 1 111 111 111 34 Ersetze in 7291 58z die Einerste®®e z jewei®s so durch eine Ziffer, dass die entstehende Zah® … a) durch 2, aber nicht durch 4 oder 8 tei®bar ist. c) durch 9 tei®bar ist. b) durch 4, aber nicht durch 8 tei®bar ist. d) durch 2 und durch 3 tei®bar ist. Menge der ganzen Zah®en Erweitert man den Zah®enbereich der natür®ichen Zah®en um die negativen ganzen Zah®en, dann erhä®t man die Menge Z der ganzen Zah®en. Diese Zah®enmenge ist nun auch bezüg®ich der Subtraktion abgesch®ossen, nicht aber bezüg®ich der Division und dem Wurze®ziehen. Menge der ganzen Zah®en º Z = {… ‒3, ‒2, ‒1, 0,1, 2, 3, …} ist die Menge der ganzen Zah®en. º Zg = {… ‒ 4, ‒ 2, 0, 2, 4, …} ist die Menge der geraden ganzen Zah®en. º Zu = {… ‒ 3, ‒1, 1, 3, …} ist die Menge der ungeraden ganzen Zah®en. Die Erweiterung von N um die negativen ganzen Zah®en kann auch auf der Zah®engeraden veranschau®icht werden. 35 Setze jewei®s die gegebenen Zah®en in den Term ein und berechne das Ergebnis. m – n ‒ (‒ m + n) n · (m – n) ‒ n · m – m · (n – 2 · m) a) m = ‒ 2 und n = ‒ 5 ‒ (+ 2 + (‒ 5)) = 3 b) m=‒3undn=‒7 c) m = ‒ 5 und n = 9 Ó Handrechnen Video Teilbarkeitsregeln uj38h3 Merke Ó Arbeitsb®att Tei®barkeitsrege®n wf48m6 ó Z, n * N + – · : ( )n 9 _ Ó Handrechnen Arbeitsblatt ganze Zah®en v6gw3v Merke 0 1 2 3 4 ... ... –4 –3 –2 –1 – + Ó Handrechnen Video Ganze Zahlen ze8mj9 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

15 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen 36 Wie werden negative ganze Zah®en im A®®tag verwendet? Nenne praktische Gründe für die Einführung negativer ganzer Zah®en. 37 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Jede ganze Zah® besitzt einen Vorgänger in Z.  B Die ganzen Zah®en sind abgesch®ossen bezüg®ich der Division.  C Jede ganze Zah® ist auch eine natür®iche Zah®.  D Die ganzen Zah®en sind eine Tei®menge der natür®ichen Zah®en.  E Jede natür®iche Zah® ist auch eine ganze Zah®.  38 Beschreibe folgende Menge. a) Z \ N b) N \ Z+ c) N \ Z g d) Zg ± Zu e) Zg ° N f) Zg ° Zu Betrag ganzer Zah®en Betrag einer Zah® Der Abstand einer Zah® a vom Nu®®punkt heißt Betrag (oder „Abso®utbetrag“) dieser Zah® und wird in der Form |a| geschrieben. Der Betrag einer Zah® m ist niema®s negativ: |m| º 0 für a®®e (ganzen) Zah®en m. 39 Berechne. a) |3 – 12| b) 5 – |1 – 8| c) ‒ |3 – 9| + |4| – |‒ 4| d) ‒ |‒ |1 – 5|| 40 Setze die gegebenen Zah®en in den Term ein und berechne das Ergebnis. |m – n| ‒ |m – |n|| |‒ m – n| |m + n| · |‒ n| a) m = 3 und n = 9 ‒ |3 – |9|| = ‒ 6 b) m = ‒ 5 und n = 8 c) m=6undn=‒11 d) m=‒1undn=‒7 41 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. a) 1 |‒3 – 4| – 2·|‒8 – 3·7| – |‒2| = A + 63 C ‒ 53 2 |‒3 – 4| – 2·(‒8 – 3·7) – |‒2| = B + 53 D ‒ 63 b) 1 ‒ 8 · |2 – 4 · (‒ 2 – 3)| – |+ 3 – 9| = A ‒ 182 C + 182 2 ‒ 8 · |2 – 4 · (‒ 2 – 3)| – (+ 3 – 9) = B + 170 D ‒ 170 42 Gib a®®e ganzen Zah®en x an, die die Aussage erfü®®en. a) |x| = 3 c) |x – 3| = 8 e) |x| ª 2 g) |x – 1| < 4 i) |x – 7| < 5 b) |x – 1| = 4 d) |x – 2| = 7 f) |x| < 5 h) |x – 2| < 1 j) |x – 12| < 0 » M1 AG-R 1.1 ó Ó Technologie Anleitung Betrag 2u6v4h Merke –4 † –4† = 4 † 3† 0 = 3 3 ó ó ó M1 AG-R 1.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

16 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen 1 Menge der rationa®en Zah®en Die rationa®en Zah®en bestehen aus jenen Zah®en, die man a®s Bruch p _ q ganzer Zah®en darste®®en kann (p * Z, q * Z \ {0}). Das sind a®®e end®ichen (z.B. 3,4) und unend®ich periodische Dezima®zah®en (z.B. 3,˙4). Die rationa®en Zah®en sind abgesch®ossen bezüg®ich der Addition, Subtraktion, Mu®tip®ikation und bezüg®ich des Potenzierens mit natür®ichen Zah®en. Weiters sind sie abgesch®ossen bezüg®ich der Division ohne 0 (da man durch 0 nicht dividieren kann). Eine Abgesch®ossenheit bezüg®ich des Quadratwurze®ziehens gibt es in Q nicht. Menge der rationa®en Zah®en Q = { p _ q † p * Z und q * Z und q ≠ 0 } ist die Menge der rationa®en Zah®en. p heißt Zäh®er und q heißt Nenner des Bruches. Q ist a®so die Menge der Brüche aus ganzen Zah®en, wobei der Nenner nicht 0 sein darf. Darste®®ung rationa®er Zah®en Bruchdarste®®ung: z. B. 3 _ 4 , 1 _ 9 , ‒ 24 _ 13 , … Dezima®darste®®ung: erhä®t man, indem man Zäh®er durch Nenner dividiert. Man erhä®t dabei immer eine end®iche Dezima®zah® oder eine periodische Dezima®zah®. z. B. 3 _ 4 = 3 : 4 = 0,75; 1 _ 9 = 1 : 9 = 0,1111111… = 0, ˙1 ; 11 _ 6 = 1,83333… = 1,8 ˙3 ; 43 Schreibe den Bruch a®s Dezima®zah®. a) 12 _ 8 b) 14 _ 7 c) 23 _ 9 d) 45 _ 14 e) 22 _ 99 f) 57 _ 10 g) 45 _ 100 h) 192 _ 6 i) 35 _ 2 Die rationa®en Zah®en und die Zah®engerade Die rationa®en Zah®en kann man auf der Zah®engeraden darste®®en. A®®erdings fü®®en sie die Zah®engerade nicht vo®®ständig. Z.B. 9 _ 2ist keine rationa®e Zah®, da sie nicht a®s Bruch dargeste®®t werden kann. Zwischen zwei rationa®en Zah®en ®iegen immer unend®ich vie®e weitere rationa®e Zah®en. Man sagt, die rationa®en Zah®en ®iegen dicht. 44 Gib an, we®che Zah®en auf der Zah®engeraden markiert sind. a) c) b) d) 45 Gib an, we®che Zah®en auf der Zah®engeraden markiert sind. a) c) b) d) 46 Ste®®e auf einer Zah®engeraden dar. a) ‒ 1,2; 0,4; 3,5; 5,1 b) 1,1; 1,5; 1,9; 2; 2,3 c) 1, 1 _ 2 , 1 _ 3 , 1 _ 4 , 1 _ 5 d) ‒ 0,01; 0,01; 0,05; 0,1 Q, n * N + – · : (Q\0) ( )n 9 _ Ó Technologie Anleitung Runden pi3p7x Merke ó 0,5 1 1,5 2 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1,75 = – 1 0,5 = _3 4 _1 2 _1 31 – 1 – 0,5 0 0 – 0,1 A B C D – 1 – 2 A B C D 0 – 0,01 A B C D – 2 – 3 A B C D – 3,76 – 3,77 A B C D – 4,18 – 4,19 A B C D 0,31 0,3 A B C D 0 – 0,001 A B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

17 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen 47 a) Ergänze das passende Zeichen <, > oder =. 1) 6 _ 13 7 _ 13 3) 5 _ 21 3 _ 21 5) 7 _ 14 3 _ 14 7) 3 _ 5 6 _ 5 9) 3 _ 7 5 _ 7 2) 5 _ 6 5 _ 5 4) 7 _ 3 7 _ 2 6) 3 _ 4 3 _ 5 8) 5 _ 7 5 _ 6 10) 8 _ 13 8 _ 14 b) Ergänze: Vergrößert man den Zäh®er eines Bruches und ®ässt den Nenner g®eich, dann … Vergrößert man den Nenner eines Bruches und ®ässt den Zäh®er g®eich, dann … 48 Setze das passende Zeichen <, > oder =. a) 4 _ 5 12 _ 15 c) 3 _ 4 2 _ 3 e) 12 _ 15 9 _ 10 g) ‒ 7 _ 6 ‒ 10 _ 8 b) 3 _ 8 10 _ 24 d) 2 _ 4 3 _ 6 f) ‒ 2 _ 7 ‒ 1 _ 14 h) ‒ 7 _ 8 ‒ 10 _ 12 Tipp: Um zwei Brüche zu verg®eichen, bringst du sie am besten auf dense®ben Nenner. Das Produkt der beiden Nenner ist immer ein gemeinsamer Nenner. 49 Ste®®e die Dezima®zah® a®s vo®®ständig gekürzter Bruch dar. a) 0,04 b) 0,98 c) 0,25 d) 0,12 Tipp: Erinnere dich: 0,1 = 1 _ 10 , 0,01 = 1 _ 100 50 Schreibe die periodische Dezima®zah® 5,3 _ 87= 5,387878787… a®s Bruch aus ganzen Zah®en. x = 5,3878787… Mu®tip®iziert man diese G®eichung mit 10 und mit 1 000, dann stehen hinter dem Komma die g®eichen Nachommastellen, die durch Subtraktion der beiden G®eichungen wegfa®®en: 1 000 · x = 5 387,878787878787… 1 0 · x = 53 ,87 87 8 78 78 787 87 … } – 990 · x = 5 334 | : 990 w x = 5 334 _ 990 = 889 _ 165 51 Schreibe die gegebene rationa®e Zah® a®s Bruch aus ganzen Zah®en. a) 7, ˙1  b) 0, ˙1  c) 0, _ 21 d) 0, _ 31 e) 23,7 ˙9  f) 0,3 _ 41 g) 0,3 _ 71 52 Beschreibe fo®gende Menge in Worten. a) Q \ Q+ b) Q \ Z c) Q \ N d) N ± Q e) Q ° N f) Q ° Z u 53 In Q ist die Division durch 0 nicht mög®ich. Gib eine mathematische Begründung für die grundsätz®iche Unmög®ichkeit der Division durch 0 an. 54 Es so®® gezeigt werden, dass die rationa®en Zah®en dicht ®iegen. a) a und b sind rationa® mit a < b. Begründe: a + b _ 2 ist rationa® und es gi®t a < a + b _ 2 < b. b) Verwende das Ergebnis von a) um zu begründen: Zwischen je zwei verschiedenen rationa®en Zah®en ®iegen immer unend®ich vie®e weitere rationa®e Zah®en. 55 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die rationa®en Zah®en sind eine Tei®menge der natür®ichen Zah®en.  B Die rationa®en Zah®en sind bezüg®ich der Division (ohne 0) abgesch®ossen.  C Die rationa®en Zah®en sind a®®e unend®ich nicht periodischen Dezima®zah®en.  D A®®e rationa®en Zah®en sind end®iche Dezima®zah®en.  E Zwischen zwei verschiedenen rationa®en Zah®en ®iegen unend®ich vie®e weitere rationa®e Zah®en.  ó Ó Handrechnen Video Brüche als Dezimalzahl 2896pd ó Ó Handrechnen Video Gemeinsamer Nenner d743gk Muster ó » » M1 AG-R 1.1 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

18 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen 1 56 Berechne den angegebenen Bruchtei®. a) 1 _ 2 von 34 c) 3 _ 8 von 40 e) 5 _ 6 von 36 g) 4 _ 6 von 33 i) 3 _ 10 von 400 b) 5 _ 7 von 42 d) 4 _ 3 von 60 f) 4 _ 8 von 32 h) 10 _ 16 von 24 j) 8 _ 10 von 25 57 Kreuze den passenden Schätzwert für das Ergebnis an. a) 4 _ 5 von 789 sind circa … A  620 B  630 C  640 D  650 b) 3 _ 4 von 7997 sind circa … A  5 000 B  6 000 C  5 900 D  7 000 c) 7 _ 13 von 1 307 sind circa … A  600 B  700 C  800 D  900 d) 10 _ 20 von 8 000 sind circa … A  4 002 B  4 004 C  4 000 D  3 990 Rechnen mit rationa®en Zah®en („Bruchrechnen“) Addieren / Subtrahieren von Brüchen Brüche werden addiert / subtrahiert, indem man sie zunächst durch Kürzen oder Erweitern auf gemeinsamen Nenner bringt (fa®®s erforder®ich) und dann die Zäh®er addiert / subtrahiert. Der Nenner b®eibt unverändert. Beispie®: 7 _ 4 + 11 _ 3 = 21 _ 12 + 44 _ 12 = 65 _ 12 = 5 5 _ 12 Mu®tip®izieren von Brüchen Brüche werden mu®tip®iziert, indem man jewei®s die Zäh®er und die Nenner miteinander mu®tip®iziert. Beispie®: 25 _ 8 · 3 _ 7 = 25 · 3 _ 8 · 7 = 75 _ 56 = 1 19 _ 56 Dividieren von Brüchen Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten mu®tip®iziert. Beispie®: 24 _ 5 : 4 _ 7 = 24 _ 5 · 7 _ 4 = 24 · 7 _ 5 · 4 = 6 · 7 _ 5 = 42 _ 5 = 8 2 _ 5 58 Berechne und vereinfache soweit wie mög®ich. a) ‒ 3 _ 8 – 3 _ 4 c) ‒ 2 1 _ 6 + 4 3 _ 4 e) 2 + 3 1 _ 4 3 · 2 + 8 _ 26 3 g) 2 ‒ 3 1 _ 3 3 : 2 + 2 2 _ 3 3 i) 108 _ 35 : 2 ‒ 3 _ 7 3 b) ‒ 2 1 _ 3 + 3 3 _ 5 d) 2 ‒ 2 1 _ 3 3 · 2 + 3 2 _ 7 3 f) 2 ‒ 25 _ 18 3 · 2 ‒ 9 _ 5 3 h) 2 + 3 4 _ 5 3 : 2 + 3 8 _ 10 3 j) 2 1 + 3 _ 4 3 : 3 _ 4 59 Berechne und kürze soweit wie mög®ich. a) 3 _ 5 · 15 _ 6 : 6 _ 4 b) 34 _ 12 · 8 _ 17 · 12 _ 5 c) 7 _ 4 : 3 _ 8 : 2 _ 9 d) 24 _ 15 : 4 _ 9 · 3 _ 4 60 Berechne und kürze soweit wie mög®ich. a) 5 – 2 3 _ 2 + 4 3 : 5 _ 4 b) (2 – 3 _ 4 : 5) 2 : (4 + 2 _ 3 · 5) c) 2 3 _ 5 + 2 · 5 _ 3 3 · 2 _ 3 – 7 _ 4 d) 2 2,5 – 3 _ 8 3 : 7 _ 5 61 Berechne und kürze soweit wie mög®ich. a) 2 2 _ 3 + 2 : 1 _ 5 3 – 7 _ 4 : 3 _ 2 b) 5 _ 1 + 6 _ 5 · 7 _ 3 – 1 c) 2 1 + 1 _ 2 + 1 _ 3 + 1 _ 4 3 2 d) 2 11 _ 5 + 2, _ 3 3 · 2 1, _ 2 – 1 _ 2 3 62 Die fo®gende Rechnung enthä®t mehrere Feh®er. Identifiziere sie und berechne korrekt. 2 2 _ 3 : 2 _ 5 + 1 _ 2 · 4 3 2 = 2 2 _ 3 · 5 _ 2 + 4 _ 2 3 2 = 2 2 _ 3 · 9 _ 2 3 2 = 2 4 _ 6 · 27 _ 6 3 2 = 2 108 _ 6 3 2 = 11 664 _ 6 = 1 944 Ó Handrechnen Video Anteile berechnen 3z7as3 ó Ó Handrechnen Video Schätzen von Anteilen mf99bd ó Ó Handrechnen Video Grundrechnungsarten jh9x35 Ó Handrechnen Video Doppelbrüche 2t3bn8 ó ó óÓ Techno®ogie An®eitung Eingeben von Brüchen x3as6t Ó Handrechnen Arbeitsb®att Bruchrechnung x5qf36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

19 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen Menge der ree®®en Zah®en Fügt man nun zur bisher umfassendsten Zah®enmenge, näm®ich Q, a®®e Dezima®zah®en dazu, die unend®ich nicht periodisch sind (irrationa®e Zah®en), so erhä®t man die Menge R der ree®®en Zah®en. Die ree®®en Zah®en fü®®en die Zah®engerade nun ®ücken®os aus. Man kann in den ree®®en Zah®en fast a®®e Rechenoperationen unbeschränkt ausführen: Die ree®®en Zah®en sind additiv, subtraktiv, mu®tip®ikativ und bezüg®ich des Potenzierens abgesch®ossen, R \ {0} ist abgesch®ossen bezüg®ich der Division. In R kann man aus jeder nicht negativen Zah® die Quadratwurze® ziehen. A®®erdings kann man in R nicht die Quadratwurze® aus negativen Zah®en ziehen. Menge der ree®®en Zah®en º R ist die Menge a®®er (end®ichen, periodischen oder unend®ich nicht periodischen) Dezima®zah®en und wird a®s die Menge der ree®®en Zah®en bezeichnet. º I = R \ Q ist die Menge der irrationa®en Zah®en. Die irrationa®en Zah®en sind die nicht periodischen unend®ichen Dezima®zah®en. Irrationa®e Zah®en sind zum Beispie® π, 9 _ 2 und a®®gemeiner 9 _ nfür jede natür®iche Zah® n, für die 9 _ nnicht ganzzah®ig ist, a®so zum Beispie® 9 _ 5 , 9 __ 13 und 9 ___ 1 000, aber nicht 9 __ 121= 11. Die Abbi®dung gibt eine Übersicht über die Zah®enmengen, wobei jewei®s typische Vertreter eingetragen sind. 63 Schreibe die gegebenen ree®®en Zah®en in den passenden Bereich. a) 9 __ 11 ; ‒ 2 _ 3 ; ‒ 56; 9,468; 4,7˙5 ; 9__ 169 ; 2 3 _ 4 ; 2 2 _ 4 3 3; 22; 34 b) π _ 3 ; 9__ 10 ; 4 _ 2 ; ‒1,5; ‒ 1 _ 3 ; 9_ 8; 25; 9 __ 16 ; ‒ 9 _ 4 ; 1, ˙7  64 Übertrage die Abbi®dung aus Aufgabe 63 und schreibe die gegebenen Zah®en in den passenden Bereich. a) 9 __ 16; ‒23; 9 _ 7 ; 2 _ 3 ; ‒ 8 _ 2 c) 9__ 49; ‒3; 9 __ 79; 0,3333; ‒ 9__ 49 _ 2 e) 9__ 100; 56; 9 _ 9 ; 0 _ 3 ; ‒ 12 _ 7 b) 9 __ 32; 0; ‒9 _ 7 ; ‒ 8 _ 2 ; ‒ 3 _ 2 d) ‒ 2,3; 9_ 1 ; 2 _ ‒ 9 ; ‒ π _ 2 f) 9_ 6; 23,0; 9 _ 5 ; 1 _ 3 ; 8 _ 4 R + – · : ( )n 9 _ a,aº0 Ó Techno®ogie An®eitung Wurzel 9vw3mm Merke N Z Q R 12 0 – 7 3 – π – 2,861 20 –– 5 111 –25 0,127 _ Ó Arbeitsb®att Zah®enmengen 69m5i3 N Z Q R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

20 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen 1 65 Gib ein E®ement aus der gegebenen Menge an. a) * Q \ Z b) * R \ Q c) * I \ Q d) * Q ° Z e) * Z ± I 66 Gib an, in we®chen der Zah®enmengen N, Z, Q, I, R die gegebene Zah® entha®ten ist. a) ‒ 4 c) 13 e) 7,34 g) 2 _ 3 i) 9__ 121 k) 9 __ 32 _ 9 _ 2 b) 9 __ 23 d) 9 _ 7 _ 3 f) 9 __ 35 _ 7 h) 9 __ 49 _ 7 j) π _ 7 ®) 3 _ 9 __ 100 67 Gib an, ob die Aussage richtig oder fa®sch ist. Fa®®s die Aussage fa®sch ist, gib ein Gegenbeispie® an. a) Die rationa®en Zah®en sind eine Tei®menge der ree®®en Zah®en. b) Die irrationa®en Zah®en sind a®®e Dezima®zah®en. c) Die Quadratwurze® einer Zah® ist immer eine irrationa®e Zah®. d) Die Quadratwurze® jeder ree®®en Zah® ist wieder eine ree®®e Zah®. 68 1) Kreuze jene beiden Zah®en an, die keine rationa®en Zah®en sind. A ‒ 3,5  D 7  B 9_ 9 _ 4  E π _ 3  C 9 __ 141  2) Für we®che Zah®enmenge gi®t die Aussage a _ 2 * N? Ergänze! a * 69 Vervo®®ständige den fo®genden Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Die Zah® 9__ 169 _ 5 ist eine (1) , wei® (2) . (1) (2) rationa®e Zah®  ein Wurze®zeichen vorkommt  ganze Zah®  sie a®s Bruch ganzer Zah®en dargeste®®t werden kann  irrationa®e Zah®  sie eine periodische Dezima®zah® ist  70 Identifiziere in jeder Zei®e den „Außenseiter“, der nicht zur gegebenen Menge gehört. N  81 _ 27  741  9 __ 65  4 Q  5,972  9 _ 3 _ 5  9 __ 81 _ 144  11 I  9 __ 24  π + 6  0,0205  9 _ 2 R  ‒ 9 __ 36  7  5,8  9 ___ ‒ 36 71 Leonard behauptet, er könne durch Änderung end®ich vie®er Ziffern eine rationa®e Zah® zu einer irrationa®en Zah® machen. Maria behauptet, sie könne durch Änderung end®ich vie®er Ziffern eine irrationa®e Zah® zu einer rationa®en Zah® machen. Beurtei®e diese beiden Aussagen und begründe. ó M1 AG-R 1.1 ó M1 AG-R 1.1 Ó Arbeitsb®att Maturaformate Zah®enmengen 2te5m3 » Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

21 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen Mächtigkeit von Mengen Man könnte g®auben, dass es doppe®t so vie®e ganze Zah®en wie natür®iche Zah®en gibt. Da aber beide Zah®enmengen unend®ich vie®e E®emente beinha®ten, die man abzäh®en kann, sagt man die beiden Mengen sind g®eichmächtig. Georg Cantor hat herausgefunden, dass auch die Menge der rationa®en Zah®en g®eichmächtig zu der Menge der natür®ichen Zah®en ist. Ree®®e Interva®®e Interva®®e Interva®®e sind zusammenhängende Bereiche auf der Zah®engeraden. Für ree®®e Zah®en a und b mit a ª b ist bzw. sind º [a; b] = {x * R‡ a ª x ª b} das abgesch®ossene Interva®® mit den Randpunkten a und b, die beide zum Interva®® gehören. º (a; b) = {x * R‡ a < x < b} das offene Interva®® mit den Randpunkten a und b (die nicht zum Interva®® gehören). º [a; b) = {x * R‡ a ª x < b} bzw. (a; b] = {x * R‡ a < x ª b} die ha®boffenen Interva®®e mit den Randpunkten a und b, wobei immer nur einer der Randpunkte zum Interva®® gehört. Liegt die Grenze eines Interva®®s im Unend®ichen (•), so ist das Interva®® an dieser Grenze immer offen. Beispie®: (‒ •; 3] = {x * R‡ x ª 3} Anmerkung: Offene bzw. ha®boffene Interva®®e können auch so angeschrieben werden: [a; b) = [a; b[ (a; b] = ]a; b] (a; b) = ]a; b[ 72 Schreibe die Menge in Interva®®schreibweise an und skizziere sie auf der Zah®engeraden. a) {x * R † ‒ 2 < x ª 9} c) {x * R † 3 ª x ª 7} e) {x * R † ‒ 2 < x} b) {x * R † ‒ 4 < x < 0} d) {x * R † x > 4} f) {x * R † x ª ‒ 4} 73 Schreibe a®s Menge ree®®er Zah®en an und skizziere diese auf der Zah®engeraden. a) [1; 5] b) (‒ 2; 3] c) (0; 4) d) [‒ 2; 1) e) (‒ •; 3] f) (4; •) g) (‒ 2; •) 74 Schreibe – wenn mög®ich – in Interva®®schreibweise und skizziere die Menge auf der Zah®engeraden. a) {x * R‡ ‒1ªxª4} c) {x * R‡ ‒ 33 < x ª ‒ 30} e) {x * N‡ ‒ 22 ª x ª 5} b) {x * R‡ ‒ 22 ª x < 33} d) {x * R‡ 121 ª x ª 125} f) {x * N‡ ‒ 3 < x ª 6} 75 Gib das eingezeichnete Interva®® in 1) Interva®®schreibweise 2) Mengenschreibweise an. a) c) b) d) Ó Vertiefung Mächtigkeit 76yz8a Georg Cantor (1845 – 1918) Merke a [a; b] b a (a; b) b a [a; b) b 0 3 1 2 Ó Arbeitsb®att Maturaformate Intervalle 3f8zv2 M1 AG-R 1.1 ó 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 40 50 60 70 –20 –10 0 10 20 30 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

22 1 Kompetenzen 1.3 Schätzen von Ergebnissen Lernzie®e: º Schätzwerte für die Ergebnisse von Grundrechnungsarten angeben können Schätzwerte bei der Addition und Subtraktion Um Ergebnisse einer Rechnung abschätzen zu können, verändert man die Zahlen so, dass man leichter rechnen kann. Wird das Ergebnis dadurch größer, erhält man einen oberen Schätzwert, wird das Ergebnis kleiner, erhält man einen unteren Schätzwert für das Ergebnis der Rechnung. 76 1) Berechne einen unteren Schätzwert für die Summe, indem du alle Summanden verkleinerst. 2) Berechne einen oberen Schätzwert für die Summe, indem du alle Summanden vergrößerst. a) 124,39 + 278,695 + 313,445 + 298,9999 = c) 5,78 + 27,39 + 312,45 + 3112,33 = b) 14,75 + 38,34 + 27,99 + 108,34 = d) 735,33 + 722,22 + 711,5 + 677,32 = 77 Bestimme mit Hilfe von Schätzwerten das richtige Ergebnis für die angegebene Rechnung. a) 538,75 + 729,35 + 4117,33 + 811,5 = b) 3012,99 + 785,32 + 488,97 + 312,13 = A 5896,33  A 2098,31  B 6498,95  B 3599,41  C 6196,93  C 5676,41  D 198,63  D 4976,41  E 7196,93  E 4599,41  78 1) Berechne einen Schätzwert für die Differenz, indem du den Minuenden vergrößerst und den Subtrahenden verkleinerst. 2) Berechne einen Schätzwert für die Differenz, indem du den Minuenden verkleinerst und den Subtrahenden vergrößerst. 3) Vergleiche deine Ergebnisse aus 1) und 2) mit der exakten Differenz. 4) Vervollständige die beiden Sätze: Man erhält einen oberen Schätzwert für das Ergebnis einer Subtraktion, indem man … Man erhält einen unteren Schätzwert für das Ergebnis einer Subtraktion, indem man … a) 4 739,52 – 899,32 = b) 12 389,54 – 5 833,98 = c) 123 433,98 – 17 529,35 = Schätzwerte bei der Multiplikation und Division Mu®tip®izieren und Dividieren mit/durch …0,001; 0,01; 0,1; 10; 10; 100; 1 000… Mu®tip®izieren mit 10; 100; 1 000, …, verschiebt das Komma um 1, 2, 3, … Ste®®en nach rechts. Dividieren durch 10; 100; 1 000, …, verschiebt das Komma um 1, 2, 3, … Ste®®en nach ®inks. Mu®tip®izieren mit 0,1; 0,01; 0,001; …, verschiebt das Komma um 1, 2, 3, … Ste®®en nach ®inks. Dividieren durch 0,1; 0,01; 0,001; …, verschiebt das Komma um 1, 2, 3, … Ste®®en nach rechts. ó ó Ó Handrechnen Video Addieren schätzen a7v8sc Ó Handrechnen Video Subtrahieren schätzen v3p4qr Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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