Schritt für Schritt Mathematik 3
Schritt für Schritt Mathematik 3, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer: 220402 Schritt für Schritt Mathematik 3, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 220404 Schritt für Schritt Mathematik 3, Schulbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 220405 Schritt für Schritt Mathematik 3, Schulbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 220407 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 18. Dezember 2024, Geschäftszahl 2023-0.929.227, gemäß 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: Matthias Pflügner, Berlin Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Technische Zeichnungen: Arnold & Domnick, Leipzig Illustrationen: Matthias Pflügner, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11430-3 (Schritt für Schritt Mathematik SB 3 + E-Book) ISBN 978-3-209-11446-4 (Schritt für Schritt Mathematik SB 3 + E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12911-6 (Schritt für Schritt Mathematik SB 3 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-12912-3 (Schritt für Schritt Mathematik SB 3 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Schritt für Schritt Mathematik 3 Maria Brandhofer Sabine Mader Renate Marounek Irene Messerer Eva Pongratz Eva Schildt-Messerer Heidi Schimpl unter Mitarbeit von Marie-Hélène Fisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Wo stehe ich? Ich kann … … Längenmaße umrechnen. … Flächenmaße umrechnen. … die verschiedenen Arten der Dreiecke unterscheiden. … die verschiedenen Arten der Vierecke unterscheiden. … Dreiecke konstruieren. … Vierecke konstruieren. … im Koordinatensystem Punkte eintragen und ablesen. Das lerne ich: Wie der Umfang von geometrischen Figuren berechnet werden kann. Wie man den Flächeninhalt geometrischer Figuren berechnen kann. Wie man aus bekannten Formeln gesuchte Größen berechnen kann. Wie man ein regelmäßiges Sechseck konstruieren und berechnen kann. Wie man Vielecke in GeoGebra konstruieren kann. Wie man praktische Aufgaben, in denen Vierecke und Vielecke vorkommen, lösen kann. Flächeninhalte von ebenen Figuren 2 Überprüfe deine Einschätzung! Gib in der angegebenen Maßeinheit an. a) in cm: 7 dm; 60 mm; 350 mm; 1,2 m b) in m: 2 km; 80 dm; 460 mm; 1,25 km c) in cm2: 2 dm2; 4 m2; 700 mm2; 0,5 dm2 d) in m2: 6 ha; 400 dm2; 3 a; 15 000 cm2 Konstruiere das Dreieck und gib an, welche Art von Dreieck es ist. a) c = 5 cm; a = 6,5 cm; α = 40° b) a = 4,5 cm; b = 5,2 cm; c = 5,6 cm c) c = 48 mm; b = 35 mm; α = 110° d) c = 52 mm; α = 40°; β = 70° Konstruiere die Figur. a) Parallelogramm: a = 7,5 cm; b = 4,2 cm; α = 130° b) Quadrat: d = 60 mm c) Deltoid: e = 5,5 cm; a = 2,5 cm; f = 30 mm d) Raute: e = 48 mm; f = 66 mm e) Trapez: a = 56 mm; c = 28 mm; α = 68°; d = 35 mm f) Rechteck: a = 5 cm; d = 7,2 cm Zeichne ein Koordinatensystem, trage die Punkte ein und verbinde sie. Welche Figur entsteht? a) A (−1 | 1), B (5 | 1), C (4 | 4), D (1 | 4) b) A (−3 | 3), B (−5 | 1), C (−3 | −2), D (−1 | 1) Welches besondere Viereck ist gefragt? Es hat zwei ungleich lange parallele Seiten, zwei rechte Winkel und keine Symmetrieachse. Es ist das . O 292 O, DI 293 O 294 O, DI 295 M 296 Ein Tangram besteht aus sieben Teilfiguren. a) Welche Figuren erkennst du? b) Fertige aus festem Karton ein Tangram an. c) Verwende alle sieben Teile. Lege ein Quadrat, ein Parallelogramm und ein gleichschenkliges Dreieck. d) Was kannst du über deren Flächeninhalte aussagen? Lege mit jeweils 24 Streichhölzern ein Dreieck und ein Viereck. Vergleiche die entstandenen Figuren miteinander. a) Was haben beide Figuren gemeinsam? b) Worin unterscheiden sie sich? c) Lege das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt. Zeichne zu der Aussage das passende Viereck. a) Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Es hat keinen rechten Winkel und keine Symmetrieachse. b) Je zwei Seiten sind gleich lang, aber nicht parallel. Es hat genau eine Symmetrieachse und die Diagonalen stehen normal aufeinander. c) Es hat zwei verschieden lange parallele Seiten und keinen rechten Winkel. Überlege und ordne zu. a) Bei welchen Vierecken lässt sich ein Umkreis konstruieren? b) Bei welchen Vierecken lässt sich ein Inkreis konstruieren? c) Welches Viereck hat sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis? d) Welche Vierecke haben weder einen Inkreis noch einen Umkreis? M, DI 297 M, DI 298 M, O, DI 299 DI 300 A B C D E F 50 51 Flächeninhalte von ebenen Figuren 2 Lernen Lernen 17 Parallelogramm Konstruiere das Parallelogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm, α = 60°. Zeichne die Höhen ein und schneide es aus. a) Zerschneide das Parallelogramm und lege es zu einem flächengleichen Rechteck zusammen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? b) Welche Formel ergibt sich daraus für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ( _ 01 = 1 cm). Verbinde die Punkte zu einem Parallelogramm. Entnimm die notwendigen Maße aus der Zeichnung und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. a) A (0 | 1), B (5 | 1), C (7 | 4), D (2 | 4) b) A (–4 | –1), B (3 | –1), C (1 | 4), D (–6 | 4) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Parallelogramms. a) a = 7,5 cm; b = 4,8 cm, ha = 35 mm b) a = 4 cm; b = 6 cm; hb = 55 mm Zeichne zwei verschiedene Parallelogramme und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. Zwei Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt. Erkläre, warum deren Umfang nicht auch gleich sein muss. Konstruiere das Parallelogramm in GeoGebra. Verwende dafür die Werkzeuge „Punkt“, „Strecke“, „Winkel mit fester Größe“ und „Senkrechte Gerade“. a) A (–2 | 1), B (4 | 1), C (2 | 4), D ? b) a = 4 cm, α = 70°, ha = 2 cm M, O 316 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe. A = a · ha oder A = b · hb Für den Umfang eines Parallelogramms gilt: u = 2 · (a + b) a d g b a b hb ha O, DI 317 O 318 O 319 a a b ha b ha M, DI, B 320 Zwischenstopp: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Parallelogramms. a) a = 14,2 cm; b = 6,8 cm; ha = 5,8 cm b) a = 46,8 m; b = 13 m; ha = 10,5 m O 321 O 322 * ô Die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms A = a · ha wurde umgeformt, damit man die Höhe ha berechnen kann. Kreuze die zwei richtigen Umformungen an. A a = A · ha B ha = A : a C ha = A · a D ha = A _ a Ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von 225 cm2 ist 18 cm lang. Berechne die zugehörige Höhe ha. Berechne die fehlenden Größen des Parallelogramms. a b ha hb u A a) 40 cm 12 cm 140 cm b) 7,5 m 1,2 m 6 m2 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms beträgt 240 cm2. Welche Seitenlängen und zugehörige Höhen sind möglich? Gib drei Beispiele an. Wie verändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms a = 6 cm und ha = 4 cm, wenn a) die Seite a verdoppelt wird, b) die Seite a halbiert und ha verdoppelt wird, c) die Seite a verdreifacht wird, d) die Seite a halbiert und ha verdreifacht wird? Durch eine Wiese wird ein 2,5 m breiter Weg angelegt. Berechne, wie viel Quadratmeter dafür benötigt werden? Das Geländer einer Treppe wird mit Glasscheiben versehen. a) Wie viel Quadratmeter Glas braucht man für acht solcher Scheiben (ohne Verschnitt)? b) Was kosten die Glaseinsätze, wenn für 1 m2 49,90 € verrechnet werden? Die Skizze zeigt die Bodenfläche eines Schulhofes. a) Zeichne diese Fläche im Maßstab 1 : 1 000. b) Berechne den Flächeninhalt. O 323 O 324 Höhe berechnen: A = a · ha | : a A : a = ha ha = A _ a O 325 O 326 M, O 327 O 328 65 m 2,5 m Zwischenstopp: Ein Gartenbeet hat die Form eines Parallelogramms mit a = 8,5 m und b = 6 m. Der Flächeninhalt beträgt 40,8 m2. Berechne die zugehörigen Höhen und den Umfang. O 329 M, O, DI 330 1,20 m 2,25 m 1,80 m 1,20 m O, DI 331 62 m 46 m 24 m 32 m 16 m 54 55 Flächeninhalte von ebenen Figuren Ó Arbeitsblatt f84vq3 Ó GZ-Material f8744d Ó Videoclip d266fs M Arbeitsheft Seite 27 * Informatische Bildung Ó Videoclip d26i2e Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 3. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 220 bis 227 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 240 bis 244 erklärt. Verbinden 3 Winzig klein und riesig groß Im grau unterlegten Feld sind die Maße von kleinen und großen Dingen angegeben. Gib die Maße in Zentimeter an. Bei manchen Angaben kann dir die Tabelle helfen. Schreibe dann die Zahlen mit Hilfe einer Zehnerpotenz und trage sie der Größe nach geordnet in die Graphik ein. Recherchiere zum Thema „Viren“. Gestalte eine Mindmap, indem du erklärst, was Viren sind, wie sie sich vermehren und wie groß sie sind. Gib die Größe von Viren in Millimeter an und schreibe dann als Zehnerpotenz. Nenne zwei bekannte Viruserkrankungen und gib Tipps, wie man sich schützen kann. O, DI 567 T Tera 1012 1 000 000 000 000 Billion G Giga 109 1 000 000 000 Milliarde M Mega 106 1 000 000 Million k Kilo 103 1 000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert dag Deka 101 10 Zehn — — 100 1 Eins d Dezi 10–1 0,1 Zehntel c Zenti 10–2 0,01 Hundertstel m Milli 10–3 0,001 Tausendstel µ Mikro 10–6 0,000 001 Millionstel n Nano 10–9 0,000 000 001 Milliardstel p Piko 10–12 0,000 000 000 001 Billionstel EURO 10–12 cm * M 568 Ein Atomkern ist 0,000 01 nm groß. Kleine Viren sind 15 nm groß. Kleinste Bakterien sind 300 nm groß. Feinstaub ist 10 µm groß. Eine Euromünze ist 1,67 mm dick. Der Durchmesser eines Fußballs ist 22 cm. Die Höhe des Schiefen Turms von Pisa ist 55 m. Der Durchmesser der Erde ist 12 756 km. Die Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 149,6 Millionen Kilometer. Die Entfernung zum nächsten Fixstern (Alpha Centauri) beträgt 41,63 Billionen km. 90 * Gesundheitsförderung Flächeninhalte von ebenen Figuren Überprüfen Überprüfen 2 Das kann ich! Ich kann den Umfang geometrischer Figuren berechnen. Kreuze die beiden Formeln an, die nicht verwendet werden können, um den Umfang eines Vielecks zu berechnen. A u=4·a B u = 2 · (a – b) C u = a + c · h _ 2 D u = 2 · (a + b) E u = a + b + c + d Ein rechteckiger Acker hat einen Umfang von 492 m. Die Breite beträgt 114,5 m. Wie lang ist der Acker? Ich kann den Flächeninhalt geometrischer Figuren berechnen. Ordne die Formeln für den Flächeninhalt den richtigen Figuren zu. Berechne den Flächeninhalt der gegebenen Figur. a) Rechteck: a = 12,8 m; b = 9,4 m; A = b) Quadrat: a = 6,4 cm; A = c) Raute: a = 4,25 cm; h = 3,2 cm; A = d) Deltoid: e = 75 mm; f = 56 mm; A = Ein rautenförmiger Spiegel hat einen Flächeninhalt von 12,54 dm2. Die Seite ist 38 cm lang. Wie hoch ist der Spiegel? Ich kann aus bekannten Formeln gesuchte Größen berechnen. Berechne die gesuchte Größe. a) Rechteck: A = 118,56 m2; a = 15,6 m b = b) Raute: A = 29,24 cm2; a = 4,3 cm h = Berechne die gesuchte Größe. a) Quadrat: u = 6,4 m a = b) Parallelogramm: A = 23,97 cm2; h a = 4,7 cm a = O 401 O 402 O 403 Parallelogramm Quadrat Trapez Deltoid Raute Rechteck A = e · f _ 2 A = (a + c) · h _ 2 A = a · b A = a · a A = b · hb O 404 O 405 O 406 O 407 Berechne die gesuchte Größe. a) Deltoid: A = 1 302 cm2; f = 42 cm e = b) Trapez: A = 23,62 m2; a = 6,5 m; c = 4 m h = Berechne die gesuchte Größe. a) Dreieck: A = 8,64 cm2; h c = 32 mm c = b) Dreieck: A = 448 cm2; c = 28 cm hc = Ich kann ein regelmäßiges Sechseck konstruieren und berechnen. Konstruiere ein regelmäßiges Sechseck mit r = 2,5 cm und berechne den Flächeninhalt (ha = 22 mm). A = Ich kann Vielecke in GeoGebra konstruieren. Konstruiere digital und berechne den Umfang. a) Trapez: a = 6 cm; α = β = 65°; h = 4 cm u = b) Deltoid: A (2 | 4), B (–1 | 2), C (2 | –3), D (5 | 2) u = Konstruiere digital und berechne den Flächeninhalt. Unregelmäßiges Fünfeck: A (4 | 0), B (6 | 2), C (5 | 4), D (0 | 4), E (–3 | 1) A = Ich kann praktische Aufgaben, in denen Vierecke und Vielecke vorkommen, lösen. Aus einer rechteckigen Blechplatte wird eine unregelmäßige Figur herausgeschnitten. Maße in cm Berechne den Flächeninhalt der ausgeschnittenen Figur. A = Wie viel Prozent der Fläche fällt weg? Berechne Flächeninhalt und Umfang der zusammengesetzten Figur. In welche Flächen kannst du die Figur sinnvoll zerlegen? Wie viel Prozent der Gesamtfläche macht das innere graue Rechteck aus? O 408 O 409 O 410 O 411 * ô O 412 * ô 26 22 65 34 22 11 22 26 O, DI 413 7,4 cm 4,0 cm 3,9 cm 3,6 cm 3,6 cm 5,2 cm 5,2 cm 4 cm O, DI 414 68 69 * Informatische Bildung M Arbeitsheft Seite 33–34 Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Zusammenfassen Zusammenfassung Direkt proportionale Zuordnungen • Zuordnungen sind direkt proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, Halben, … einer Größe (x) das Doppelte, Dreifache, Halbe, … einer anderen Größe (y) zugeordnet wird. • Der Quotient der Wertepaare heißt Proportionalitätsfaktor. • Die graphische Darstellung ist ein Strahl. Indirekt proportionale Zuordnungen • Zuordnungen sind indirekt proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, … einer Größe (x) die Hälfte, ein Drittel, … einer anderen Größe (y) zugeordnet wird. • Das Produkt der Wertepaare ist immer gleich. • Die graphische Darstellung ist eine Kurve. Lineare Wachstumsprozesse • Nimmt eine bestimmte Größe in gleich großen Abständen um den gleichen Wert zu, spricht man von einem linearen Wachstumsprozess. • Die graphische Darstellung ist ein gleichmäßig ansteigender Strahl. Lineare Abnahmeprozesse • Nimmt eine bestimmte Größe in gleich großen Abständen um den gleichen Wert ab, spricht man von einem linearen Abnahmeprozess. • Die graphische Darstellung ist ein gleichmäßig fallender Strahl. Anzahl Kosten Quotient: Preis pro Anzahl 3 12 ₣ 12 ₣ : 3 = 4 ₣ 6 24 ₣ 24 ₣ : 6 = 4 ₣ Verdoppelt sich die Anzahl, verdoppelt sich der Preis. · 2 · 2 0 1 4 3 2 5 6 Kosten in 24 18 12 6 Anzahl Anzahl Maschinen Arbeitszeit Produkt: gesamte Arbeitszeit 3 8 h 3 · 8 h = 24 h 6 4 h 6 · 4 h = 24 h Verdoppelt sich die Anzahl, halbiert sich die Zeit. · 2 : 2 0 1 4 3 2 5 6 24 16 8 Anzahl Zeit In einem Becken befinden sich zu Beginn 200 Liter Wasser. In jeder Stunde fließen 50 Liter zu. 0 1 2 3 4 5 h 450 350 250 150 50 l Von 3 Tonnen Sand wird jeden Tag eine halbe Tonne abtransportiert. 0 1 2 3 4 5 6 d 2 4 t 147 Zuordnungen, Wachstums- und Abnahmeprozesse 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin bzw. dein Lehrer passgenaue Verweise auf digitale Zusatzmaterialien. Android iOS QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der AppMedienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Die Aufgaben auf einen Blick Aufgaben mit diesem Zeichen helfen dir, Fachwissen zu erwerben und Grundfertigkeiten zu erlernen. Bei diesen Aufgaben kannst du dein erworbenes Fachwissen und deine erlernten Grundfertigkeiten anwenden. Diese Aufgaben gehen über die Grundfertigkeiten hinaus. Dabei kann es notwendig sein, dass du zusätzliche Informationen benötigst, wie z.B. aus dem Internet. Diese Aufgaben sind für eine Gruppenarbeit geeignet. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben bearbeitest du mit einem digitalen Gerät. C B ô Kompetenzmodell Kompetenzbereiche Prozesse Zahlen und Maße M: Modellieren und Problemlösen Variablen und Funktionen O: Operieren (Rechnen und Konstruieren) Figuren und Körper DI: Darstellen und Interpretieren Daten und Zufall B: Vermuten und Begründen Die Kompetenzbereiche werden im Inhaltsverzeichnis den Abschnitten bzw. den Kapiteln zugeordnet. Die Abkürzungen für die Prozesse befinden sich direkt unter der Aufgabennummer. Mit den übergreifenden Themen wird vernetztes Lernen über die fachspezifischen Grenzen hinaus unterstützt. Dazu zählen Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Entrepreneurship Education, Gesundheitsförderung, Informatische Bildung, Interkulturelle Bildung, Medienbildung, Politische Bildung, Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, Sexualpädagogik, Sprachliche Bildung und Lesen, Umweltbildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung sowie Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung. Ein * bei der Aufgabennummer verweist in der Fußzeile auf das entsprechende Thema. www.oebv.at Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt 39a8z7 Online-Code 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Basiswissen 1. und 2. Klasse − Rechnen 10 2 Basiswissen 1. und 2. Klasse − Geometrie 13 3 Basiswissen 1. und 2. Klasse − GeoGebra 16 Das kann ich! 18 4 Ganze Zahlen 22 5 Rationale Zahlen 24 6 Rationale Zahlen vergleichen und ordnen 26 7 Zunahme und Abnahme 28 8 Rationale Zahlen im Koordinatensystem 30 9 Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen 32 10 Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen 34 11 Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen 36 12 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen 38 13 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 40 14 Textaufgaben 42 15 Taschenrechner 44 Thema: Temperatur 46 Zusammenfassung 47 Das kann ich! 48 16 Rechteck und Quadrat 52 17 Parallelogramm 54 18 Raute 56 19 Deltoid 58 20 Trapez 60 21 Dreieck 62 22 Vieleck 64 Thema: Gestaltung eines Spielplatzes 66 Zusammenfassung 67 Das kann ich! 68 Einführung 8 1 Rationale Zahlen 20 2 Flächeninhalte von ebenen Figuren 50 Inhalt Zentrales fachliches Konzept Zahlen und Maße Figuren und Körper Zahlen und Maße Figuren und Körper 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 23 Variablen und Terme 72 24 Addieren und Subtrahieren von Termen 74 25 Multiplizieren und Dividieren von Monomen 76 26 Terme multiplizieren und faktorisieren 78 27 Potenzen 80 28 Zehnerpotenzen 82 29 Rechnen mit Potenzen 84 30 Multiplizieren von Binomen 86 31 Binomische Formeln 88 Thema: Winzig klein und riesig groß 90 Zusammenfassung 91 Das kann ich! 92 32 Lösen von Gleichungen 96 33 Formeln 98 34 Textgleichungen 100 35 Textgleichungen aus der Geometrie 102 36 Bewegungsaufgaben 104 Thema: Formeln aus der Fahrschule 106 Zusammenfassung 107 Das kann ich! 108 37 Verhältnisse 112 38 Verhältnisgleichungen 114 39 Ähnliche Figuren 116 40 Zentrische Streckung 118 41 Konstruieren in der Grafik-Ansicht mit GeoGebra 120 42 Strahlensätze 122 43 Anwendungsaufgaben 124 Thema: Der Jakobsstab 126 Zusammenfassung 127 Das kann ich! 128 Variablen, Terme, Potenzen 70 3 4 Gleichungen und Formeln 94 Ähnliche Figuren und Strahlensätze 110 5 Variablen und Funktionen Variablen und Funktionen Figuren und Körper 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
44 Sachaufgaben und Projekte mit Excel 132 45 Direkt proportionale Zuordnungen 134 46 Indirekt proportionale Zuordnungen 136 47 Unterschiedliche Formeln einsetzen 138 48 Lineare Wachstumsprozesse 140 49 Lineare Abnahmeprozesse 142 50 Kalkulationen mit verschiedenen Programmen 144 Thema: Das Geld liegt auf der Straße 146 Zusammenfassung 147 Das kann ich! 148 51 Würfel und Quader 152 52 Eigenschaften von Prismen 154 53 Schrägrisse von Prismen 156 54 Grund-, Auf- und Kreuzriss 158 55 Oberflächen von Prismen 160 56 Volumen von Prismen 162 57 Pyramiden 164 58 Oberflächen von Pyramiden 166 59 Volumen von Pyramiden 168 60 Anwendungsaufgaben 170 61 Konstruieren in der 3D-Grafik-Ansicht mit GeoGebra 172 62 Tinkercad 174 Thema: Platonische Körper 176 Zusammenfassung 177 Das kann ich! 178 63 Grundbegriffe der Prozentrechnung 182 64 Anwendungen der Prozentrechnung 184 65 Rabatt, Skonto, Umsatzsteuer 186 66 Kontoführung und Umgang mit Geld 188 67 Grundbegriffe der Zinsenrechnung 190 68 Zinsen für Teile eines Jahres 192 69 Zinseszinsen 194 Thema: Promille 196 Zusammenfassung 197 Das kann ich! 198 6 Zuordnungen, Wachstums- und Abnahmeprozesse 130 7 Prismen und Pyramiden 150 Prozent- und Zinsenrechnung 180 8 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Zahlen und Maße 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 70 Grundbegriffe der Statistik 202 71 Daten interpretieren 204 72 Darstellen von Häufigkeiten 206 73 Mit Daten informieren und täuschen 208 74 Zusammenhänge bei statistischen Daten 210 75 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten 212 76 Zufallsexperimente 214 Thema: Fußballfieber 216 Zusammenfassung 217 Das kann ich! 218 Kompetenzcheck für die 3. Klasse 220 Lösungen 228 Glossar 240 Formelsammlung 245 Register 248 Faltmodell eines Prismas (Quader) Anhang Faltmodell einer Pyramide Anhang 9 Daten und Zufall 200 Daten und Zufall 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Einführung Vernetzte Welt − Mathematik und Smartphone Aus der Geschichte des Mobiltelefons Davids Großmutter erzählt, dass ihr erstes Handy, das sie 1995 bekam, damals das neueste war. Es konnte bereits Kurznachrichten (SMS) senden und empfangen. David bekam sein erstes Handy rund 20 Jahre später. Es hatte bereits einen Touchscreen und eine integrierte Kamera. Recherchiere im Internet. Verbinde die Aussagen mit der richtigen Jahreszahl und ordne sie chronologisch. Das Lösungswort bezeichnet Personen, die häufig Inhalte (Texte, Bilder, Videos) in Blogs und sozialen Netzwerken veröffentlichen und damit Produkte oder Lebensstile bewerben. Lösungswort: 1 Das erste Smartphone wurde in Las Vegas vorgestellt. 2 Das erste Handy mit einem Farbdisplay gab es . 3 Die Geburtsstunde des iPhones ist . 4 Das erste Handy mit integrierter Kamera, die Videos aufnehmen und wiedergeben konnte, gab es . 5 Das erste WAP-Handy gab es . Mit diesem konnte man sich Internetseiten in vereinfachter Form darstellen lassen. 6 Das erste Billig-Handy (Verkaufspreis lag damals zwischen 20 bis 30 Dollar) wurde angeboten. 7 Das erste Handy, das Kurznachrichten (SMS) versenden und empfangen konnte kam in den Handel. 8 Der erste Fingerprintsensor wurde in ein Smartphone eingebaut. 9 Im Jahr gab es das erste Handy mit MP3 Player und Kopfhörern. 10 Im Februar kam das erste faltbare Smartphone auf den Markt. a) Wie sehr lässt du dich durch Inhalte aus sozialen Netzwerken beeinflussen? Kreuze an. Vergleiche und besprich in der Gruppe. sehr oft häufig wenig gar nicht b) Überlegt gemeinsam welche Vorteile und welche Gefahren damit verbunden sind. DI 1 ô N 2005 F 1997 R 2019 U 2000 C 2007 L 1999 E 2018 N 1995 E 2003 I 1992 DI 2 C * 8 * Medienbildung, Entrepreneurship, Lebensorientierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Lisa bekommt ein neues Smartphone. Ihre Eltern lassen sie aus drei verschiedenen Angeboten auswählen. a) Welches Modell würdest du wählen? Begründe deine Entscheidung. A B C Betriebssystem Android 13 Android 12 Android 12 Kamera 48 MP 3fach 50 MP 4fach 48 MP 3fach Speicherkapazität 256 GB 128 GB 128 GB Arbeitsspeicher 12 GB 6 GB 8 GB Preis 379 € 307 € 249 € b) Wofür wird eine hohe Speicherkapazität benötigt? Macht in eurer Klasse eine Umfrage. Was ist beim Kauf eines neuen Handys am wichtigsten? Ergänzt die Tabelle. Jeder darf drei Punkte ankreuzen, die ausschlaggebend sind. Aussehen und Farbe Größe des Displays Marke (Hersteller) Größe des Arbeitsspeichers Speicherkapazität Kamera Preis … a) Berechnet die relative Häufigkeit. b) Stellt das Ergebnis in einem Säulendiagramm dar. Ein Mobiltelefon besteht zu 56 % aus Kunststoff, 25 % Metalle, 16 % Glas und Keramik und zu 3 % aus Sonstigem. a) Stelle die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm dar. b) Berechne die Prozentwerte für ein Handy, das 85 g wiegt. . In einer Tonne „Mobiltelefon“ sind 4 g Platin, 340 g Gold und 3 500 g Silber enthalten. In Europa werden jährlich 100 Millionen alte Mobiltelefone entsorgt. Das entspricht 10 000 t oder 400 LKW-Ladungen. Wie viel Kilogramm Platin, Gold bzw. Silber sind enthalten? Frau Riska kauft ein refurbished Smartphone und bezahlt 419 € statt 799 €. a) Um wie viel Prozent wurde das Gerät verbilligt? b) Welche Gründe sprechen noch für diesen Kauf? B 3 * M, O, DI 4 C M, O 5 M, O 6 * * refurbed: erneuert O, B 7 * * 9 Einführung * Verbraucher/innenbildung ** Umweltbildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 1 Basiswissen 1. und 2. Klasse – Rechnen Wo stehe ich? Ich kann … … Teiler und Vielfache angeben. … die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10 erklären und anwenden. … Primzahlen erkennen. … den ggT zweier Zahlen bestimmen. … das kgV zweier Zahlen bestimmen. … die Rechenregeln anwenden. … Brüche kürzen und erweitern und mit Brüchen rechnen. … ganze Zahlen auf der Zahlengeraden ablesen und vergleichen. … Schlussrechnungen in direkter und indirekter Proportionalität lösen. … Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen. … mit Prozenten rechnen. … Prozentanteile graphisch darstellen. … Daten aus Diagrammen ablesen und richtig interpretieren. Bestimme die Teilermenge. a) T18 b) T53 c) T100 Bestimme die Vielfachen zwischen 0 und 100. a) V7 b) V12 c) V22 Verbinde so, dass eine richtige Aussage entsteht. A Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die 1 Ziffer an der Einerstelle 0 oder 5 ist. B Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die 2 Ziffer an der Einerstelle 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. C Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die 3 Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. D Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern 4 eine durch 4 teilbare Zahl bilden. E Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die 5 Ziffer an der Einerstelle 0 ist. F Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die 6 Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. O 8 O 9 DI 10 10 M Arbeitsheft Seite 4–8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Markiere alle Zahlen, die a) durch 2 teilbar sind: 90, 45, 33, 28, 156, 3 519 b) durch 5 teilbar sind: 254, 170, 65, 558, 1 230, 20 400 c) durch 4 teilbar sind: 364, 266, 824, 2 372, 602, 3 808 d) durch 3 teilbar sind: 313, 39, 412, 664, 1 815, 22 418 e) durch 9 teilbar sind: 69, 909, 2 972, 13 450, 891, 17 334 Unterstreiche die Primzahlen. a) 1, 11, 21, 31, 41 b) 3, 13, 23, 33, 43 c) 7, 17, 27, 37, 47 d) 9, 19, 29, 39, 49 e) 51, 63, 67, 71, 83 f) 53, 61, 69, 91, 97 Zerlege die folgenden Zahlen a) 3 780 b) 14 322 in ihre Primfaktoren. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 48 und 72. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 6 und 8. Leonie hat 24 blaue, 40 gelbe und 72 rote Perlen. Sie möchte ein Armband mit einem regelmäßigen Muster aus allen Perlen knüpfen. Welche Kombination mit der größten Anzahl an verschieden farbigen Perlen ist möglich? Berechne. a) 853 − 69 : 3 + 34 · (42 − 27) − (135 + 65) : 8 b) 3,5 · (11,3 − 6,5) + 4,05 Färbe den angegebenen Bruchteil. a) b) Bringe die Brüche auf den gleichen Nenner. a) 2 _ 3 und 1 _ 5 b) 1 _ 6 und 3 _ 8 Kürze folgende Brüche so weit wie möglich. a) 18 _ 23 b) 9 _ 27 c) 32 _ 48 Berechne. a) 5 _ 6 + 2 _ 9 b) 2 7 _ 8 − 1 3 _ 10 c) 5 _ 12 · 7 _ 9 d) 5 _ 8 : 1 _ 4 Nenne drei Brüche, die größer als 3 _ 8 und kleiner als 2 _ 3 sind. O 11 O 12 O 13 O 14 O 15 O 16 O 17 DI 18 _3 4 _2 5 _5 8 _3 4 _2 5 _5 8 O 19 O 20 O 21 2 1 _ 2 (M); 1 23 _ 40 (A) 1 1 _ 18 (R); 35 _ 108 (U) Lösungswort: O, DI 22 11 Einführung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Beachte die Vorrangregeln. a) 0,63 · (3 − 1 5 _ 8 ) : (2 4 _ 7 : 3 3 _ 14 − 0,3) b) (0,3 + 1 1 _ 3 ) : (0,8 − 1 _ 2 ) · ( 5 _ 9 + 0,2) Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden markiert? Setze das Zeichen (< oder >) ein. a) –18 +17 b) – 250 +46 c) –72 –75 d) –435 –543 David legt mit seinem Fahrrad eine 60 km lange Strecke in 3 3 _ 4 Stunden zurück. Welchen Weg legt er in einer Stunde zurück? Ein Bauunternehmer lässt die 360 m3 Bodenaushub eines Neubaus von LKWs mit 12,5 m3Fassungsvermögen abtransportieren. a) Wie oft muss ein LKW fahren? b) Wie oft müssen 5 LKWs fahren? c) Der Bauunternehmer möchte an einem Tag fertig sein. Wie viele LKWs muss er einsetzen, wenn jeder nur 10-mal fahren soll? Bestimme den Wert der Variablen und mache die Probe durch Einsetzen. a) 5 ∙ y + 7 = 22 b) 3 ∙ a – 9 = 21 c) 46 = 11 ∙ x + 13 Frau Anzengruber bietet Freilandeier um 32 c und Eier aus Bodenhaltung um 25 c pro Stück an. An einem Tag hat sie für insgesamt 2 400 verkaufte Eier 729,50 € eingenommen. Wie viele Eier jeder Sorte hat sie verkauft? Ein Autohändler verkauft einen Neuwagen um 26 500 €. Der Käufer muss noch 20 % Umsatzsteuer bezahlen. a) Berechne den Bruttopreis, den der Käufer bezahlen muss. b) Der Autohändler verdient 3 180 €. Wie viel Prozent des Nettopreises sind das? Der Physiktest der 2b-Klasse ist folgendermaßen ausgefallen. Note 1 2 3 4 5 a) Berechne die prozentuelle Häufigkeit jeder Note. b) Zeichne einen Prozentkreis. c) Ist der Test gut ausgefallen? Begründe deine Meinung. Anzahl 1 3 10 8 3 O 23 DI 24 −2 0 +2 −150 +250 0 A B C C D A B a) b) O 25 O 26 M, O 27 O 28 M, O 29 M, O 30 M, O, DI, B 31 12 M Arbeitsheft Seite 4–8 Ó GZ-Material f596cu Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 2 Basiswissen 1. und 2. Klasse – Geometrie Wo stehe ich? Ich kann … … im kartesischen Koordinatensystem Punkte einzeichnen und ablesen. … in Figuren Symmetrieachsen erkennen und einzeichnen. … die Strecken- und Winkelsymmetrale konstruieren. … Winkel messen und zeichnen. … Dreiecksarten unterscheiden. … Dreiecke und deren Umkreise und Inkreise konstruieren. … den Flächeninhalt rechtwinkliger Dreiecke berechnen. … Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez und Deltoid konstruieren. … Netze von Quader und Würfel zeichnen. … Quader und Würfel im Schrägriss zeichnen. … den Oberflächeninhalt und das Volumen von Quader und Würfel berechnen. Schreibe die Koordinaten der abgebildeten Punkte auf. Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie nach dem Alphabet. a) A (1 | 1), B (1 | 5), C (3 | 3), D (5 | 5), E (5 | 1) b) A (3 | 5), B (0 | 3), C (3 | 0), D (6 | 3) Zeichne ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm). Welches Viereck entsteht? Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. a) A (2 | 4), C (6 | 6), D (2 | 9) b) B (0 | 2), C (–2 | 0), D (–1 | –3) c) A (4 | 0), B (8 | 4), M (5 | 3) DI 32 A D C B –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y a) b) x 1 2 3 4 C D B A 0 1 y x 1 O 33 O, DI 34 13 Einführung M Arbeitsheft Seite 9–11 Ó GZ-Material f5cu6b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen a) Zeichne alle Symmetrieachsen ein. b) Ergänze zu einer achsensymmetrischen Figur. Konstruiere zur Strecke _AB= 8,6 cm die Streckensymmetrale. Zeichne folgende Winkel und gib die Art des Winkels an. a) α = 35° b) β = 140° c) γ = 225° d) δ = 345° e) ε = 180° Konstruiere die Winkelsymmetrale zu allen spitzen und stumpfen Winkeln aus Aufg. 37. Miss die Innenwinkel der Figur und berechne die dazugehörigen Außenwinkel. Dreiecke können nach Seiten oder nach Winkeln eingeteilt werden. Benenne sie nach diesen Eigenschaften. Konstruiere die Dreiecke. a) c = 6 cm, b = 4 cm, a = 3 cm b) c = 32 mm, a = 72 mm, α = 50° c) c = 5,5 cm, α = 70°, b = 3,5 cm d) c = 4,5 cm, α = 40°, β = 65° Zeichne in die Dreiecke von Aufg. 41 jeweils die drei Höhen ein und ermittle den Höhenschnittpunkt H. O 35 O 36 O, DI 37 O 38 O 39 g a b d « a' g' b' d' «' DI 40 A B C D O 41 O 42 C g a b A B c a b 14 M Arbeitsheft Seite 9–11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Zeichne in ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm ) die Punkte A(1|2), B(7|2), C(4|6) ein und verbinde sie zu einem Dreieck. Zeichne alle drei Höhen ein und ermittle den Höhenschnittpunkt H. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. a) gleichschenkliges Dreieck: a = 6,2 m; c = 4,7 m; hc = 5,7 m b) gleichseitiges Dreieck: a = 14 mm; h = 12 mm Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit der Kathete a = 4 cm und der Hypothenuse c = 5 cm. Nimm den Satz von Thales zu Hilfe. a) Wie lang ist die Kathete b? b) Berechne den Flächeninhalt. Welche Eigenschaft trifft auf jeden Fall auf die Figur zu? Rechteck Raute Trapez Deltoid vier gleich lange Seiten Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. zwei ungleich lange parallele Seiten Je zwei Seiten sind gleich lang, aber nicht parallel. Diese Figur besitzt einen Inkreis. Konstruiere folgende Vierecke und beschrifte sie. Kontrolliere mit Hilfe der Formelsammlung auf Seite 246. a) Parallelogramm: a = 4,5 cm; b = 3 cm; α = 65° b) Raute: a = 3,5 cm; β = 70° c) Trapez: a = 7 cm; b = 3,8 cm; α = 55°; β = 35° d) Deltoid: a = 4,2 cm; b = 6,4 cm; e = 8 cm Berechne den Umfang und den Flächeninhalt folgender Figuren. Verwende dafür die Formelsammlung am Buchende. a) Parallelogramm: a = 7,2 cm; b = 3,4 cm; ha = 2,9 cm b) Raute: a = 7,5 cm; h = 5 cm c) Trapez: a = 7 cm; b = 3,3 cm; c = 4 cm; d = 3,4 cm; h = 3 cm d) Deltoid: a = 20 cm; b = 27 cm; e = 36 cm; f = 30 cm Konstruiere das Netzt des Würfels mit a = 3,5 cm. Berechne die Oberfläche. Zeichne den Schrägriss des Quaders mit a = 5 cm; b = 3 cm; h = 6,5 cm; α = 45°; v = 1 _ 2 . Berechne das Volumen. Verändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die Seite a halbiert, die Seite b verdoppelt und die Höhe h gleich lässt? Zeige anhand eines Beispieles. O 43 O 44 C A c B a a O 45 DI 46 O 47 O 48 O 49 O 50 O 51 15 Einführung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 3 Basiswissen 1. und 2. Klasse – GeoGebra a) Erkläre, wie man auf Papier den Punkt P (7| 5) im Koordinatensystem einzeichnet. b) Erkläre wie man den Punkt P (7| 5) in GeoGebra einzeichnet. c) Was musst du jeweils vorher vorbereiten oder beachten? Welche zwei Varianten von GeoGebra werden hier gezeigt? Welche verwendest du? 1. 2. Erkläre folgende Icons: a) b) c) d) a) Konstruiere eine Gerade durch die Punkte A (1 |1), B (5 | –3). b) Konstruiere einen Strahl, der bei A (3 | 2) beginnt und durch B (–1 | –3) geht. c) Konstruiere eine Strecke mit dem Anfangspunkt A (2 | 3) und dem Endpunkt B (–5 | 0). d) Erkläre in eigenen Worten den Unterschied zwischen diesen drei Konstruktionen. Konstruiere folgende Vierecke. Nutze dafür das Werkzeug „Punkt“ und anschließend das Werkzeug „Vieleck“. Gib an, welches besondere Viereck entstanden ist. a) A (0 |0), B (5 |0), C (7 |4), D (2 |4) b) A (0 |4), B (–3 |0), C (0 |–2), D (3 |0) c) A (–2 |–1), B (2 |–2), C (1 |2), D (–3 |3) d) A (1 |–2), B (7 |0), C (6 |3), D (0 |1) Konstruiere folgende Vierecke und gib den fehlenden Punkt an. a) Quadrat: A (1 | 1), B (–4 | 0), C (–3 | –5), D? b) Deltoid: A (–2 | 4), B (–2 | 0), C (4 | –2), D? ô 52 * 53 ô * 54 ô * ô 55 * 56 ô * 57 ô * 16 * Informatische Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Konstruiere eine Streckensymmetrale. a) Konstruiere eine Strecke f mit dem Werkzeug „Strecke“ von Punkt A (–1 | –2) bis B (8 | 2). b) Wähle das Werkzeug „Streckensymmetrale“ und klicke anschließend auf die konstruierte Strecke. GeoGebra fügt automatisch die Streckensymmetrale ein. Konstruiere eine Winkelsymmetrale. a) Konstruiere einen Strahl f mit dem Werkzeug „Strahl“ von A (0 | 0) über B (5 | –1). b) Klicke mit dem Werkzeug „Winkel mit fester Größe“ auf den Punkt B (5 | –1) und anschließend auf A (0 | 0). Tippe 35° ein, klicke auf „Gegen den Uhrzeigersinn“ und bestätige mit „OK“. Zeichne einen Strahl von A über B'. c) Wähle das Werkzeug „Winkelsymmetrale“ und klicke nacheinander auf die beiden Schenkel des Winkels. GeoGebra fügt automatisch die Winkelsymmetrale ein. Wiederhole mit einer neuen Zeichnung alle Schritte von Aufg. 59. Klicke aber bei b) im Fenster „Winkel mit fester Größe“ auf „Im Uhrzeigersinn“. Was hat sich geändert? Konstruiere das Dreieck nach dem SSS-Satz: a = 6,5 cm; b = 3,8 cm; c = 7,7 cm. a) Zeichne die Seite c. Nutze dafür das Werkzeug „Strecke mit fester Länge“, klicke auf die Koordinate (0 | 0) und gib 7,7 ein. Du hast nun Eckpunkt A und B konstruiert. Was passiert, wenn du im Fenster auch die Einheit „cm“ einträgst? b) Wähle das Werkzeug „Kreis mit MP und Radius“, klicke auf den Eckpunkt A und gib die Länge der Seite b ein. c) Wähle nochmals das Werkzeug „Kreis mit MP und Radius“, klicke auf den Eckpunkt B und gib die Länge der Seite a ein. d) Markiere den Schnittpunkt der beiden Kreise. Was hast du damit konstruiert? e) Wähle das Werkzeug „Vieleck“ und verbinde die drei Eckpunkte. f) Wähle das Werkzeug „Bewegen“ und klicke links im Algebrafenster auf den farbigen Punkt links vom Kreis, um das Objekt unsichtbar zu machen. g) Kontrolliere, ob die Eckpunkte und die Seiten richtig beschriftet sind. Wenn nicht, benenne sie um. Erkläre, wie du dabei vorgehst. Konstruiere das Dreieck nach dem SWS-Satz: b = 4,8 cm; c = 5,9 cm; α = 50°. a) Zeichne die Seite c wie in Aufg. 61. b) Zeichne vom Eckpunkt A den Winkel α (wie in Aufg. 59b). c) Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt A und nimm als Radius die Länge der Seite b. Was ergibt der Schnittpunkt des Kreises mit dem Strahl AB‘? d) Konstruiere das Dreieck mit dem Werkzeug „Vieleck“. Achte auf die richtige Beschriftung. Alle Hilfskonstruktionen können unsichtbar gemacht werden. 58 ô * 59 ô * 60 ô * ô 61 * 62 ô * 17 Einführung * Informatische Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Überprüfen Das kann ich! Ich kann die Teilbarkeitsregeln anwenden. Kreuze an. 48 55 70 135 477 620 862 1 728 3 412 5 300 teilbar durch 4 teilbar durch 5 teilbar durch 9 Ich kann Primzahlen erkennen. Welche Zahl ist keine Primzahl? Kreuze an. A 23 B 73 C 87 D 97 Ich kann den ggT und das kgV von zwei Zahlen bestimmen. a) ggT (36, 60) b) ggT (558, 930) a) kgV (10, 16) b) kgV (252, 378) Ich kann mit Brüchen rechnen und die Rechenregeln anwenden. a) 1 _ 3 + 2 _ 7 b) 3 _ 4 − 1 _ 3 c) 4 1 _ 4 + 1 1 _ 6 d) 2 1 _ 3 − 1 5 _ 6 a) 2 _ 11 · 22 _ 4 b) 2 _ 5 : 3 _ 4 c) 3 1 _ 8 · 2 2 _ 3 d) 2 5 _ 8 : 1 1 _ 6 Berechne. a) (1 3 _ 4 + 7 _ 8 ) · 1 _ 2 b) 7 _ 10 − 2 _ 4 : 3 _ 4 c) Erkläre, wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Ich kann ganze Zahlen auf der Zahlengeraden ablesen. Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden markiert? DI 63 O 64 O 65 O 66 O 67 O 68 O 69 * −30 +50 0 C D A B DI 70 18 * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Überprüfen Ich kann Gleichungen lösen. Bestimme x. 3 ∙ x + 7 = 13 Ich kann Schlussrechnungen in direkter und indirekter Proportionalität lösen. 2 kg Wurst kosten 15 €. Wie viel kosten 10 dag, 25 dag, 80 dag, 1,5 kg? Erstelle eine Tabelle und den dazugehörigen Graphen. a) Ein LKW fährt durchschnittlich 70 km/h. Er braucht für eine bestimmte Strecke 1,5 Stunden. Wie lang ist die zurückgelegte Strecke? b) Wie lange braucht ein PKW für dieselbe Strecke, wenn dieser um 50 km/h schneller unterwegs ist? Ich kann mit Prozenten rechnen. a) Berechne den Bruttopreis inkl. 20 % USt., wenn der Nettopreis 200 ¤ beträgt. b) Von 25 Kindern durften 22 Kinder am Ausflug teilnehmen. Wie viel Prozent sind das? Ich kann Dreiecksarten unterscheiden und Dreiecke konstruieren und berechnen. Konstruiere das Dreieck: c = 4,6 cm, α = β = 45°. Welche Art von Dreieck ist das? Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks aus Aufg. 75. Entnimm fehlende Größen der Zeichnung. Ich kann Parallelogramm, Raute, Trapez und Deltoid konstruieren und berechnen. Konstruiere das gegebene Viereck, entnimm fehlende Größen und berechne den Flächeninhalt. a) Raute: e = 38 mm, f = 5 cm b) Deltoid: a = 54 mm, b = 38 mm, e = 48 mm Konstruiere das gegebene Viereck, entnimm fehlende Größen und berechne den Umfang. a) Trapez: a = 62 mm, b = d = 38 mm, α = 65° b) Parallelogramm: a = 6 cm, b = 4 cm, α = 72° Ich kann Prismen zeichnen und deren Oberfläche und Volumen berechnen. Zeichne das quadratische Prisma mit a = 3 cm und h = 4 cm im Schrägriss (α = 45°, v = 1 _ 2 ). Berechne die Oberfläche und das Volumen. O 71 O 72 O 73 O 74 O, DI 75 O, DI 76 O, DI 77 O, DI 78 O 79 19 Ó GZ-Material f5e5uf Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Wo stehe ich? Ich kann … … mich auf der Zahlengeraden orientieren. … natürliche und ganze Zahlen vergleichen und ordnen. … ganze Zahlen in Alltagssituationen interpretieren. … Punkte im Koordinatensystem darstellen und ablesen. … mit Brüchen und Dezimalzahlen rechnen. … ganze Zahlen mit natürlichen Zahlen addieren und subtrahieren. 1 Rationale Zahlen Überprüfe deine Einschätzung! Benenne die dargestellten Zahlen. A B C Vergleiche die Zahlen und setze das richtige Zeichen (< oder >) ein. a) +23 +12 b) –12 – 13 c) –9 +9 d) +24 –25 Larissa hat 15 € und leiht sich 20 €, um einen Badeanzug um zu kaufen. Ihr Bruder lacht und sagt: „Es hat –4 °C und morgen soll es noch um 5° kälter werden. Wer braucht bei °C einen Badeanzug?“ a) Gib die Koordinaten der Punkte A, B und C an. A ( | ) B ( | ) C ( | ) b) Zeichne den Punkt D (2 | 0) in das Koordinatensystem ein. Berechne und gib das Ergebnis an. a) 45,9 + 19,23 b) 84,2 – 21 c) 6,43 · 2,7 d) 39,6 : 8,25 Berechne. a) 3 _ 4 + 7 _ 8 b) 1 13 _ 18 − 5 _ 6 c) 1 1 _ 9 ∙ 3 _ 10 d) 2 3 _ 4 : 1 3 _ 8 Kreuze das richtige Ergebnis an. A 8 – 11 = 3 B 14 – 24 = –10 C –5 – 11 = –6 D –3 + 21 = 24 10 0 A B C DI 80 O 81 O, DI 82 O, DI 83 A C B –4–3–2–1 0 1 2 y x 1 2 3 4 5 O 84 O 85 O 86 20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Das lerne ich: Wie man ganze Zahlen erkennen, deuten, darstellen und ordnen kann. Wie man rationale Zahlen erkennen, darstellen und ordnen kann. Wie man ganze Zahlen und rationale Zahlen vergleichen und ordnen kann. Wie man mit ganzen Zahlen und rationalen Zahlen rechnen kann. Wie man die Vorrangregeln bei ganzen und rationalen Zahlen anwendet. Wie man Textaufgaben mit ganzen und rationalen Zahlen lösen kann. Wie man den Taschenrechner sinnvoll einsetzen kann. Verantwortungsvoll mit Geld umgehen Luca hat zu seinem Geburtstag von seinen Eltern 65 € und von seiner Oma 35 € erhalten. Wie viel Euro muss er schon gehabt haben, wenn er sich Sportschuhe um 139 € kauft? Herr Lutz hat 290 € am Konto. Nun will er mit seinen Freunden nach Kroatien reisen. Er rechnet mit 410 € für den Urlaub. a) Wie viel Schulden muss er für den Urlaub machen? b) Ist es sinnvoll, für den Urlaub Schulden zu machen? Begründe deine Meinung. Lisa hat ein Jugendkonto. Ihre Eltern überweisen ihr jede Woche 21 €. a) Wie viel bekommt sie in einem Jahr überwiesen? b) Wie viel hat sie am Konto, wenn sie 69 € im Minus war und nun wieder eine Überweisung erhält? Danielas Schwester hat sich ein Moped gekauft. Ihr Vater sagt: „Du musst sparen. Du bist nun in den roten Zahlen.“ Was meint er mit der Aussage „in den roten Zahlen sein“? Julian erhält im ersten Lehrjahr ein Lehrlingseinkommen von 675 € brutto pro Monat. a) Mit welchen Abzügen und Ausgaben muss er rechnen? Erstelle eine Liste und schätze ab, wie viel Geld dafür jeweils gebraucht wird. Gib die Liste in eine Tabellenkalkulation ein, dann kannst du dir die Summe gleich berechnen lassen. b) Er hätte gerne eine eigene Wohnung. Ist das finanzierbar? Begründe deine Meinung. c) Recherchiere die Lehrlingsentschädigung im ersten Lehrjahr für fünf verschiedene Berufe. O 87 O, DI 88 * O 89 M 90 * Lehrlingseinkommen: Einkommen des Lehrlings. Die Höhe ist gesetzlich geregelt (Kollektivvertrag) und nach Lehrjahren gestaffelt. B 91 * * Aus der Geschichte: Kaufmännisches Rechnen entstand, als sich die Wirtschaft vom Warentausch zum Geldverkehr veränderte. Da Italien zu dieser Zeit ein wichtiger Umschlagplatz für Waren war, stammten viele Begriffe aus dem Italienischen und haben sich teilweise bis heute gehalten. Das Wort „Konto“ bedeutet „Rechnung“ und umfasst heute die Buchungen im Zahlungsverkehr der Bank. 21 Rationale Zahlen * Verbraucher/innenbildung ** Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Lernen 4 Ganze Zahlen a) Peter steigt im Erdgeschoß in den Aufzug. Er fährt zwei Stockwerke hinunter. In welchem Stockwerk steigt er aus? b) Yvonne steigt im ersten Untergeschoß ein und fährt drei Stockwerke hinauf. In welchem Stockwerk steigt sie aus? Schreibe diese Alltagsangaben mit dem richtigen Vorzeichen an. a) Guthaben von 54 € b) 8 °C unter Null c) 32 € Schulden d) 1. Untergeschoß Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden markiert? Lies die Temperatur auf dem Thermometer ab. Zeichne eine Zahlengerade und markiere die Zahlen –3, –10, +2 und +4. M, O 92 Positive Zahlen sind größer als Null und haben das Vorzeichen +. Das Plus muss nicht geschrieben werden (+5 = 5). Negative Zahlen sind kleiner als Null und haben das Vorzeichen –. Das Minus muss geschrieben werden (–5). Zu den ganzen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, die Null und die ganzzahligen negativen Zahlen (z. B.: +4, +9, 0, –2, –19 …). Die Menge der ganzen Zahlen wird mit ℤ bezeichnet. Ganze Zahlen sind Punkte auf der Zahlengeraden. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand zum Nullpunkt. z. B.: |–5| = 5 oder |+4| = 4 Die Gegenzahl ist eine Zahl mit gleichem Betrag, aber unterschiedlichem Vorzeichen. z. B.: –3 ist die Gegenzahl von +3 –5 –4 negative ganze Zahlen (ℤ–) Null positive ganze Zahlen (ℤ+) –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 O 93 DI 94 5 0 0 –15 A B C D A B C a) b) DI 95 0 −5 −10 −15 0 5 10 15 0 −5 −10 −15 0 5 10 15 0 −5 −10 −15 0 5 10 15 0 −5 −10 −15 0 5 10 15 °C °C °C °C a) b) d) c) O, DI 96 Zwischenstopp: Markiere die ganzen Zahlen –14, –8, –3, +4 und +8 auf der Zahlengeraden. O, DI 97 0 –10 22 M Arbeitsheft Seite 12 Ó Videoclip cv64tp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Erik sonnt sich gern. So legt er sich bei (1) °C in die Sonne. Sein Bruder David geht bei (2) °C immer noch mit kurzen Shorts ins Freie. Ihre Tante schimpft mit ihnen: „Ihr riskiert eure Gesundheit!“ a) Ergänze den Lückentext. b) Was könnte die Tante meinen? Kreuze die richtigen Aussagen an. A –3 ∈ ℤ B –3 ∈ ℕ C 5 ∈ ℤ D –5,2 ∈ ℤ Vorgänger und Nachfolger der ganzen Zahlen Erkläre vor dem Bearbeiten mit eigenen Worten, wie du beim Lösen der Aufgabe vorgehst. a) Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl –23 an. b) –19 ist der Vorgänger welcher Zahl? Gib auch den Nachfolger an. c) –45 ist der Nachfolger welcher Zahl? Gib auch den Vorgänger an. Die ganze Welt ist in 24 Zeitzonen unterteilt. Arbeite mit einer Zeitzonenkarte (im Internet oder mit Hilfe des Atlas) und beantworte folgende Fragen. a) Wenn es in Österreich 14 Uhr ist, wie spät ist es dann in Moskau? b) Iris fliegt in Wien um 09:00 Uhr ab und landet um 12:30 Uhr Ortszeit in New York. Wie lange hat der Flug gedauert? c) Tarek möchte um 19:00 Uhr mit seiner Freundin Amelia in Australien chatten. Was sollte Tarek beachten? Thomas ist krank und Tabea erklärt ihm: „Der Betrag einer Zahl ist der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt.“ Schreibe mit Hilfe der Zeichnung auf, von welchen zwei Zahlen der Betrag 5 ist. Schreibe die ganzen Zahlen an, die folgende Eigenschaft erfüllen. a) Betrag von a < 2 b) Betrag von a < 4 Gib die kleinsten drei ganzen Zahlen an, deren Gegenzahl kleiner als –5 ist. DI 98 * 0 −5 15 20 25 30 5 0 10 35 °C (1) 0 −5 −10 −15 0 5 10 15 °C (2) DI 99 ∈ … ist Element ∉ … ist kein Element M, O 100 * * Ortszeit: Zeit, die für alle auf gleichem Längenkreis liegenden Orte gültig ist. M, O, DI 101 –5 –4 Nullpunkt Betrag 5 –3–2–10 1 2 3 4 5 Betrag 5 DI 102 Zwischenstopp: a) Gib den Betrag der Zahlen an: |–4|, |+9|, |–28|, |+32|. b) Welche Zahlen haben den Betrag 3? O 103 O 104 O 105 23 Rationale Zahlen * Gesundheitsförderung ** Sprachliche Bildung Ó Arbeitsblatt f5f2tt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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