Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Das lerne ich: Wie man sich in der Zeichenebene mit einem Koordinatensystem orientieren kann. Wie symmetrische Figuren aussehen und wie man sie zeichnen kann. Welche Eigenschaften punkt- und achsensymmetrische Figuren haben. Wie eine senkrechte Gerade nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Wie ein Winkel mit Zirkel und Lineal halbiert werden kann. Wie bestimmte Winkel zusammenhängen und miteinander verwandt sind. Wo stehe ich? Ich kann … … senkrechte und parallele Linien unterscheiden. … Kreise und Kreismuster zeichnen. … Winkel messen und ihre Größe angeben. … einfache Winkel konstruieren. … die Winkelart eines Winkels bestimmen. Geometrische Grundlagen 4 Überprüfe deine Einschätzung! Das Foto zeigt die Fassade des berühmten Hauses „Wienzeile Nr. 40“. a) Zeichne drei Paar zueinander parallele Linien mit blauer Farbe und drei Paar aufeinander normal stehende Linien mit roter Farbe ein. Kennzeichne den rechten Winkel. b) Suche im Internet ein Foto vom Haus in der Wienzeile und markiere diese Linien digital. a) Zeichne diese Kreise zuerst mit dem Zirkel und danach mit deinem digitalen Gerät. Gestalte das Kreismuster mit Farbe. b) Ergänze beliebig viele Kreise und entwirf ein größeres Kreismuster. Welchen Winkel schließen die Zeiger der Uhr ein? Schätze zuerst und miss danach genau. Konstruiere die Winkel a) α = 25° und b) β = 165° in deinem Heft und bestimme die Winkelart. Linksdrehung oder Rechtsdrehung? a) Aufschrauben eines Flaschenverschlusses b) Zudrehen eines Wasserhahns c) Lockern einer Schraube d) Ausschrauben einer Glühbirne M 466 ô 4 1 2 3 O 467 ô M 468 a = d = g = b = a g b d M 469 DI 470 Oft beginnt ein Schachspiel mit dem Zug weiß von E2 auf E4. Schwarz antwortet mit E7–E5. Was bedeuten diese Angaben der Eröffnungsstrategie einer Schachpartie? a) Zeichne mit Pfeilen ein, wo sich diese beiden Figuren hinbewegen. Notiere deine Gedanken in dein Heft. b) Gib die Position der vier Springer an. Das abgebildete Fachwerkhaus ist eine Besonderheit. Es besteht aus einem Holzgerüst, das mit Mauerwerk ausgefüllt wird. Betrachte die Holzpfosten. a) Welche Winkelarten kannst du auf dem Foto erkennen? b) Zeichne einen Winkel jeder Winkelart mit einem anderen Buntstift ein. c) Welche Winkelarten sind für ein Fachwerkhaus nicht zweckmäßig? Stadtgestaltung und Geometrie – wie lässt sich das kombinieren? Betrachte den Stadtplan von Neuf-Brisach. a) Welche geometrischen Besonderheiten fallen dir auf? b) Welchen Vorteil hat diese Stadtgestaltung? Zwei Orte A und B errichten gemeinsam ein Schwimmbad, das von den beiden Orten gleich weit entfernt liegt. Konstruiere mögliche Standorte. Berate dich mit einer Partnerin oder einem Partner. M 471 B * M 472 M 473 C M 474 B 74 75 Geometrische Grundlagen * Sprachliche Bildung Ó GZ-Material 39cr78 4 Lernen Lernen 22 Kartesisches Koordinatensystem Drei Tage vor dem Popkonzert sind in der Zelthalle nur noch einzelne Sitzplätze frei. a) Wie viele freie Plätze erkennst du auf dem Bild? b) Wie viele Sitzplätze sind schon verkauft? c) Beschreibe die Lage der freien Plätze. d) Die Ticketverkäuferin hat die freien Plätze so notiert. Kannst du diese Notiz erklären? noch frei: (1 | 4), (2 | 1), (3 | 5), (5 | 2) a) Wo sind die Schätze versteckt? b) Beschrifte die Punkte im Koordinatensystem: A (5 | 1), B (7 | 7), C (3 | 5), D (1 | 2), E (6 | 4), F (4 | 6) a) Ordne die folgenden Koordinaten den abgebildeten Punkten zu: (5 | 1), (6 | 4), (1 | 2), (4 | 0), (0 | 1), (3 | 3) b) Trage die Punkte X (1 | 1), Y (1 | 0) und Z (6 | 3) zusätzlich in das Koordinatensystem ein. 1234567891011 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 frei belegt M 475 Kartesisches Koordinatensystem Um die Lage von Punkten genau angeben zu können, verwendet man ein Koordinatensystem. Es besteht aus zwei Zahlenstrahlen, die senkrecht aufeinander stehen. Der waagrechte Zahlenstrahl heißt x-Achse. Der senkrechte Zahlenstrahl heißt y-Achse. Der Schnittpunkt der beiden Achsen heißt Nullpunkt oder Ursprung. Jeder Punkt hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Zum Punkt P gehört das Zahlenpaar (1 | 4), man schreibt P (1 | 4). Das bedeutet, man geht vom Ursprung zuerst eine Einheit nach rechts und dann vier Einheiten nach oben. Der Punkt S lautet S (3 | 5). Einem Punkt wird ein x-Wert und ein y-Wert zugeordnet. 0 1 2 3 4 5 4 5 3 2 1 y x P (1|4) S (3|5) y-Koordinate x-Koordinate y-Koordinate x-Koordinate M, DI 476 0 123456789 4 5 6 7 8 3 2 1 y x E A D C B F 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 y x DI 477 Aus der Geschichte: Zuordnen heißt auf Lateinisch coordinare. Nachdem der französische Mathematiker René Descartes das Koordinatensystem bekannt gemacht hat, wird es als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet. a) Zeichne ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) in dein Heft und beschrifte die Achsen. Die beiden Achsen sind jeweils 7 cm lang. b) Trage die Punkte ein: A (1 | 3), B (4 | 1), C (7 | 3), D (4 | 6). Verbinde sie nach dem Alphabet. a) Zeichne ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) in dein Heft und trage folgende Punkte ein: G (2 | 6), F (2 | 0), E (5 | 0), H (3 | 6), I (3 | 1), J (5 | 1). b) Verbinde die Punkte nach dem Alphabet und den letzten Punkt mit dem ersten. Welchen Buchstaben erhältst du? c) Löse diese Aufgabe nun mit GeoGebra auf deinem digitalen Gerät. Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) ein und verbinde sie nach dem Alphabet zu einem geschlossenen Streckenzug: P (1 | 5), Q (2 | 5), R (2 | 1), S (5 | 1), T (7 | 5), U (3 | 3), V (3 | 6), W (2 | 6). Trage die Punkte A (2 |1), B (6 |1), C (6 | 4) und D (2 | 4) in ein passendes Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem geschlossenen Streckenzug. Überlege zuerst im Kopf, welche Figur entsteht und zeichne die Figur danach mit GeoGebra auf deinem digitalen Gerät. Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. a) Konstruiere ein Rechteck ABCD mit A (1 | 1), B (6 | 1) und C (6 | 4). b) Konstruiere ein Quadrat ABCD mit A (1 | 2) und B (4 | 2). c) Löse die Aufgaben a) und b) digital mit GeoGebra. Zwischenstopp: a) Schreibe die Koordinaten der abgebildeten Punkte auf. b) Zeichne die Punkte G (1 | 0), H (4 | 3) und I (4 | 4) ein. DI 478 C D F A B E 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 y x Koordinatensystem zeichnen: 1. Überlege zuerst, wie viel Platz du nach rechts und nach oben brauchst. Achte dabei auf die Koordinaten. 2. Zeichne die x-Achse. 3. Zeichne die y-Achse. 4. Markiere die Einheiten. ( __ 01 = Einheitsstrecke) 5. Zeichne den Punkt ein. O 479 O 480 ô * O 481 M, O 482 ô * O 483 ô * Zwischenstopp: a) Zeichne folgende Punkte in ein passendes Koordinatensystem ein: A (4 | 1), B (6 | 5), C (4 | 6), D (2 | 5). Verbinde sie nach dem Alphabet zu einer geschlossenen Figur. b) Erkläre den Unterschied zwischen den Punkten A (4 |1) und E (1 | 4). O, DI 484 * * 76 77 Geometrische Grundlagen * Informatische Bildung ** Sprachliche Bildung Ó Arbeitsblatt 34w7s7 M Arbeitsheft Seite 37 Ó Videoclip 2r5c5r Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 2. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 220 bis 227 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 240 bis 244 erklärt. Verbinden Zusammenfassen 8 Parkettierung In der Mathematik versteht man unter einer Parkettierung ein lückenloses und überlappungsfreies Abdecken einer Fläche mit gleichförmigen Teilflächen. Forscheraufgabe Zeichnet folgende Vier- und Vielecke 4 Mal auf ein Blatt Papier und schneidet sie aus. 1 Rechteck: a = 8 cm, b = 4 cm 2 Quadrat: a = 4 cm 3 Raute: a = 4 cm, α = 45° 4 Parallelogramm: a = 8 cm, b = 4 cm, α = 45° 5 gleichschenkliges Trapez: a = 8 cm, b = 5 cm, α = 60° 6 regelmäßiges Sechseck: r = 4 cm 7 regelmäßiges Achteck: r = 4 cm 8 regelmäßiges Fünfeck: r = 4 cm a) Probiert aus, ob man mit jeder einzelnen Figur Flächen lückenlos und überlappungsfrei auslegen kann. b) Legt drei verschiedene Parkettmuster mit zwei verschiedenen Figuren. c) Gelingt ein Parkett mit regelmäßigen Fünfecken? d) Gelingt ein Parkett mit regelmäßigen Achtecken? e) Gelingt ein Parkett mit regelmäßigen Sechsecken? f) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Parkett möglich ist? Begründet eure Ideen. Erfinde Parkettmuster und zeichne sie in den Raster. M, O, B 1007 B M, O 1008 Zusammenfassung Quadrat • Umfang: u = 4 · a • Flächeninhalt: A = a · a oder A = d · d ___ 2 Rechteck • Umfang Rechteck: u = 2 · (a + b) • Flächeninhalt Rechteck: A = a · b Parallelogramm • Umfang: u = 2 · (a + b) • Flächeninhalt: A = a · ha oder A = b · hb Raute • Umfang: u = 4 · a • Flächeninhalt: A = a · h oder A = e · f ___ 2 Deltoid • Umfang: u = 2 · (a + b) • Flächeninhalt: A = e · f ___ 2 Trapez • Umfang: u = a + b + c + d • Flächeninhalt: A = (a + c) · h ______ 2 allgemeines Viereck • Umfang: u = a + b + c + d • Wird in berechenbare Teilflächen zerlegt. Flächeninhalt: A = A1 + A2 +… + An 2 Diagonalen 4 Symmetrieachsen Inkreis und Umkreis a d d a s s s s 2 Diagonalen 2 Symmetrieachsen Umkreis a d d b s s 2 Diagonalen a e f b ha hb 2 Diagonalen 2 Symmetrieachsen Inkreis a a f e h 2 Diagonalen 1 Symmetrieachse Inkreis b b a a f s e 2 Diagonalen nur das gleichschenklige Trapez hat eine Symmetrieachse und einen Umkreis a b d e f c a A1 A2 A3 A4 b c d 174 175 Vierecke Geometrische Grundlagen Überprüfen Überprüfen 4 Das kann ich! Ich kann im kartesischen Koordinatensystem Punkte eintragen und ablesen. Zeichne folgende Punkte in das Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) ein und verbinde sie in der angegebenen Reihenfolge. Jede Übungsaufgabe ergibt einen Buchstaben. Finde das Lösungswort. a) P 1 (1 | 1), P 2 (1 | 5), P 3 (3 | 5), P 4 (1 | 3), P 5 (3 | 3). Die Strecke P 3 P 4 nicht einzeichnen. b) P 7 (4 | 1), P 8 (4 | 5) c) P 9 (6 | 1), P 10 (6 | 5), P 11 (5 | 5), P 12 (7 | 5) Lösungswort: Sarah sind beim Zeichnen von Koordinatensystemen und Punkten Fehler passiert. Finde diese, korrigiere sie und notiere Stichworte zu den Fehlern. a) b) c) d) Ich kann geometrische Figuren im Koordinatensystem zeichnen und verschieben. Zeichne ein Rechteck und trage die Punkte A (–8 | 3), B (–2 |1), C (–1 | 4) in ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) ein. a) Welche Koordinaten hat der Punkt D? b) In welchem Quadranten liegt das Rechteck? c) In welchem Punkt schneiden sich die Diagonalen? Zeichne die Punkte A (2 | 3), B (–2 | 2) und C (–1 | –2) in ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm). Verbinde die Punkte und vervollständige die Figur zu einem Quadrat. a) Welche Koordinaten hat der Punkt D? b) Verschiebe die Punkte um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach unten. Gib die Koordinaten der neuen Punkte an. Überprüfe die Punkte rechnerisch. c) In welchem Quadranten liegt das verschobene Quadrat? O 579 0 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 y x 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 y x 0 1 2 3 1 2 y x 0 1 2 3 1 2 3 4 5 y x 0 1 2 1 2 y x a) b) c) d) P(2|1) P(3|2) DI 580 O 581 O 582 Wie viele Symmetrieachsen haben diese Figuren? Zeichne sie ein. a) b) c) a) Ergänze zu einer achsensymmetrischen Figur. b) Spiegle die Figur an der Symmetrieachse. Zeichne das Punktspiegelbild eines Vierecks mit den Eckpunkten A (7|7), B (10 | 4), C (10 | 6) und D (9 |7) mit dem Drehpunkt E (5 | 5). Gib die Koordinaten der neuen Punkte an. Ich kann Winkel messen und zeichnen und die Winkelart angeben. Miss die Winkel und gib jeweils die Winkelart an. Bestimme die Größe der Winkel α und β ohne zu messen. Um welche Winkelarten handelt es sich? Ich kann die Strecken- und die Winkelsymmetrale mit Zirkel und Lineal konstruieren. Konstruiere zur Strecke __ CD = 87 mm die dazugehörige Streckensymmetrale. Zeichne den Winkel β = 114° und konstruiere die Winkelsymmetrale. Ein Gärtner soll in einer Parkanlage einen kreisförmigen Springbrunnen errichten. Der Mittelpunkt des Springbrunnens soll von allen drei Seiten des Parks gleich weit entfernt sein. Wähle einen geeigneten Maßstab und konstruiere die Lösung. O 583 O 584 E F G H M I D C N O J K L P S Q R O 585 O, DI 586 a = d = b = d b a a) b) c) 115° g h h g a) a b 67° b) a b DI 587 O 588 O 589 82 m 96 m 64 m M, O 590 96 97 M Arbeitsheft Seite 46–47 Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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