Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Wo stehe ich? Ich kann … … Längenmaße umrechnen. … Flächenmaße umrechnen. … die verschiedenen Arten der Dreiecke unterscheiden. … die verschiedenen Arten der Vierecke unterscheiden. … Dreiecke konstruieren. … Vierecke konstruieren. … im Koordinatensystem Punkte eintragen und ablesen. Das lerne ich: Wie der Umfang von geometrischen Figuren berechnet werden kann. Wie man den Flächeninhalt geometrischer Figuren berechnen kann. Wie man aus bekannten Formeln gesuchte Größen berechnen kann. Wie man ein regelmäßiges Sechseck konstruieren und berechnen kann. Wie man Vielecke in GeoGebra konstruieren kann. Wie man praktische Aufgaben, in denen Vierecke und Vielecke vorkommen, lösen kann. Flächeninhalte von ebenen Figuren 2 Überprüfe deine Einschätzung! Gib in der angegebenen Maßeinheit an. a) in cm: 7 dm; 60 mm; 350 mm; 1,2 m b) in m: 2 km; 80 dm; 460 mm; 1,25 km c) in cm2: 2 dm2; 4 m2; 700 mm2; 0,5 dm2 d) in m2: 6 ha; 400 dm2; 3 a; 15 000 cm2 Konstruiere das Dreieck und gib an, welche Art von Dreieck es ist. a) c = 5 cm; a = 6,5 cm; α = 40° b) a = 4,5 cm; b = 5,2 cm; c = 5,6 cm c) c = 48 mm; b = 35 mm; α = 110° d) c = 52 mm; α = 40°; β = 70° Konstruiere die Figur. a) Parallelogramm: a = 7,5 cm; b = 4,2 cm; α = 130° b) Quadrat: d = 60 mm c) Deltoid: e = 5,5 cm; a = 2,5 cm; f = 30 mm d) Raute: e = 48 mm; f = 66 mm e) Trapez: a = 56 mm; c = 28 mm; α = 68°; d = 35 mm f) Rechteck: a = 5 cm; d = 7,2 cm Zeichne ein Koordinatensystem, trage die Punkte ein und verbinde sie. Welche Figur entsteht? a) A (−1 | 1), B (5 | 1), C (4 | 4), D (1 | 4) b) A (−3 | 3), B (−5 | 1), C (−3 | −2), D (−1 | 1) Welches besondere Viereck ist gefragt? Es hat zwei ungleich lange parallele Seiten, zwei rechte Winkel und keine Symmetrieachse. Es ist das . O 292 O, DI 293 O 294 O, DI 295 M 296 Ein Tangram besteht aus sieben Teilfiguren. a) Welche Figuren erkennst du? b) Fertige aus festem Karton ein Tangram an. c) Verwende alle sieben Teile. Lege ein Quadrat, ein Parallelogramm und ein gleichschenkliges Dreieck. d) Was kannst du über deren Flächeninhalte aussagen? Lege mit jeweils 24 Streichhölzern ein Dreieck und ein Viereck. Vergleiche die entstandenen Figuren miteinander. a) Was haben beide Figuren gemeinsam? b) Worin unterscheiden sie sich? c) Lege das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt. Zeichne zu der Aussage das passende Viereck. a) Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Es hat keinen rechten Winkel und keine Symmetrieachse. b) Je zwei Seiten sind gleich lang, aber nicht parallel. Es hat genau eine Symmetrieachse und die Diagonalen stehen normal aufeinander. c) Es hat zwei verschieden lange parallele Seiten und keinen rechten Winkel. Überlege und ordne zu. a) Bei welchen Vierecken lässt sich ein Umkreis konstruieren? b) Bei welchen Vierecken lässt sich ein Inkreis konstruieren? c) Welches Viereck hat sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis? d) Welche Vierecke haben weder einen Inkreis noch einen Umkreis? M, DI 297 M, DI 298 M, O, DI 299 DI 300 A B C D E F 50 51 Flächeninhalte von ebenen Figuren 2 Lernen Lernen 17 Parallelogramm Konstruiere das Parallelogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm, α = 60°. Zeichne die Höhen ein und schneide es aus. a) Zerschneide das Parallelogramm und lege es zu einem flächengleichen Rechteck zusammen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? b) Welche Formel ergibt sich daraus für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ( _ 01 = 1 cm). Verbinde die Punkte zu einem Parallelogramm. Entnimm die notwendigen Maße aus der Zeichnung und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. a) A (0 | 1), B (5 | 1), C (7 | 4), D (2 | 4) b) A (–4 | –1), B (3 | –1), C (1 | 4), D (–6 | 4) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Parallelogramms. a) a = 7,5 cm; b = 4,8 cm, ha = 35 mm b) a = 4 cm; b = 6 cm; hb = 55 mm Zeichne zwei verschiedene Parallelogramme und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. Zwei Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt. Erkläre, warum deren Umfang nicht auch gleich sein muss. Wie verändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms a = 6 cm und ha = 4 cm, wenn a) die Seite a verdoppelt wird, b) die Seite a halbiert und ha verdoppelt wird, c) die Seite a verdreifacht wird, d) die Seite a halbiert und ha verdreifacht wird? M, O 316 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe. A = a · ha oder A = b · hb Für den Umfang eines Parallelogramms gilt: u = 2 · (a + b) a d g b a b hb ha O, DI 317 O 318 O 319 a a b ha b ha M, DI, B 320 Zwischenstopp: Berechne Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms. a) a = 14,2 cm; b = 6,8 cm; ha = 5,8 cm b) a = 46,8 m; b = 13 m; ha = 10,5 m O 321 M, O, DI, B 322 Die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms A = a · ha wurde umgeformt, damit man die Höhe ha berechnen kann. Kreuze die zwei richtigen Umformungen an. A a = A · ha B ha = A : a C ha = A · a D ha = A _ a Ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von 225 cm2 ist 18 cm lang. Berechne die zugehörige Höhe ha. Berechne die fehlenden Größen des Parallelogramms. a b ha hb u A a) 40 cm 12 cm 140 cm b) 7,5 m 1,2 m 6 m2 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms beträgt 240 cm2. Welche Seitenlängen und zugehörige Höhen sind möglich? Gib drei Beispiele an. Konstruiere das Parallelogramm in GeoGebra. Verwende dafür die Werkzeuge „Punkt, Strecke, Winkel mit fester Größe“. a) A (–2 | 1), B (4 | 1), C (2 | 4), D ? b) a = 4 cm, α = 70°, h = 2 cm Durch eine Wiese wird ein 2,5 m breiter Weg angelegt. Berechne, wie viel Quadratmeter dafür benötigt werden? Das Geländer einer Treppe wird mit Glasscheiben versehen. a) Wie viel Quadratmeter Glas braucht man für acht solcher Scheiben (ohne Verschnitt)? b) Was kosten die Glaseinsätze, wenn für 1 m2 49,90 € verrechnet werden? Die Skizze zeigt die Bodenfläche eines Schulhofes. a) Zeichne diese Fläche im Maßstab 1 : 100. b) Berechne den Flächeninhalt. M, O 323 O 324 Höhe berechnen: A = a · ha | : a A : a = ha ha = A _ a O 325 M, O 326 O 327 * ô O 328 65 m 2,5 m Zwischenstopp: Ein Gartenbeet hat die Form eines Parallelogramms mit a = 8,5 m und b = 6 m. Der Flächeninhalt beträgt 40,8 m2. Berechne die zugehörigen Höhen und den Umfang. O 329 M, O 330 1,20 m 2,25 m 1,80 m 1,20 m O 331 62 m 46 m 24 m 32 m 16 m 54 55 Flächeninhalte von ebenen Figuren * Informatische Bildung Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 3. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 220 bis 227 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 240 bis 244 erklärt. Verbinden 3 Winzig klein und riesig groß Im grau unterlegten Feld sind die Maße von kleinen und großen Dingen angegeben. Gib die Maße in Zentimeter an. Bei manchen Angaben kann dir die Tabelle helfen. Schreibe dann die Zahlen als Zehnerpotenz und trage sie der Größe nach geordnet in die Graphik ein. Recherchiere zum Thema „Viren“. Gestalte eine Mindmap, indem du erklärst, was Viren sind, wie sie sich vermehren und wie groß sie sind. Gib die Größe von Viren in Millimeter an und schreibe dann als Zehnerpotenz. Nenne zwei bekannte Viruserkrankungen und gib Tipps, wie man sich schützen kann. O, DI 567 T Tera 1012 1 000 000 000 000 Billion G Giga 109 1 000 000 000 Milliarde M Mega 106 1 000 000 Million k Kilo 103 1 000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert dag Deka 101 10 Zehn — — 100 1 Eins d Dezi 10–1 0,1 Zehntel c Zenti 10–2 0,01 Hundertstel m Milli 10–3 0,001 Tausendstel µ Mikro 10–6 0,000 001 Millionstel n Nano 10–9 0,000 000 001 Milliardstel p Piko 10–12 0,000 000 000 001 Billionstel EURO 10–12 cm * M 568 Ein Atomkern ist 0,000 01 nm groß. Kleine Viren sind 15 nm groß. Kleinste Bakterien sind 300 nm groß. Feinstaub ist 10 µm groß. Eine Euromünze ist 1,67 mm dick. Der Durchmesser eines Fußballs ist 22 cm. Die Höhe des Schiefen Turms von Pisa ist 55 m. Der Durchmesser der Erde ist 12 756 km. Die Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 149,6 Millionen Kilometer. Die Entfernung zum nächsten Fixstern (Alpha Centauri) beträgt 41,63 Billionen km. 90 * Gesundheitsförderung Flächeninhalte von ebenen Figuren Überprüfen Überprüfen 2 Das kann ich! Ich kann den Umfang geometrischer Figuren berechnen. Kreuze die beiden Formeln an, die nicht verwendet werden können, um den Umfang eines Vielecks zu berechnen. A u=4·a B u = 2 · (a – b) C u = a + c · h _ 2 D u = 2 · (a + b) E u = a + b + c + d Ein rechteckiger Acker hat einen Umfang von 492 m. Die Breite beträgt 114,5 m. Wie lang ist der Acker? Ich kann den Flächeninhalt geometrischer Figuren berechnen. Ordne die Formeln für den Flächeninhalt den richtigen Figuren zu. Berechne den Flächeninhalt der gegebenen Figur. a) Rechteck: a = 12,8 m; b = 9,4 m; A = b) Quadrat: a = 6,4 cm; A = c) Raute: a = 4,25 cm; h = 3,2 cm; A = d) Deltoid: e = 75 mm; f = 56 mm; A = Ein rautenförmiger Spiegel hat einen Flächeninhalt von 12,54 dm2. Die Seite ist 38 cm lang. Wie hoch ist der Spiegel? Ich kann aus bekannten Formeln gesuchte Größen berechnen. Berechne die gesuchte Größe. a) Rechteck: A = 118,56 m2; a = 15,6 m b = b) Raute: A = 29,24 cm2; a = 4,3 cm h = Berechne die gesuchte Größe. a) Quadrat: u = 6,4 m a = b) Parallelogramm: A = 23,97 cm2; h a = 4,7 cm a = M, O 401 O 402 O 403 Parallelogramm Quadrat Trapez Deltoid Raute Rechteck A = e · f _ 2 A = (a + c) · h _ 2 A = a · b A = a · a A = b · hb O 404 O 405 O 406 O 407 Berechne die gesuchte Größe. a) Deltoid: A = 1 302 cm2; f = 42 cm e = b) Trapez: A = 23,62 m2; a = 6,5 m; c = 4 m h = Berechne die gesuchte Größe. a) Dreieck: A = 8,2 cm2; h c = 32 mm c = b) Dreieck: A = 448 cm2; c = 28 cm hc = Ich kann ein regelmäßiges Sechseck konstruieren und berechnen. Konstruiere ein regelmäßiges Sechseck mit r = 2,5 cm und berechne den Flächeninhalt (ha = 22 mm). A = Ich kann Vielecke in GeoGebra konstruieren. Konstruiere digital und berechne den Umfang. a) Trapez: a = 6 cm; α = β = 65°; h = 4 cm u = b) Deltoid: A (2 | 4), B (–1 | 2), C (2 | –3), D (5 | 2) u = Konstruiere digital und berechne den Flächeninhalt. Unregelmäßiges Fünfeck: A (4 | 0), B (6 | 2), C (5 | 4), D (0 | 4), E (–3 | 1) A = Ich kann praktische Aufgaben, in denen Vierecke und Vielecke vorkommen, lösen. Aus einer rechteckigen Blechplatte wird eine unregelmäßige Figur herausgeschnitten. Maße in cm Berechne den Flächeninhalt der ausgeschnittenen Figur. A = Wie viel Prozent der Fläche fällt weg? Berechne Flächeninhalt und Umfang der zusammengesetzten Figur. In welche Flächen kannst du die Figur sinnvoll zerlegen? Wie viel Prozent der Gesamtfläche macht das innere graue Rechteck aus? O 408 O 409 O 410 O 411 * ô O 412 * ô 26 22 65 34 22 11 22 26 O 413 7,4 cm 4,0 cm 3,9 cm 3,6 cm 3,6 cm 5,2 cm 5,2 cm O 414 68 69 * Informatische Bildung Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Zusammenfassen Zusammenfassung Direkt proportionale Zuordnungen • Zuordnungen sind direkt proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, Halben, … einer Größe (x) das Doppelte, Dreifache, Halbe, … einer anderen Größe (y) zugeordnet wird. • Der Quotient der Wertepaare heißt Proportionalitätsfaktor. • Die graphische Darstellung ist ein Strahl. Indirekt proportionale Zuordnungen • Zuordnungen sind indirekt proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, … einer Größe (x) die Hälfte, ein Drittel, … einer anderen Größe (y) zugeordnet wird. • Das Produkt der Wertepaare ist immer gleich. • Die graphische Darstellung ist eine Kurve. Lineare Wachstumsprozesse • Nimmt eine bestimmte Größe in gleich großen Abständen um den gleichen Wert zu, spricht man von einem linearen Wachstumsprozess. • Die graphische Darstellung ist ein gleichmäßig ansteigender Strahl. Lineare Abnahmeprozesse • Nimmt eine bestimmte Größe in gleich großen Abständen um den gleichen Wert ab, spricht man von einem linearen Abnahmeprozess. • Die graphische Darstellung ist ein gleichmäßig fallender Strahl. Anzahl Kosten Quotient: Preis pro Anzahl 3 12 ₣ 12 ₣ : 3 = 4 ₣ 6 24 ₣ 24 ₣ : 6 = 4 ₣ Verdoppelt sich die Anzahl, verdoppelt sich der Preis. · 2 · 2 0 1 4 3 2 5 6 Kosten in 24 18 12 6 Anzahl Anzahl Maschinen Arbeitszeit Produkt: gesamte Arbeitszeit 3 8 h 3 · 8 h = 24 h 6 4 h 6 · 4 h = 24 h Verdoppelt sich die Anzahl, halbiert sich die Zeit. · 2 : 2 0 1 4 3 2 5 6 24 16 8 Anzahl Zeit In einem Becken befinden sich zu Beginn 200 Liter Wasser. In jeder Stunde fließen 50 Liter zu. 0 1 2 3 4 5 h 450 350 250 150 50 l Von 3 Tonnen Sand wird jeden Tag eine halbe Tonne abtransportiert. 0 1 2 3 4 5 6 d 2 4 t 147 Zuordnungen, Wachstum und Abnahmeprozesse 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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