Schritt für Schritt Mathematik 3Teildruck für Lehrerinnen und Lehrer
Schritt für Schritt Mathematik 3, Schulbuch Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildquellen: S.8.1: DenPotisev/Thinkstock; S.8.2: Antje Lindert-Rottke/Fotolia; S.8.3: grinvalds/Getty Images – iStockphoto; S.9: Winai_Tepsuttinum/Thinkstock; S.10: creepers888/Thinkstock; S.12: abadonian/Thinkstock; S.14: Ingram Publishing/ Thinkstock; S.153: Hemera/Thinkstock; S.154: Martina Draper; S.158.1: MH Foto Design; S.158.2.: Franck-Boston/iStockphoto.com; S.158.3: MH Foto Design; S.158.4: Franck-Boston/iStockphoto.com; S.159.1-5: gamespirit/Getty Images; S.162: Arthur Kwiatkowski/iStockphoto.com; S.163: Irina Tischenko/iStockphoto.com; S.170.1: Jeanette Dietl/Fotolia; S.170.2: amisb/Thinkstock 1. Auflage © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: Matthias Pflügner, Berlin Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Technische Zeichnungen: Arnold & Domnick, Leipzig Illustrationen: Matthias Pflügner, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu ISBN 978-3-209-11430-3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Schritt für Schritt Mathematik 3 Maria Brandhofer Sabine Mader Renate Marounek Irene Messerer Eva Pongratz Eva Schildt-Messerer Heidi Schimpl unter Mitarbeit von Marie-Hélène Fisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Wo stehe ich? Ich kann … … Längenmaße umrechnen. … Flächenmaße umrechnen. … die verschiedenen Arten der Dreiecke unterscheiden. … die verschiedenen Arten der Vierecke unterscheiden. … Dreiecke konstruieren. … Vierecke konstruieren. … im Koordinatensystem Punkte eintragen und ablesen. Das lerne ich: Wie der Umfang von geometrischen Figuren berechnet werden kann. Wie man den Flächeninhalt geometrischer Figuren berechnen kann. Wie man aus bekannten Formeln gesuchte Größen berechnen kann. Wie man ein regelmäßiges Sechseck konstruieren und berechnen kann. Wie man Vielecke in GeoGebra konstruieren kann. Wie man praktische Aufgaben, in denen Vierecke und Vielecke vorkommen, lösen kann. Flächeninhalte von ebenen Figuren 2 Überprüfe deine Einschätzung! Gib in der angegebenen Maßeinheit an. a) in cm: 7 dm; 60 mm; 350 mm; 1,2 m b) in m: 2 km; 80 dm; 460 mm; 1,25 km c) in cm2: 2 dm2; 4 m2; 700 mm2; 0,5 dm2 d) in m2: 6 ha; 400 dm2; 3 a; 15 000 cm2 Konstruiere das Dreieck und gib an, welche Art von Dreieck es ist. a) c = 5 cm; a = 6,5 cm; α = 40° b) a = 4,5 cm; b = 5,2 cm; c = 5,6 cm c) c = 48 mm; b = 35 mm; α = 110° d) c = 52 mm; α = 40°; β = 70° Konstruiere die Figur. a) Parallelogramm: a = 7,5 cm; b = 4,2 cm; α = 130° b) Quadrat: d = 60 mm c) Deltoid: e = 5,5 cm; a = 2,5 cm; f = 30 mm d) Raute: e = 48 mm; f = 66 mm e) Trapez: a = 56 mm; c = 28 mm; α = 68°; d = 35 mm f) Rechteck: a = 5 cm; d = 7,2 cm Zeichne ein Koordinatensystem, trage die Punkte ein und verbinde sie. Welche Figur entsteht? a) A (−1 | 1), B (5 | 1), C (4 | 4), D (1 | 4) b) A (−3 | 3), B (−5 | 1), C (−3 | −2), D (−1 | 1) Welches besondere Viereck ist gefragt? Es hat zwei ungleich lange parallele Seiten, zwei rechte Winkel und keine Symmetrieachse. Es ist das . O 292 O, DI 293 O 294 O, DI 295 M 296 Ein Tangram besteht aus sieben Teilfiguren. a) Welche Figuren erkennst du? b) Fertige aus festem Karton ein Tangram an. c) Verwende alle sieben Teile. Lege ein Quadrat, ein Parallelogramm und ein gleichschenkliges Dreieck. d) Was kannst du über deren Flächeninhalte aussagen? Lege mit jeweils 24 Streichhölzern ein Dreieck und ein Viereck. Vergleiche die entstandenen Figuren miteinander. a) Was haben beide Figuren gemeinsam? b) Worin unterscheiden sie sich? c) Lege das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt. Zeichne zu der Aussage das passende Viereck. a) Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Es hat keinen rechten Winkel und keine Symmetrieachse. b) Je zwei Seiten sind gleich lang, aber nicht parallel. Es hat genau eine Symmetrieachse und die Diagonalen stehen normal aufeinander. c) Es hat zwei verschieden lange parallele Seiten und keinen rechten Winkel. Überlege und ordne zu. a) Bei welchen Vierecken lässt sich ein Umkreis konstruieren? b) Bei welchen Vierecken lässt sich ein Inkreis konstruieren? c) Welches Viereck hat sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis? d) Welche Vierecke haben weder einen Inkreis noch einen Umkreis? M, DI 297 M, DI 298 M, O, DI 299 DI 300 A B C D E F 50 51 Flächeninhalte von ebenen Figuren 2 Lernen Lernen 17 Parallelogramm Konstruiere das Parallelogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm, α = 60°. Zeichne die Höhen ein und schneide es aus. a) Zerschneide das Parallelogramm und lege es zu einem flächengleichen Rechteck zusammen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? b) Welche Formel ergibt sich daraus für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ( _ 01 = 1 cm). Verbinde die Punkte zu einem Parallelogramm. Entnimm die notwendigen Maße aus der Zeichnung und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. a) A (0 | 1), B (5 | 1), C (7 | 4), D (2 | 4) b) A (–4 | –1), B (3 | –1), C (1 | 4), D (–6 | 4) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Parallelogramms. a) a = 7,5 cm; b = 4,8 cm, ha = 35 mm b) a = 4 cm; b = 6 cm; hb = 55 mm Zeichne zwei verschiedene Parallelogramme und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. Zwei Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt. Erkläre, warum deren Umfang nicht auch gleich sein muss. Wie verändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms a = 6 cm und ha = 4 cm, wenn a) die Seite a verdoppelt wird, b) die Seite a halbiert und ha verdoppelt wird, c) die Seite a verdreifacht wird, d) die Seite a halbiert und ha verdreifacht wird? M, O 316 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe. A = a · ha oder A = b · hb Für den Umfang eines Parallelogramms gilt: u = 2 · (a + b) a d g b a b hb ha O, DI 317 O 318 O 319 a a b ha b ha M, DI, B 320 Zwischenstopp: Berechne Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms. a) a = 14,2 cm; b = 6,8 cm; ha = 5,8 cm b) a = 46,8 m; b = 13 m; ha = 10,5 m O 321 M, O, DI, B 322 Die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms A = a · ha wurde umgeformt, damit man die Höhe ha berechnen kann. Kreuze die zwei richtigen Umformungen an. A a = A · ha B ha = A : a C ha = A · a D ha = A _ a Ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von 225 cm2 ist 18 cm lang. Berechne die zugehörige Höhe ha. Berechne die fehlenden Größen des Parallelogramms. a b ha hb u A a) 40 cm 12 cm 140 cm b) 7,5 m 1,2 m 6 m2 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms beträgt 240 cm2. Welche Seitenlängen und zugehörige Höhen sind möglich? Gib drei Beispiele an. Konstruiere das Parallelogramm in GeoGebra. Verwende dafür die Werkzeuge „Punkt, Strecke, Winkel mit fester Größe“. a) A (–2 | 1), B (4 | 1), C (2 | 4), D ? b) a = 4 cm, α = 70°, h = 2 cm Durch eine Wiese wird ein 2,5 m breiter Weg angelegt. Berechne, wie viel Quadratmeter dafür benötigt werden? Das Geländer einer Treppe wird mit Glasscheiben versehen. a) Wie viel Quadratmeter Glas braucht man für acht solcher Scheiben (ohne Verschnitt)? b) Was kosten die Glaseinsätze, wenn für 1 m2 49,90 € verrechnet werden? Die Skizze zeigt die Bodenfläche eines Schulhofes. a) Zeichne diese Fläche im Maßstab 1 : 100. b) Berechne den Flächeninhalt. M, O 323 O 324 Höhe berechnen: A = a · ha | : a A : a = ha ha = A _ a O 325 M, O 326 O 327 * ô O 328 65 m 2,5 m Zwischenstopp: Ein Gartenbeet hat die Form eines Parallelogramms mit a = 8,5 m und b = 6 m. Der Flächeninhalt beträgt 40,8 m2. Berechne die zugehörigen Höhen und den Umfang. O 329 M, O 330 1,20 m 2,25 m 1,80 m 1,20 m O 331 62 m 46 m 24 m 32 m 16 m 54 55 Flächeninhalte von ebenen Figuren * Informatische Bildung Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 3. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 220 bis 227 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 240 bis 244 erklärt. Verbinden 3 Winzig klein und riesig groß Im grau unterlegten Feld sind die Maße von kleinen und großen Dingen angegeben. Gib die Maße in Zentimeter an. Bei manchen Angaben kann dir die Tabelle helfen. Schreibe dann die Zahlen als Zehnerpotenz und trage sie der Größe nach geordnet in die Graphik ein. Recherchiere zum Thema „Viren“. Gestalte eine Mindmap, indem du erklärst, was Viren sind, wie sie sich vermehren und wie groß sie sind. Gib die Größe von Viren in Millimeter an und schreibe dann als Zehnerpotenz. Nenne zwei bekannte Viruserkrankungen und gib Tipps, wie man sich schützen kann. O, DI 567 T Tera 1012 1 000 000 000 000 Billion G Giga 109 1 000 000 000 Milliarde M Mega 106 1 000 000 Million k Kilo 103 1 000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert dag Deka 101 10 Zehn — — 100 1 Eins d Dezi 10–1 0,1 Zehntel c Zenti 10–2 0,01 Hundertstel m Milli 10–3 0,001 Tausendstel µ Mikro 10–6 0,000 001 Millionstel n Nano 10–9 0,000 000 001 Milliardstel p Piko 10–12 0,000 000 000 001 Billionstel EURO 10–12 cm * M 568 Ein Atomkern ist 0,000 01 nm groß. Kleine Viren sind 15 nm groß. Kleinste Bakterien sind 300 nm groß. Feinstaub ist 10 µm groß. Eine Euromünze ist 1,67 mm dick. Der Durchmesser eines Fußballs ist 22 cm. Die Höhe des Schiefen Turms von Pisa ist 55 m. Der Durchmesser der Erde ist 12 756 km. Die Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 149,6 Millionen Kilometer. Die Entfernung zum nächsten Fixstern (Alpha Centauri) beträgt 41,63 Billionen km. 90 * Gesundheitsförderung Flächeninhalte von ebenen Figuren Überprüfen Überprüfen 2 Das kann ich! Ich kann den Umfang geometrischer Figuren berechnen. Kreuze die beiden Formeln an, die nicht verwendet werden können, um den Umfang eines Vielecks zu berechnen. A u=4·a B u = 2 · (a – b) C u = a + c · h _ 2 D u = 2 · (a + b) E u = a + b + c + d Ein rechteckiger Acker hat einen Umfang von 492 m. Die Breite beträgt 114,5 m. Wie lang ist der Acker? Ich kann den Flächeninhalt geometrischer Figuren berechnen. Ordne die Formeln für den Flächeninhalt den richtigen Figuren zu. Berechne den Flächeninhalt der gegebenen Figur. a) Rechteck: a = 12,8 m; b = 9,4 m; A = b) Quadrat: a = 6,4 cm; A = c) Raute: a = 4,25 cm; h = 3,2 cm; A = d) Deltoid: e = 75 mm; f = 56 mm; A = Ein rautenförmiger Spiegel hat einen Flächeninhalt von 12,54 dm2. Die Seite ist 38 cm lang. Wie hoch ist der Spiegel? Ich kann aus bekannten Formeln gesuchte Größen berechnen. Berechne die gesuchte Größe. a) Rechteck: A = 118,56 m2; a = 15,6 m b = b) Raute: A = 29,24 cm2; a = 4,3 cm h = Berechne die gesuchte Größe. a) Quadrat: u = 6,4 m a = b) Parallelogramm: A = 23,97 cm2; h a = 4,7 cm a = M, O 401 O 402 O 403 Parallelogramm Quadrat Trapez Deltoid Raute Rechteck A = e · f _ 2 A = (a + c) · h _ 2 A = a · b A = a · a A = b · hb O 404 O 405 O 406 O 407 Berechne die gesuchte Größe. a) Deltoid: A = 1 302 cm2; f = 42 cm e = b) Trapez: A = 23,62 m2; a = 6,5 m; c = 4 m h = Berechne die gesuchte Größe. a) Dreieck: A = 8,2 cm2; h c = 32 mm c = b) Dreieck: A = 448 cm2; c = 28 cm hc = Ich kann ein regelmäßiges Sechseck konstruieren und berechnen. Konstruiere ein regelmäßiges Sechseck mit r = 2,5 cm und berechne den Flächeninhalt (ha = 22 mm). A = Ich kann Vielecke in GeoGebra konstruieren. Konstruiere digital und berechne den Umfang. a) Trapez: a = 6 cm; α = β = 65°; h = 4 cm u = b) Deltoid: A (2 | 4), B (–1 | 2), C (2 | –3), D (5 | 2) u = Konstruiere digital und berechne den Flächeninhalt. Unregelmäßiges Fünfeck: A (4 | 0), B (6 | 2), C (5 | 4), D (0 | 4), E (–3 | 1) A = Ich kann praktische Aufgaben, in denen Vierecke und Vielecke vorkommen, lösen. Aus einer rechteckigen Blechplatte wird eine unregelmäßige Figur herausgeschnitten. Maße in cm Berechne den Flächeninhalt der ausgeschnittenen Figur. A = Wie viel Prozent der Fläche fällt weg? Berechne Flächeninhalt und Umfang der zusammengesetzten Figur. In welche Flächen kannst du die Figur sinnvoll zerlegen? Wie viel Prozent der Gesamtfläche macht das innere graue Rechteck aus? O 408 O 409 O 410 O 411 * ô O 412 * ô 26 22 65 34 22 11 22 26 O 413 7,4 cm 4,0 cm 3,9 cm 3,6 cm 3,6 cm 5,2 cm 5,2 cm O 414 68 69 * Informatische Bildung Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Zusammenfassen Zusammenfassung Direkt proportionale Zuordnungen • Zuordnungen sind direkt proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, Halben, … einer Größe (x) das Doppelte, Dreifache, Halbe, … einer anderen Größe (y) zugeordnet wird. • Der Quotient der Wertepaare heißt Proportionalitätsfaktor. • Die graphische Darstellung ist ein Strahl. Indirekt proportionale Zuordnungen • Zuordnungen sind indirekt proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, … einer Größe (x) die Hälfte, ein Drittel, … einer anderen Größe (y) zugeordnet wird. • Das Produkt der Wertepaare ist immer gleich. • Die graphische Darstellung ist eine Kurve. Lineare Wachstumsprozesse • Nimmt eine bestimmte Größe in gleich großen Abständen um den gleichen Wert zu, spricht man von einem linearen Wachstumsprozess. • Die graphische Darstellung ist ein gleichmäßig ansteigender Strahl. Lineare Abnahmeprozesse • Nimmt eine bestimmte Größe in gleich großen Abständen um den gleichen Wert ab, spricht man von einem linearen Abnahmeprozess. • Die graphische Darstellung ist ein gleichmäßig fallender Strahl. Anzahl Kosten Quotient: Preis pro Anzahl 3 12 ₣ 12 ₣ : 3 = 4 ₣ 6 24 ₣ 24 ₣ : 6 = 4 ₣ Verdoppelt sich die Anzahl, verdoppelt sich der Preis. · 2 · 2 0 1 4 3 2 5 6 Kosten in 24 18 12 6 Anzahl Anzahl Maschinen Arbeitszeit Produkt: gesamte Arbeitszeit 3 8 h 3 · 8 h = 24 h 6 4 h 6 · 4 h = 24 h Verdoppelt sich die Anzahl, halbiert sich die Zeit. · 2 : 2 0 1 4 3 2 5 6 24 16 8 Anzahl Zeit In einem Becken befinden sich zu Beginn 200 Liter Wasser. In jeder Stunde fließen 50 Liter zu. 0 1 2 3 4 5 h 450 350 250 150 50 l Von 3 Tonnen Sand wird jeden Tag eine halbe Tonne abtransportiert. 0 1 2 3 4 5 6 d 2 4 t 147 Zuordnungen, Wachstum und Abnahmeprozesse 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin bzw. dein Lehrer passgenaue Verweise auf digitale Zusatzmaterialien. Android iOS QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der AppMedienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Die Aufgaben auf einen Blick Aufgaben mit diesem Zeichen helfen dir, Fachwissen zu erwerben und Grundfertigkeiten zu erlernen. Bei diesen Aufgaben kannst du dein erworbenes Fachwissen und deine erlernten Grundfertigkeiten anwenden. Diese Aufgaben gehen über die Grundfertigkeiten hinaus. Dabei kann es notwendig sein, dass du zusätzliche Informationen benötigst, wie z.B. aus dem Internet. Diese Aufgaben sind für eine Gruppenarbeit geeignet. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben bearbeitest du mit einem digitalen Gerät. C B ô Kompetenzmodell Kompetenzbereiche Prozesse Zahlen und Maße M: Modellieren und Problemlösen Variablen und Funktionen O: Operieren (Rechnen und Konstruieren) Figuren und Körper DI: Darstellen und Interpretieren Daten und Zufall B: Vermuten und Begründen Die Kompetenzbereiche werden im Inhaltsverzeichnis den Abschnitten bzw. den Kapiteln zugeordnet. Die Abkürzungen für die Prozesse befinden sich direkt unter der Aufgabennummer. Mit den übergreifenden Themen wird vernetztes Lernen über die fachspezifischen Grenzen hinaus unterstützt. Dazu zählen Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Entrepreneurship Education, Gesundheitsförderung, Informatische Bildung, Interkulturelle Bildung, Medienbildung, Politische Bildung, Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, Sexualpädagogik, Sprachliche Bildung und Lesen, Umweltbildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung sowie Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung. Ein * bei der Aufgabennummer verweist in der Fußzeile auf das entsprechende Thema. www.oebv.at Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt 39a8z7 Online-Code 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Basiswissen 1. und 2. Klasse − Rechnen 10 2 Basiswissen 1. und 2. Klasse − Geometrie 13 3 Basiswissen 1. und 2. Klasse − GeoGebra 16 Das kann ich! 18 4 Ganze Zahlen 22 5 Rationale Zahlen 24 6 Rationale Zahlen vergleichen und ordnen 26 7 Zunahme und Abnahme 28 8 Rationale Zahlen im Koordinatensystem 30 9 Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen 32 10 Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen 34 11 Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen 36 12 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen 38 13 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 40 14 Textaufgaben 42 15 Taschenrechner 44 Thema: Temperatur 46 Zusammenfassung 47 Das kann ich! 48 16 Rechteck und Quadrat 52 17 Parallelogramm 54 18 Raute 56 19 Deltoid 58 20 Trapez 60 21 Dreieck 62 22 Vieleck 64 Thema: Gestaltung eines Spielplatzes 66 Zusammenfassung 67 Das kann ich! 68 Einführung 8 1 Rationale Zahlen 20 2 Flächeninhalte von ebenen Figuren 50 Inhalt Zentrales fachliches Konzept Zahlen und Maße Figuren und Körper Zahlen und Maße Figuren und Körper 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 23 Variablen und Terme 72 24 Addieren und Subtrahieren von Termen 74 25 Multiplizieren und Dividieren von Monomen 76 26 Terme multiplizieren und faktorisieren 78 27 Potenzen 80 28 Zehnerpotenzen 82 29 Rechnen mit Potenzen 84 30 Multiplizieren von Binomen 86 31 Binomische Formeln 88 Thema: Winzig klein und riesig groß 90 Zusammenfassung 91 Das kann ich! 92 32 Lösen von Gleichungen 96 33 Formeln 98 34 Textgleichungen 100 35 Textgleichungen aus der Geometrie 102 36 Bewegungsaufgaben 104 Thema: Formeln aus der Fahrschule 106 Zusammenfassung 107 Das kann ich! 108 37 Verhältnisse 112 38 Verhältnisgleichungen 114 39 Ähnliche Figuren 116 40 Zentrische Streckung 118 41 Konstruieren in der Grafik-Ansicht mit GeoGebra 120 42 Strahlensätze 122 43 Anwendungsaufgaben 124 Thema: Der Jakobsstab 126 Zusammenfassung 127 Das kann ich! 128 Variablen, Terme, Potenzen 70 3 4 Gleichungen und Formeln 94 Ähnliche Figuren und Strahlensätze 110 5 Variablen und Funktionen Variablen und Funktionen Figuren und Körper 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
44 Sachaufgaben und Projekte mit Excel 132 45 Direkt proportionale Zuordnungen 134 46 Indirekt proportionale Zuordnungen 136 47 Unterschiedliche Formeln einsetzen 138 48 Lineare Wachstumsprozesse 140 49 Lineare Abnahmeprozesse 142 50 Kalkulationen mit verschiedenen Programmen 144 Thema: Das Geld liegt auf der Straße 146 Zusammenfassung 147 Das kann ich! 148 51 Würfel und Quader 152 52 Eigenschaften von Prismen 154 53 Schrägrisse von Prismen 156 54 Grund-, Auf- und Kreuzriss 158 55 Oberflächen von Prismen 160 56 Volumen von Prismen 162 57 Pyramiden 164 58 Oberflächen von Pyramiden 166 59 Volumen von Pyramiden 168 60 Anwendungsaufgaben 170 61 Konstruieren in der 3D-Grafik-Ansicht mit GeoGebra 172 62 Tinkercard 174 Thema: Platonische Körper 176 Zusammenfassung 177 Das kann ich! 178 63 Grundbegriffe der Prozentrechnung 182 64 Anwendungen der Prozentrechnung 184 65 Rabatt, Skonto, Umsatzsteuer 186 66 Kontoführung und Umgang mit Geld 188 67 Grundbegriffe der Zinsenrechnung 190 68 Zinsen für Teile eines Jahres 192 69 Zinseszinsen 194 Thema: Promille 196 Zusammenfassung 197 Das kann ich! 198 6 Zuordnungen, Wachstums- und Abnahmeprozesse 130 7 Prismen und Pyramiden 150 Prozent- und Zinsenrechnung 180 8 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Zahlen und Maße 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 70 Grundbegriffe der Statistik 202 71 Daten interpretieren 204 72 Darstellen von Häufigkeiten 206 73 Mit Daten informieren und täuschen 208 74 Zusammenhänge bei statistischen Daten 210 75 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten 212 76 Zufallsexperimente 214 Thema: Fußballfieber 216 Zusammenfassung 217 Das kann ich! 218 Kompetenzcheck für die 3. Klasse 220 Lösungen 228 Glossar 240 Formelsammlung 245 Register 248 Faltmodell eines Prismas (Quader) Anhang Faltmodell einer Pyramide Anhang 9 Daten und Zufall 200 Daten und Zufall 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Einführung Vernetzte Welt − Mathematik und Smartphone Aus der Geschichte des Mobiltelefons Davids Großmutter erzählt, dass ihr erstes Handy, das sie 1995 bekam, damals das neueste war. Es konnte bereits Kurznachrichten (SMS) senden und empfangen. David bekam sein erstes Handy rund 20 Jahre später. Es hatte bereits einen Touchscreen und eine integrierte Kamera. Recherchiere im Internet. Verbinde die Aussagen mit der richtigen Jahreszahl und ordne sie chronologisch. Das Lösungswort bezeichnet Personen, die häufig Inhalte (Texte, Bilder, Videos) in Blogs und sozialen Netzwerken veröffentlichen und damit Produkte oder Lebensstile bewerben. Lösungswort: 1 Das erste Smartphone wurde in Las Vegas vorgestellt. 2 Das erste Handy mit einem Farbdisplay gab es . 3 Die Geburtsstunde des iPhones ist . 4 Das erste Handy mit integrierter Kamera, die Videos aufnehmen und wiedergeben konnte, gab es . 5 Das erste WAP-Handy gab es . Mit diesem konnte man sich Internetseiten in vereinfachter Form darstellen lassen. 6 Das erste Billig-Handy (Verkaufspreis lag damals zwischen 20 bis 30 Dollar) wurde angeboten. 7 Das erste Handy, das Kurznachrichten (SMS) versenden und empfangen konnte kam in den Handel. 8 Der erste Fingerprintsensor wurde in ein Smartphone eingebaut. 9 Im Jahr gab es das erste Handy mit MP3 Player und Kopfhörern. 10 Im Februar kam das erste faltbare Smartphone auf den Markt. a) Wie sehr lässt du dich durch Inhalte aus sozialen Netzwerken beeinflussen? Kreuze an. Vergleiche und besprich in der Gruppe. sehr oft häufig wenig gar nicht b) Überlegt gemeinsam welche Vorteile und welche Gefahren damit verbunden sind. DI 1 ô N 2005 F 1997 R 2019 U 2000 C 2007 L 1999 E 2018 N 1995 E 2003 I 1992 DI 2 C * 8 * Medienbildung, Entrepreneurship, Lebensorientierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Lisa bekommt ein neues Smartphone. Ihre Eltern lassen sie aus drei verschiedenen Angeboten auswählen. a) Welches Modell würdest du wählen? Begründe deine Entscheidung. A B C Betriebssystem Android 13 Android 12 Android 12 Kamera 48 MP 3fach 50 MP 4fach 48 MP 3fach Speicherkapazität 256 GB 128 GB 128 GB Arbeitsspeicher 12 GB 6 GB 8 GB Preis 379 € 307 € 249 € b) Wann braucht man eine hohe Speicherkapazität? Wo werden Spiele gespeichert? Macht in eurer Klasse eine Umfrage. Was ist beim Kauf eines neuen Handys am wichtigsten? Ergänzt die Tabelle. Jeder darf drei Punkte ankreuzen, die ausschlaggebend sind. Aussehen und Farbe Größe des Displays Marke (Hersteller) Größe des Arbeitsspeichers Speicherkapazität Kamera Preis … a) Berechnet die relative Häufigkeit. b) Stellt das Ergebnis in einem Säulendiagramm dar. Ein Mobiltelefon besteht zu 56 % aus Kunststoff, 25 % Metalle, 16 % Glas und Keramik und zu 3 % aus Sonstigem. a) Stelle die Prozentsätze in einem Kreisdiagramm dar. b) Berechne die Prozentwerte für ein Handy, das 85 g wiegt. . In einer Tonne „Mobiltelefon“ sind 4 g Platin, 340 g Gold und 3 500 g Silber enthalten. In Europa werden jährlich 100 Millionen alte Mobiltelefone entsorgt. Das entspricht 10 000 t oder 400 LKW-Ladungen. Wie viel Kilogramm Platin, Gold bzw. Silber sind enthalten? Frau Riska kauft ein refurbished Smartphone und bezahlt 419 € statt 799 €. a) Um wie viel Prozent wurde das Gerät verbilligt? b) Welche Gründe sprechen noch für diesen Kauf? B 3 * M, O, DI 4 C M, O 5 M, O 6 refurbed: erneuert O, B 7 * 9 Einführung * Verbraucher/innenbildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 1 Basiswissen 1. und 2. Klasse – Rechnen Wo stehe ich? Ich kann … … Teiler und Vielfache angeben. … die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10 erklären und anwenden. … Primzahlen erkennen. … den ggT zweier Zahlen bestimmen. … das kgV zweier Zahlen bestimmen. … die Rechenregeln anwenden. … Brüche kürzen und erweitern und mit Brüchen rechnen. … ganze Zahlen auf der Zahlengeraden ablesen und vergleichen. … Schlussrechnungen in direkter und indirekter Proportionalität lösen. … Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen. … mit Prozenten rechnen. … Prozentanteile graphisch darstellen. … Daten aus Diagrammen ablesen und richtig interpretieren. Bestimme die Teilermenge. a) T18 b) T53 c) T100 Bestimme die Vielfachen zwischen 0 und 100. a) V7 b) V12 c) V22 Verbinde so, dass eine richtige Aussage entsteht. A Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die 1 Ziffer an der Einerstelle 0 oder 5 ist. B Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die 2 Ziffer an der Einerstelle 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. C Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die 3 Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. D Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die zwei letzten Ziffern 4 eine durch 4 teilbare Zahl bilden. E Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die 5 Ziffer an der Einerstelle 0 ist. F Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die 6 Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. O 8 O 9 DI 10 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Markiere alle Zahlen, die a) durch 2 teilbar sind: 90, 45, 33, 28, 156, 3 519 b) durch 5 teilbar sind: 254, 170, 65, 558, 1 230, 20 400 c) durch 4 teilbar sind: 364, 266, 824, 2 372, 602, 3 808 d) durch 3 teilbar sind: 313, 39, 412, 664, 1 815, 22 418 e) durch 9 teilbar sind: 69, 909, 2 972, 13 450, 891, 17 334 Unterstreiche die Primzahlen. a) 1, 11, 21, 31, 41 b) 3, 13, 23, 33, 43 c) 7, 17, 27, 37, 47 d) 9, 19, 29, 39, 49 e) 51, 63, 67, 71, 83 f) 53, 61, 69, 91, 97 Zerlege die folgenden Zahlen a) 3 780 b) 14 322 in ihre Primfaktoren. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 48 und 72. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 6 und 8. Leonie hat 24 blaue, 40 gelbe und 72 rote Perlen. Sie möchte ein Armband mit einem regelmäßigen Muster aus allen Perlen knüpfen. Welche Kombination mit der größten Anzahl an verschieden farbigen Perlen ist möglich? Berechne. a) 853 − 69 : 3 + 34 · (42 − 27) − (135 + 65) : 8 b) 3,5 · (11,3 − 6,5) + 4,05 Färbe den angegebenen Bruchteil. a) b) Bringe die Brüche auf den gleichen Nenner. a) 2 _ 3 und 1 _ 5 b) 1 _ 6 und 3 _ 8 Kürze folgende Brüche so weit wie möglich. a) 18 _ 23 b) 9 _ 27 c) 32 _ 48 Berechne. a) 5 _ 6 + 2 _ 9 b) 2 7 _ 8 − 1 3 _ 10 c) 5 _ 12 · 7 _ 9 d) 5 _ 8 : 1 _ 4 Nenne drei Brüche, die größer als 3 _ 8 und kleiner als 2 _ 3 sind. O 11 O 12 O 13 O 14 O 15 O 16 O 17 DI 18 _3 4 _2 5 _5 8 _3 4 _2 5 _5 8 O 19 O 20 O 21 2 1 _ 2 (M); 1 23 _ 40 (A) 1 1 _ 18 (R); 35 _ 108 (U) Lösungswort: O, DI 22 11 Einführung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Beachte die Vorrangregeln. a) 0,63 · (3 − 1 5 _ 8 ) : (2 4 _ 7 : 3 3 _ 14 − 0,3) b) (0,3 + 1 1 _ 3 ) : (0,8 − 1 _ 2 ) · ( 5 _ 9 + 0,2) Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden markiert? Setze das Zeichen (< oder >) ein. a) –18 +17 b) – 250 +46 c) –72 –75 d) –435 –543 David legt mit seinem Fahrrad eine 60 km lange Strecke in 3 3 _ 4 Stunden zurück. Welchen Weg legt er in einer Stunde zurück? Ein Bauunternehmer lässt die 360 m3 Bodenaushub eines Neubaus von LKWs mit 12,5 m3Fassungsvermögen abtransportieren. a) Wie oft muss ein LKW fahren? b) Wie oft müssen 5 LKWs fahren? c) Der Bauunternehmer möchte an einem Tag fertig sein. Wie viele LKWs muss er einsetzen, wenn jeder nur 10-mal fahren soll? Bestimme den Wert der Variablen und mache die Probe durch Einsetzen. a) 5 ∙ y + 7 = 22 b) 3 ∙ a – 9 = 21 c) 46 = 11 ∙ x + 13 Frau Anzengruber bietet Freilandeier um 32 c und Eier aus Bodenhaltung um 25 c pro Stück an. An einem Tag hat sie für insgesamt 2 400 verkaufte Eier 729,50 € eingenommen. Wie viele Eier jeder Sorte hat sie verkauft? Ein Autohändler verkauft einen Neuwagen um 26 500 €. Der Käufer muss noch 20 % Umsatzsteuer bezahlen. a) Berechne den Bruttopreis, den der Käufer bezahlen muss. b) Der Autohändler verdient 3 180 €. Wie viel Prozent des Nettopreises sind das? Der Physiktest der 2b-Klasse ist folgendermaßen ausgefallen. Note 1 2 3 4 5 a) Berechne die prozentuelle Häufigkeit jeder Note. b) Zeichne einen Prozentkreis. c) Ist der Test gut ausgefallen? Begründe deine Meinung. Anzahl 1 3 10 8 3 O 23 DI 24 −2 0 +2 −150 +250 0 A B C C D A B a) b) O 25 O 26 M, O 27 O 28 M, O 29 M, O 30 M, O, DI, B 31 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 2 Basiswissen 1. und 2. Klasse – Geometrie Wo stehe ich? Ich kann … … im kartesischen Koordinatensystem Punkte einzeichnen und ablesen. … in Figuren Symmetrieachsen erkennen und einzeichnen. … die Strecken- und Winkelsymmetrale konstruieren. … Winkel messen und zeichnen. … Dreiecksarten unterscheiden. … Dreiecke und deren Umkreise und Inkreise konstruieren. … den Flächeninhalt rechtwinkliger Dreiecke berechnen. … Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Trapez und Deltoid konstruieren. … Netze von Quader und Würfel zeichnen. … Quader und Würfel im Schrägriss zeichnen. … den Oberflächeninhalt und das Volumen von Quader und Würfel berechnen. Schreibe die Koordinaten der abgebildeten Punkte auf. Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie nach dem Alphabet. a) A (1 | 1), B (1 | 5), C (3 | 3), D (5 | 5), E (5 | 1) b) A (3 | 5), B (0 | 3), C (3 | 0), D (6 | 3) Zeichne ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm). Welches Viereck entsteht? Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. a) A (2 | 4), C (6 | 6), D (2 | 9) b) B (0 | 2), C (–2 | 0), D (–1 | –3) c) A (4 | 0), B (8 | 4), M (5 | 3) DI 32 A D C B –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y a) b) x 1 2 3 4 C D B A 0 1 y x 1 O 33 O, DI 34 13 Einführung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen a) Zeichne alle Symmetrieachsen ein. b) Ergänze zu einer achsensymmetrischen Figur. Konstruiere zur Strecke _AB= 8,6 cm die Streckensymmetrale. Zeichne folgende Winkel und gib die Art des Winkels an. a) α = 35° b) β = 140° c) γ = 225° d) δ = 345° e) ε = 180° Konstruiere die Winkelsymmetrale zu allen spitzen und stumpfen Winkeln aus Aufg. 37. Miss die Innenwinkel der Figur und berechne die dazugehörigen Außenwinkel. Dreiecke können nach Seiten oder nach Winkeln eingeteilt werden. Benenne sie nach diesen Eigenschaften. Konstruiere die Dreiecke. a) c = 6 cm, b = 4 cm, a = 3 cm b) c = 32 mm, a = 72 mm, α = 50° c) c = 5,5 cm, α = 70°, b = 3,5 cm d) c = 4,5 cm, α = 40°, β = 65° Zeichne in die Dreiecke von Aufg. 41 jeweils die drei Höhen ein und ermittle den Höhenschnittpunkt H. O 35 O 36 O, DI 37 O 38 O 39 g a b d « a' g' b' d' «' DI 40 A B C D O 41 O 42 C g a b A B c a b 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Zeichne in ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm ) die Punkte A(1|2), B(7|2), C(4|6) ein und verbinde sie zu einem Dreieck. Zeichne alle drei Höhen ein und ermittle den Höhenschnittpunkt H. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. a) gleichschenkliges Dreieck: a = 6,2 m; c = 4,7 m; hc = 5,7 m b) gleichseitiges Dreieck: a = 14 mm; h = 12 mm Konstruiere das rechtwinklige Dreieck mit der Kathete a = 4 cm und der Hypothenuse c = 5 cm. Nimm den Satz von Thales zu Hilfe. a) Wie lang ist die Kathete b? b) Berechne den Flächeninhalt. Welche Eigenschaft trifft auf welche Figur zu? Rechteck Raute Trapez Deltoid vier gleich lange Seiten Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. zwei ungleich lange parallele Seiten Je zwei Seiten sind gleich lang, aber nicht parallel. Diese Figur besitzt einen Inkreis. Konstruiere folgende Vierecke und beschrifte sie. Kontrolliere mit Hilfe der Formelsammlung auf Seite 246. a) Parallelogramm: a = 4,5 cm; b = 3 cm; α = 65° b) Raute: a = 3,5 cm; β = 70° c) Trapez: a = 7 cm; b = 3,8 cm; α = 55°; β = 35° d) Deltoid: a = 4,2 cm; b = 6,4 cm; e = 8 cm Berechne den Umfang und den Flächeninhalt folgender Figuren. Verwende dafür die Formelsammlung am Buchende. a) Parallelogramm: a = 7,2 cm; b = 3,4 cm; ha = 2,9 cm b) Raute: a = 7,5 cm; h = 5 cm c) Trapez: a = 7 cm; b = 3,3 cm; c = 4 cm; d = 3,4 cm; h = 3 cm d) Deltoid: a = 20 cm; b = 27 cm; e = 36 cm; f = 30 cm Konstruiere das Netzt des Würfels mit a = 3,5 cm. Berechne die Oberfläche. Zeichne den Schrägriss des Quaders mit a = 5 cm; b = 3 cm; h = 6,5 cm; α = 45°; v = 1 _ 2 . Berechne das Volumen. Verändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die Seite a halbiert, die Seite b verdoppelt und die Höhe h gleich lässt? Zeige anhand eines Beispieles. O 43 O 44 C A c B a a O 45 DI 46 O 47 O 48 O 49 O 50 O 51 15 Einführung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 3 Basiswissen 1. und 2. Klasse – GeoGebra a) Erkläre, wie man auf Papier den Punkt P (7| 5) im Koordinatensystem einzeichnet. b) Erkläre wie man den Punkt P (7| 5) in GeoGebra einzeichnet. c) Was musst du jeweils vorher vorbereiten oder beachten? Welche zwei Varianten von GeoGebra werden hier gezeigt? Welche verwendest du? 1. 2. Erkläre folgende Icons: a) b) c) d) a) Konstruiere eine Gerade durch die Punkte A (1 |1), B (5 | –3). b) Konstruiere einen Strahl, der bei A (3 | 2) beginnt und durch B (–1 | –3) geht. c) Konstruiere eine Strecke mit dem Anfangspunkt A (2 | 3) und dem Endpunkt B (–5 | 0). d) Erkläre in eigenen Worten den Unterschied zwischen diesen drei Konstruktionen. Konstruiere folgende Vierecke. Nutze dafür das Werkzeug „Punkt“ und anschließend das Werkzeug „Vieleck“. Gib an, welches besondere Viereck entstanden ist. a) A (0 |0), B (5 |0), C (7 |4), D (2 |4) b) A (0 |4), B (–3 |0), C (0 |–2), D (3 |0) c) A (–2 |–1), B (2 |–2), C (1 |2), D (–3 |3) d) A (1 |–2), B (7 |0), C (6 |3), D (0 |1) Konstruiere folgende Vierecke und gib den fehlenden Punkt an. a) Quadrat: A (1 | 1), B (–4 | 0), C (–3 | –5), D? b) Deltoid: A (–2 | 4), B (–2 | 0), C (4 | –2), D? ô 52 53 ô 54 ô ô 55 56 ô 57 ô 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Konstruiere eine Streckensymmetrale. a) Konstruiere eine Strecke f mit dem Werkzeug „Strecke“ von Punkt A (–1 | –2) bis B (8 | 2). b) Wähle das Werkzeug „Streckensymmetrale“ und klicke anschließend auf die konstruierte Strecke. GeoGebra fügt automatisch die Streckensymmetrale ein. Konstruiere eine Winkelsymmetrale. a) Konstruiere einen Strahl f mit dem Werkzeug „Strahl“ von A (0 | 0) über B (5 | –1). b) Klicke mit dem Werkzeug „Winkel mit fester Größe“ auf den Punkt B (5 | –1) und anschließend auf A (0 | 0). Tippe 35° ein, klicke auf „Gegen den Uhrzeigersinn“ und bestätige mit „OK“. Zeichne einen Strahl von A über B'. c) Wähle das Werkzeug „Winkelsymmetrale“ und klicke nacheinander auf die beiden Schenkel des Winkels. GeoGebra fügt automatisch die Winkelsymmetrale ein. Wiederhole mit einer neuen Zeichnung alle Schritte von Aufg. 59. Klicke aber bei b) im Fenster „Winkel mit fester Größe“ auf „Im Uhrzeigersinn“. Was hat sich geändert? Konstruiere das Dreieck nach dem SSS-Satz: a = 6,5 cm; b = 3,8 cm; c = 7,7 cm. a) Zeichne die Seite c. Nutze dafür das Werkzeug „Strecke mit fester Länge“, klicke auf die Koordinate (0 | 0) und gib 7,7 ein. Du hast nun Eckpunkt A und B konstruiert. Was passiert, wenn du im Fenster auch die Einheit „cm“ einträgst? b) Wähle das Werkzeug „Kreis mit MP und Radius“, klicke auf den Eckpunkt A und gib die Länge der Seite b ein. c) Wähle nochmals das Werkzeug „Kreis mit MP und Radius“, klicke auf den Eckpunkt B und gib die Länge der Seite a ein. d) Markiere den Schnittpunkt der beiden Kreise. Was hast du damit konstruiert? e) Wähle das Werkzeug „Vieleck“ und verbinde die drei Eckpunkte. f) Wähle das Werkzeug „Bewegen“ und klicke links im Algebrafenster auf den farbigen Punkt links vom Kreis, um das Objekt unsichtbar zu machen. g) Kontrolliere, ob die Eckpunkte und die Seiten richtig beschriftet sind. Wenn nicht, benenne sie um. Erkläre, wie du dabei vorgehst. Konstruiere das Dreieck nach dem SWS-Satz: b = 4,8 cm; c = 5,9 cm; α = 50°. a) Zeichne die Seite c wie in Aufg. 61. b) Zeichne vom Eckpunkt A den Winkel α (wie in Aufg. 59b). c) Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt A und nimm als Radius die Länge der Seite b. Was ergibt der Schnittpunkt des Kreises mit dem Strahl AB‘? d) Konstruiere das Dreieck mit dem Werkzeug „Vieleck“. Achte auf die richtige Beschriftung. Alle Hilfskonstruktionen können unsichtbar gemacht werden. 58 ô 59 ô 60 ô ô 61 62 ô 17 Einführung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Wo stehe ich? Ich kann … … Maßeinheiten umrechnen. … Dreiecke und Vierecke konstruieren. … das Netz eines Würfels und Quaders zeichnen. … den Schrägriss eines Würfels und Quaders zeichnen. … Umfang und Flächeninhalt einer Figur berechnen. … Formeln nach einer gesuchten Größe umformen. … Eigenschaften von ebenen Figuren und Körpern nennen. … Textbeispiele lösen. Prismen und Pyramiden 7 Überprüfe deine Einschätzung! Gib im angegebenen Flächenmaß an. a) 2,84 cm2 (mm2) b) 4 cm2 (m2) c) 0,5 a (m2) Rechne in die angegebene Einheit um. a) 0,128 cm3 (mm3) b) 26 cm3 (m3) c) 400 dm3 (m3) Konstruiere und berechne Umfang und Flächeninhalt. Entnimm fehlende Größen der Zeichnung. a) Dreieck: a = 3,5 cm; b = 4,8 cm; γ = 90° b) Parallelogramm: a = 3 cm; b = 5 cm; ha = 4,2 cm Konstruiere zuerst den Körper im Schrägriss, v = 1 _ 2 , α = 45°. Konstruiere danach das Netz. a) Würfel: a = 4,6 cm b) Quader: a = 3,5 cm; b = 5,6 cm; h = 6,8 cm Forme die Formel so um, dass du die gesuchte Größe berechnen kannst. a) Quader: V = 40 cm3; a = 5 cm; b = 4 cm; h = ? b) Raute: A = 9 m2; h = 3,6 m; a = ? Kreuze an, ob die Aussage richtig oder falsch ist und begründe. Stelle falsche Aussagen richtig. richtig falsch A Die Winkelsumme von Dreiecken ergibt immer weniger als 180°. B Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind kongruent. C Ein Würfel besteht aus acht gleich langen Kanten. Tanja möchte eine würfelförmige Schachtel (a = 1 dm) außen mit Geschenkpapier bekleben. a) Wie viel Geschenkpapier benötigt Tanja dafür? b) Wie viel Geschenkpapier benötigt sie, wenn die Schachtel oben offen ist? O 891 O 892 M, O, DI 893 M, O, 894 M, O, 895 DI, B 896 M, O 897 150 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Das lerne ich: Wie man die Oberfläche von Prismen mit unterschiedlicher Grundfläche berechnet. Wie man das Volumen von Prismen mit unterschiedlicher Grundfläche berechnet. Wie man Schrägrisse und Netze von Prismen mit unterschiedlicher Grundfläche konstruiert. Wie man die Oberfläche von Pyramiden mit drei- und viereckiger Grundfläche berechnet. Wie man das Volumen von Pyramiden mit drei- und viereckiger Grundfläche berechnet. Wie man Schrägrisse und Netze von Pyramiden mit drei- und viereckiger Grundfläche konstruiert. Welche Eigenschaften Prismen haben. Es gibt verschiedene geometrische Körper. Wähle einen aus und beschreibe ihn, ohne den Namen zu nennen. Verwende Begriffe wie Kanten, Ecken, Seitenflächen. Deine Partnerin oder dein Partner soll den Körper erraten. Ergänze die Tabelle. Körper Anzahl der Ecken Anzahl der Kanten Anzahl der Seitenflächen Art der Seitenflächen Art der Grundfläche Würfel Quader quadratisches Prisma dreiseitig rechtwinkliges Prisma dreiseitig gleichseitiges Prisma quadratische Pyramide trapezförmiges Prisma Zu Hause, in der Schule und in Geschäften sieht man viele Gegenstände in Form von Würfeln, Quadern, drei- und sechsseitigen Prismen sowie Pyramiden. Finde für jeden genannten Körper jeweils mindestens einen entsprechenden Gegenstand. Fotografiere die Gegenstände und gestalte ein Lernplakat (ausgedruckt oder digital) mit den Eigenschaften von Aufg. 899. DI 898 D E F A B C DI 899 M, O 900 151 Prismen und Pyramiden Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Lernen 51 Würfel und Quader Dragana bestellt beim Glaserer zwei Boxen, die aus Glasplatten und Messingkanten bestehen. a) Benenne die beiden Körper und zähle die jeweiligen Eigenschaften auf. b) Was kann man bei diesen Körpern berechnen? Gib Formeln an. c) Erfinde passende Angaben zu den Körpern und überlege dir ein Textbeispiel, das deine Sitznachbarin oder dein Sitznachbar lösen soll. Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Stelle falsche Aussagen richtig. Begründe. wahr falsch A Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche ist die Höhe des Quaders. B Die Kante AB des Quaders ist parallel und gleich lang zur Kante EH. C Die Fläche ABFE steht normal zur Fläche DCGH. Berechne das Volumen und die Oberfläche des Quaders. a) a = 12 cm; b = 5 cm; h = 6,5 cm b) a = 0,64 m; b = 4,2 dm; h = 25 cm Berechne das Volumen und die Oberfläche des Würfels. a) a = 7,5 cm b) a = 18 cm c) a = 0,19 dm Berechne die gesuchten Größen. a b h V O a V O a) 2,8 m 1,6 m 15,68 m3 c) 6 m b) 9,6 cm 12,5 cm 911,84 cm2 d) 8,5 cm M, O, DI 901 * B Oberfläche und Volumen Quader O = 2 · (a · b + a · h + b · h) V = a · b · h Würfel O = 6 · a · a O = 6 · a2 V = a · a · a V = a3 a b h a a a DI, B 902 * A E B C D F G H O 903 O 904 O 905 Zwischenstopp: Berechne das Volumen und die Oberfläche. a) Quader: a = 1 _ 4 dm; b = 0,2 dm; h = 1,2 cm b) Würfel: a = 0,35 m O 906 152 * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Vervollständige die Sätze: Je mehr Masse bei gleichem Volumen, desto (kleiner/größer) ist die Dichte. Je größer das Volumen bei gleicher Masse, desto (kleiner/größer) ist die Dichte. Je dichter der Stoff, desto (leichter/schwerer) ist der Körper. Da die Dichte von vielen Stoffen bekannt ist, kann man diese im Internet recherchieren. a) Recherchiere im Internet die Dichte von Buchenholz. b) Wandle die Formel vom Merkkasten so um, dass du die Masse berechnen kannst. c) Berechne die Masse eines Spielwürfels aus Buchenholz mit einem Volumen von 3,5 cm3. d) Haben alle Holzarten die gleiche Dichte? Falls nicht, suche das leichteste und schwerste Holz. Ein Schmuckdesigner gestaltet Ketten aus verschiedenen Materialen. Für die neueste Kollektion stehen Würfel mit der Kantenlänge a = 0,4 cm zur Verfügung. Die Dichte der Materialien ist in der Tabelle unten angeführt. a) Berechne die Masse für eine Halskette mit 112 Würfeln aus dem gleichen Material. b) Die Halskette soll etwa 50 g wiegen und ein Edelmetall (*) enthalten. Mische die Materialien so, dass die Kette die richtige Masse hat. Silber* Platin* Holz Glas Porzellan Gold* Kork Granit Dichte in g/cm3 10,5 21,4 0,7 2,618 2,3 19,3 0,3 2,9 Masse eines Würfels Masse der Kette a) Ein Kubikzentimeter Muskelgewebe hat eine Masse von 1,05 g. Gib die Dichte von Muskelgewebe an. b) Was passiert mit der Masse eines Menschen, der durch mehr Sport Fettgewebe in Muskelgewebe umwandelt? Dichte von Körpern Die Dichte ist eine physikalische Eigenschaft eines Stoffes. Symbol der Dichte ist der griechische Kleinbuchstabe Rho (ρ). Die Dichte (ρ) gibt an, wie viel Masse (m) ein bestimmtes Volumen (V) eines Stoffes hat. Die Dichte ist das Verhältnis von Masse zu Volumen: Dichte = Masse ______ Volumen Gängige Einheiten der Dichte sind z. B.: g ___ cm3 (g/cm3), kg __ m3 (kg/m3), kg ___ dm3 (kg/dm3). DI 907 M, O 908 ô O 909 Zwischenstopp: Grieß hat eine Dichte von 0,77 g/cm3. Welche Maße kann eine quaderförmige Verpackung mit einem Kilogramm Grieß haben? O 910 M, O 911 153 Prismen und Pyramiden Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Lernen 52 Eigenschaften von Prismen Alex erzählt Alisa, dass er gerade in Mathematik lernt, was Prismen sind. Alisa sagt dazu: „Cool, was sind denn Prismen? Wir lernen das nicht. In meiner Klasse werden gerade Quader und Würfel aus der 1. Klasse wiederholt“. Alex erklärt Alisa daraufhin: „Quader und Würfel sind ja Prismen!“. Hat Alex Recht? Begründe deine Entscheidung und erkläre deiner Sitznachbarin oder deinem Sitznachbarn, was du unter Prismen verstehst. Welche dieser Körper sind Prismen? Begründe. Würfel und Quader sind besondere Prismen. Beschreibe ihre Eigenschaften. Erkläre mit eigenen Worten, warum es sich um besondere Prismen handelt. M, B 912 B * Prismen Ein Prisma ist ein Körper mit parallelen, deckungsgleichen Vielecken als Grund- und Deckfläche und einer Mantelfläche. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche ist die Körperhöhe h. Die Mantelfläche eines Prismas besteht aus Rechtecken oder Parallelogrammen. Prismen sind Körper, die nach ihrer Grundfläche benannt werden, wie z. B. dreiseitiges Prisma, sechsseitiges Prisma. Prismen können in gerade Prismen und schiefe Prismen unterteilt werden. Ein regelmäßiges Prisma ist ein gerades Prisma mit einer regelmäßigen Figur als Grundfläche (z. B. gleichseitiges Dreieck, Quadrat). gerades Prisma schiefes Prisma h h h Deckfläche Mantelfläche Grundfläche h DI 913 * A B C D E M 914 * Zwischenstopp: Welche dieser Körper sind Prismen? Begründe. DI, B 915 * A B C D E 154 * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Höhe eines geraden und eines schiefen Prismas Baut mit Büchern oder Heften ein gerades und ein schiefes Prisma. a) Was ist die Höhe eines Prismas? b) Bei welchem Prisma stimmt die Höhe mit der Länge der Seitenkante überein? c) Aus welchen Teilflächen besteht die Mantelfläche eines geraden bzw. eines schiefen Prismas? Viele Verpackungen haben die Form eines Prismas. a) Ordne die abgebildeten Verpackungen den Prismen zu. b) Überlegt zu zweit, wozu man so viele unterschiedliche Verpackungen braucht. A B C D E F Körper dreiseitiges Prisma vierseitiges Prisma mehrseitiges Prisma kein Prisma Verpackung Kreuze zutreffende Aussagen an. gerades Prisma schiefes Prisma kein Prisma A Die Grund- und die Deckfläche sind zueinander parallel. B Die Höhe des Körpers steht normal auf die Grundfläche. C Alle Seitenkanten sind zueinander parallel. D Die Seitenflächen sind Dreiecke. E Alle Seitenflächen sind Rechtecke. F Der Körper hat so viele Seitenflächen, wie die Grundfläche Ecken hat. G Alle Seitenflächen stehen auf die Grundfläche normal. M, B 916 C M, DI, B 917 B Zwischenstopp: Bemale die Grundfläche und die Deckfläche. Kennzeichne die Höhe rot. O, DI 918 A B C D E F G DI 919 155 Prismen und Pyramiden Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Lernen 53 Schrägrisse von Prismen Lisa und Paul wollen die Leseecke zeichnen. a) Was müssen sie dabei beachten? b) Versuche, ein würfelförmiges und ein quaderförmiges Sitzelement zu skizzieren. Fertige eine Handskizze und eine Konstruktion eines Würfels im Schrägriss an: v = 1 _ 2 , von oben rechts (α = 45°) und links (α = 135°). a) a = 6 cm b) a = 4,8 cm c) a = 36 mm Fertige eine Handskizze und eine Konstruktion eines Quaders im Schrägriss an: v = 1 _ 2 , von oben rechts (α = 45°) und links (α = 135°). a) a = 5 cm; b = 3 cm; h = 4 cm; b) a = 3 cm; b = 4 cm; h = 75 mm Konstruiere die Siegerpodeste im Frontalriss mit α = 45°; v = 1 _ 2 , ins Heft und mit GeoGebra. Es besteht aus zwei Quadern und einem Würfel mit jeweils gleicher Grundfläche. Der mittlere Quader ist um die Hälfte höher als der Würfel, der rechte Quader ist um die Hälfte niedriger als der Würfel. Wie groß sind die Siegerpodeste in Wirklichkeit bei einem Maßstab von 1 : 15? M 920 Schrägriss von Prismen Um einen Körper einfach und anschaulich als Zeichnung darzustellen, nutzt man den Schrägriss. Dabei wird nur die Vorder- und Hinterfläche in wahrer Größe und mit richtigen Winkeln dargestellt. Alle anderen Flächen werden verzerrt dargestellt. Alle schräg verlaufenden Kanten werden in einem bestimmten Neigungswinkel α und verkürzt um das Verzerrungsverhältnis v dargestellt. Nicht sichtbare Kanten werden strichliert. Meistens verwendet man die Obersicht von rechts: α = 45°, v = 1 _ 2 . Obersicht von links α = 135° Obersicht von rechts α = 45° v v Hinterfläche Vorderfläche α α Deckfläche und linke Seitenfläche sind sichtbar. α α v v Deckfläche und rechte Seitenfläche sind sichtbar. Diese Darstellung wird auch Frontalriss oder Kavalierriss genannt. Für Handskizzen ist ein Karo-Papier sehr vorteilhaft. Zwei Kanten liegen auf den Karolinien und die dritte Kante verläuft in Richtung der KaroDiagonalen. O 921 O 922 Zwischenstopp: Fertige eine Handskizze und eine Konstruktion im Schrägriss an: v = 1 _ 2 , von oben rechts (α = 45°) und links (α = 135°). a) Würfel: a = 28 mm b) Quader: a = 7 cm; b = 0,5 dm und h = 32 mm O 923 M, O, DI 924 156 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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