Schritt für Schritt Mathematik 2
Schritt für Schritt Mathematik 2, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer: 215979 Schritt für Schritt Mathematik 2, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 215981 Schritt für Schritt Mathematik 2, Schulbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 215983 Schritt für Schritt Mathematik 2, Schulbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 215982 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 9. Februar 2024, Geschäftszahl 2023-0.196.568, gemäß 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 2. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: Matthias Pflügner, Berlin Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Technische Zeichnungen: Arnold & Domnick, Leipzig Illustrationen: Matthias Pflügner, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11429-7 (Schritt für Schritt Mathematik SB 2 + E-Book) ISBN 978-3-209-11445-7 (Schritt für Schritt Mathematik SB 2 + E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12909-3 (Schritt für Schritt Mathematik SB 2 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-12910-9 (Schritt für Schritt Mathematik SB 2 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Schritt für Schritt Mathematik 2 Maria Brandhofer Sabine Mader Renate Marounek Irene Messerer Eva Pongratz Eva Schildt-Messerer Heidi Schimpl unter Mitarbeit von Marie-Hélène Fisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Das lerne ich: Wie man sich in der Zeichenebene mit einem Koordinatensystem orientieren kann. Wie symmetrische Figuren aussehen und wie man sie zeichnen kann. Welche Eigenschaften punkt- und achsensymmetrische Figuren haben. Wie eine senkrechte Gerade nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Wie ein Winkel mit Zirkel und Lineal halbiert werden kann. Wie bestimmte Winkel zusammenhängen und miteinander verwandt sind. Wo stehe ich? Ich kann … … senkrechte und parallele Linien unterscheiden. … Kreise und Kreismuster zeichnen. … Winkel messen und ihre Größe angeben. … einfache Winkel konstruieren. … die Winkelart eines Winkels bestimmen. Geometrische Grundlagen 4 Überprüfe deine Einschätzung! Das Foto zeigt die Fassade des berühmten Hauses „Wienzeile Nr. 40“. a) Zeichne drei Paar zueinander parallele Linien mit blauer Farbe und drei Paar aufeinander normal stehende Linien mit roter Farbe ein. Kennzeichne den rechten Winkel. b) Suche im Internet ein Foto vom Haus in der Wienzeile und markiere diese Linien digital. a) Zeichne diese Kreise zuerst mit dem Zirkel und danach mit deinem digitalen Gerät. Gestalte das Kreismuster mit Farbe. b) Ergänze beliebig viele Kreise und entwirf ein größeres Kreismuster. Welchen Winkel schließen die Zeiger der Uhr ein? Schätze zuerst und miss danach genau. Konstruiere die Winkel a) α = 25° und b) β = 165° in deinem Heft und bestimme die Winkelart. Linksdrehung oder Rechtsdrehung? a) Aufschrauben eines Flaschenverschlusses b) Zudrehen eines Wasserhahns c) Lockern einer Schraube d) Ausschrauben einer Glühbirne M 466 ô 4 1 2 3 O 467 ô M 468 a = d = g = b = a g b d M 469 DI 470 Oft beginnt ein Schachspiel mit dem Zug weiß von E2 auf E4. Schwarz antwortet mit E7–E5. Was bedeuten diese Angaben der Eröffnungsstrategie einer Schachpartie? a) Zeichne mit Pfeilen ein, wo sich diese beiden Figuren hinbewegen. Notiere deine Gedanken in dein Heft. b) Gib die Position der vier Springer an. Das abgebildete Fachwerkhaus ist eine Besonderheit. Es besteht aus einem Holzgerüst, das mit Mauerwerk ausgefüllt wird. Betrachte die Holzpfosten. a) Welche Winkelarten kannst du auf dem Foto erkennen? b) Zeichne einen Winkel jeder Winkelart mit einem anderen Buntstift ein. c) Welche Winkelarten sind für ein Fachwerkhaus nicht zweckmäßig? Stadtgestaltung und Geometrie – wie lässt sich das kombinieren? Betrachte den Stadtplan von Neuf-Brisach. a) Welche geometrischen Besonderheiten fallen dir auf? b) Welchen Vorteil hat diese Stadtgestaltung? Zwei Orte A und B errichten gemeinsam ein Schwimmbad, das von den beiden Orten gleich weit entfernt liegt. Konstruiere mögliche Standorte. Berate dich mit einer Partnerin oder einem Partner. M 471 B * M 472 M 473 C M 474 B 74 75 Geometrische Grundlagen * Sprachliche Bildung Ó GZ-Material 39cr78 4 Lernen Lernen 22 Kartesisches Koordinatensystem Drei Tage vor dem Popkonzert sind in der Zelthalle nur noch einzelne Sitzplätze frei. a) Wie viele freie Plätze erkennst du auf dem Bild? b) Wie viele Sitzplätze sind schon verkauft? c) Beschreibe die Lage der freien Plätze. d) Die Ticketverkäuferin hat die freien Plätze so notiert. Kannst du diese Notiz erklären? noch frei: (1 | 4), (2 | 1), (3 | 5), (5 | 2) a) Wo sind die Schätze versteckt? b) Beschrifte die Punkte im Koordinatensystem: A (5 | 1), B (7 | 7), C (3 | 5), D (1 | 2), E (6 | 4), F (4 | 6) a) Ordne die folgenden Koordinaten den abgebildeten Punkten zu: (5 | 1), (6 | 4), (1 | 2), (4 | 0), (0 | 1), (3 | 3) b) Trage die Punkte X (1 | 1), Y (1 | 0) und Z (6 | 3) zusätzlich in das Koordinatensystem ein. 1234567891011 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 frei belegt M 475 Kartesisches Koordinatensystem Um die Lage von Punkten genau angeben zu können, verwendet man ein Koordinatensystem. Es besteht aus zwei Zahlenstrahlen, die senkrecht aufeinander stehen. Der waagrechte Zahlenstrahl heißt x-Achse. Der senkrechte Zahlenstrahl heißt y-Achse. Der Schnittpunkt der beiden Achsen heißt Nullpunkt oder Ursprung. Jeder Punkt hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Zum Punkt P gehört das Zahlenpaar (1 | 4), man schreibt P (1 | 4). Das bedeutet, man geht vom Ursprung zuerst eine Einheit nach rechts und dann vier Einheiten nach oben. Der Punkt S lautet S (3 | 5). Einem Punkt wird ein x-Wert und ein y-Wert zugeordnet. 0 1 2 3 4 5 4 5 3 2 1 y x P (1|4) S (3|5) y-Koordinate x-Koordinate y-Koordinate x-Koordinate M, DI 476 0 123456789 4 5 6 7 8 3 2 1 y x E A D C B F 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 y x DI 477 Aus der Geschichte: Zuordnen heißt auf Lateinisch coordinare. Nachdem der französische Mathematiker René Descartes das Koordinatensystem bekannt gemacht hat, wird es als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet. a) Zeichne ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) in dein Heft und beschrifte die Achsen. Die beiden Achsen sind jeweils 7 cm lang. b) Trage die Punkte ein: A (1 | 3), B (4 | 1), C (7 | 3), D (4 | 6). Verbinde sie nach dem Alphabet. a) Zeichne ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) in dein Heft und trage folgende Punkte ein: G (2 | 6), F (2 | 0), E (5 | 0), H (3 | 6), I (3 | 1), J (5 | 1). b) Verbinde die Punkte nach dem Alphabet und den letzten Punkt mit dem ersten. Welchen Buchstaben erhältst du? c) Löse diese Aufgabe nun mit GeoGebra auf deinem digitalen Gerät. Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) ein und verbinde sie nach dem Alphabet zu einem geschlossenen Streckenzug: P (1 | 5), Q (2 | 5), R (2 | 1), S (5 | 1), T (7 | 5), U (3 | 3), V (3 | 6), W (2 | 6). Trage die Punkte A (2 |1), B (6 |1), C (6 | 4) und D (2 | 4) in ein passendes Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem geschlossenen Streckenzug. Überlege zuerst im Kopf, welche Figur entsteht und zeichne die Figur danach mit GeoGebra auf deinem digitalen Gerät. Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. a) Konstruiere ein Rechteck ABCD mit A (1 | 1), B (6 | 1) und C (6 | 4). b) Konstruiere ein Quadrat ABCD mit A (1 | 2) und B (4 | 2). c) Löse die Aufgaben a) und b) digital mit GeoGebra. Zwischenstopp: a) Schreibe die Koordinaten der abgebildeten Punkte auf. b) Zeichne die Punkte G (1 | 0), H (4 | 3) und I (4 | 4) ein. DI 478 C D F A B E 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 y x Koordinatensystem zeichnen: 1. Überlege zuerst, wie viel Platz du nach rechts und nach oben brauchst. Achte dabei auf die Koordinaten. 2. Zeichne die x-Achse. 3. Zeichne die y-Achse. 4. Markiere die Einheiten. ( __ 01 = Einheitsstrecke) 5. Zeichne den Punkt ein. O 479 O 480 ô * O 481 M, O 482 ô * O 483 ô * Zwischenstopp: a) Zeichne folgende Punkte in ein passendes Koordinatensystem ein: A (4 | 1), B (6 | 5), C (4 | 6), D (2 | 5). Verbinde sie nach dem Alphabet zu einer geschlossenen Figur. b) Erkläre den Unterschied zwischen den Punkten A (4 |1) und E (1 | 4). O, DI 484 * * 76 77 Geometrische Grundlagen * Informatische Bildung ** Sprachliche Bildung Ó Arbeitsblatt 34w7s7 M Arbeitsheft Seite 37 Ó Videoclip 2r5c5r Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 2. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 220 bis 227 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 240 bis 244 erklärt. Verbinden Zusammenfassen 8 Parkettierung In der Mathematik versteht man unter einer Parkettierung ein lückenloses und überlappungsfreies Abdecken einer Fläche mit gleichförmigen Teilflächen. Forscheraufgabe Zeichnet folgende Vier- und Vielecke 4 Mal auf ein Blatt Papier und schneidet sie aus. 1 Rechteck: a = 8 cm, b = 4 cm 2 Quadrat: a = 4 cm 3 Raute: a = 4 cm, α = 45° 4 Parallelogramm: a = 8 cm, b = 4 cm, α = 45° 5 gleichschenkliges Trapez: a = 8 cm, b = 5 cm, α = 60° 6 regelmäßiges Sechseck: r = 4 cm 7 regelmäßiges Achteck: r = 4 cm 8 regelmäßiges Fünfeck: r = 4 cm a) Probiert aus, ob man mit jeder einzelnen Figur Flächen lückenlos und überlappungsfrei auslegen kann. b) Legt drei verschiedene Parkettmuster mit zwei verschiedenen Figuren. c) Gelingt ein Parkett mit regelmäßigen Fünfecken? d) Gelingt ein Parkett mit regelmäßigen Achtecken? e) Gelingt ein Parkett mit regelmäßigen Sechsecken? f) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Parkett möglich ist? Begründet eure Ideen. Erfinde Parkettmuster und zeichne sie in den Raster. M, O, B 1007 B M, O 1008 Zusammenfassung Quadrat • Umfang: u = 4 · a • Flächeninhalt: A = a · a oder A = d · d ___ 2 Rechteck • Umfang Rechteck: u = 2 · (a + b) • Flächeninhalt Rechteck: A = a · b Parallelogramm • Umfang: u = 2 · (a + b) • Flächeninhalt: A = a · ha oder A = b · hb Raute • Umfang: u = 4 · a • Flächeninhalt: A = a · h oder A = e · f ___ 2 Deltoid • Umfang: u = 2 · (a + b) • Flächeninhalt: A = e · f ___ 2 Trapez • Umfang: u = a + b + c + d • Flächeninhalt: A = (a + c) · h ______ 2 allgemeines Viereck • Umfang: u = a + b + c + d • Wird in berechenbare Teilflächen zerlegt. Flächeninhalt: A = A1 + A2 +… + An 2 Diagonalen 4 Symmetrieachsen Inkreis und Umkreis a d d a s s s s 2 Diagonalen 2 Symmetrieachsen Umkreis a d d b s s 2 Diagonalen a e f b ha hb 2 Diagonalen 2 Symmetrieachsen Inkreis a a f e h 2 Diagonalen 1 Symmetrieachse Inkreis b b a a f s e 2 Diagonalen nur das gleichschenklige Trapez hat eine Symmetrieachse und einen Umkreis a b d e f c a A1 A2 A3 A4 b c d 174 175 Vierecke Geometrische Grundlagen Überprüfen Überprüfen 4 Das kann ich! Ich kann im kartesischen Koordinatensystem Punkte eintragen und ablesen. Zeichne folgende Punkte in das Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) ein und verbinde sie in der angegebenen Reihenfolge. Jede Übungsaufgabe ergibt einen Buchstaben. Finde das Lösungswort. a) P 1 (1 | 1), P 2 (1 | 5), P 3 (3 | 5), P 4 (1 | 3), P 5 (3 | 3). Die Strecke P 3 P 4 nicht einzeichnen. b) P 7 (4 | 1), P 8 (4 | 5) c) P 9 (6 | 1), P 10 (6 | 5), P 11 (5 | 5), P 12 (7 | 5) Lösungswort: Sarah sind beim Zeichnen von Koordinatensystemen und Punkten Fehler passiert. Finde diese, korrigiere sie und notiere Stichworte zu den Fehlern. a) b) c) d) Ich kann geometrische Figuren im Koordinatensystem zeichnen und verschieben. Zeichne ein Rechteck und trage die Punkte A (–8 | 3), B (–2 |1), C (–1 | 4) in ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm) ein. a) Welche Koordinaten hat der Punkt D? b) In welchem Quadranten liegt das Rechteck? c) In welchem Punkt schneiden sich die Diagonalen? Zeichne die Punkte A (2 | 3), B (–2 | 2) und C (–1 | –2) in ein Koordinatensystem ( __ 01 = 1 cm). Verbinde die Punkte und vervollständige die Figur zu einem Quadrat. a) Welche Koordinaten hat der Punkt D? b) Verschiebe die Punkte um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach unten. Gib die Koordinaten der neuen Punkte an. Überprüfe die Punkte rechnerisch. c) In welchem Quadranten liegt das verschobene Quadrat? O 579 0 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 y x 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 y x 0 1 2 3 1 2 y x 0 1 2 3 1 2 3 4 5 y x 0 1 2 1 2 y x a) b) c) d) P(2|1) P(3|2) DI 580 O 581 O 582 Wie viele Symmetrieachsen haben diese Figuren? Zeichne sie ein. a) b) c) a) Ergänze zu einer achsensymmetrischen Figur. b) Spiegle die Figur an der Symmetrieachse. Zeichne das Punktspiegelbild eines Vierecks mit den Eckpunkten A (7|7), B (10 | 4), C (10 | 6) und D (9 |7) mit dem Drehpunkt E (5 | 5). Gib die Koordinaten der neuen Punkte an. Ich kann Winkel messen und zeichnen und die Winkelart angeben. Miss die Winkel und gib jeweils die Winkelart an. Bestimme die Größe der Winkel α und β ohne zu messen. Um welche Winkelarten handelt es sich? Ich kann die Strecken- und die Winkelsymmetrale mit Zirkel und Lineal konstruieren. Konstruiere zur Strecke __ CD = 87 mm die dazugehörige Streckensymmetrale. Zeichne den Winkel β = 114° und konstruiere die Winkelsymmetrale. Ein Gärtner soll in einer Parkanlage einen kreisförmigen Springbrunnen errichten. Der Mittelpunkt des Springbrunnens soll von allen drei Seiten des Parks gleich weit entfernt sein. Wähle einen geeigneten Maßstab und konstruiere die Lösung. O 583 O 584 E F G H M I D C N O J K L P S Q R O 585 O, DI 586 a = d = b = d b a a) b) c) 115° g h h g a) a b 67° b) a b DI 587 O 588 O 589 82 m 96 m 64 m M, O 590 96 97 M Arbeitsheft Seite 46–47 Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin bzw. dein Lehrer passgenaue Verweise auf digitale Zusatzmaterialien. Android iOS QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Die Aufgaben auf einen Blick Aufgaben mit diesem Zeichen helfen dir, Fachwissen zu erwerben und Grundfertigkeiten zu erlernen. Bei diesen Aufgaben kannst du dein erworbenes Fachwissen und deine erlernten Grundfertigkeiten anwenden. Diese Aufgaben gehen über die Grundfertigkeiten hinaus. Dabei kann es notwendig sein, dass du zusätzliche Informationen benötigst, wie z.B. aus dem Internet. Diese Aufgaben sind für eine Gruppenarbeit geeignet. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben bearbeitest du mit einem digitalen Gerät. C B ô Kompetenzmodell Kompetenzbereiche Prozesse Zahlen und Maße M: Modellieren und Problemlösen Variablen und Funktionen O: Operieren (Rechnen und Konstruieren) Figuren und Körper DI: Darstellen und Interpretieren Daten und Zufall B: Vermuten und Begründen Die Kompetenzbereiche werden im Inhaltsverzeichnis den Abschnitten bzw. den Kapiteln zugeordnet. Die Abkürzungen für die Prozesse befinden sich direkt unter der Aufgabennummer. Mit den übergreifenden Themen wird vernetztes Lernen über die fachspezifischen Grenzen hinaus unterstützt. Dazu zählen Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Entrepreneurship Education, Gesundheitsförderung, Informatische Bildung, Interkulturelle Bildung, Medienbildung, Politische Bildung, Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, Sexualpädagogik, Sprachliche Bildung und Lesen, Umweltbildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung sowie Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung. Ein * bei der Aufgabennummer verweist in der Fußzeile auf das entsprechende Thema. www.oebv.at Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt 39a8z7 Online-Code 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Basiswissen 1. Klasse – Rechnen 10 2 Basiswissen 1. Klasse – Geometrie 13 Das kann ich! 16 3 Teiler und Vielfache einer Zahl 20 4 Teilbarkeitsregeln für 2, 4, 5 und 10 22 5 Teilbarkeitregeln für 3 und 9 24 6 Primzahlen 26 7 Größter gemeinsamer Teiler 28 8 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 30 Thema: Spielen mit Teilern und Vielfachen 32 Zusammenfassung 33 Das kann ich! 34 9 Brüche 38 10 Kürzen und Erweitern 40 11 Brüche ordnen und vergleichen 42 12 Einfaches Rechnen mit Brüchen 44 13 Brüche addieren und subtrahieren 46 14 Brüche multiplizieren 48 15 Brüche dividieren 50 16 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 52 17 Brüche und Dezimalzahlen 54 18 Textaufgaben und Zahlenrätsel 56 Thema: Bruchrechnen für Profis 58 Zusammenfassung 59 Das kann ich! 60 19 Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden 64 20 Ganze Zahlen ordnen und vergleichen 66 21 Bewegung auf der Zahlengeraden 68 Thema: Umgang mit Geld und Schulden 70 Zusammenfassung 71 Das kann ich! 72 Einführung 8 1 Teilbarkeit 18 Bruchrechnen 36 2 Ganze Zahlen 62 3 Inhalt Zentrales fachliches Konzept Zahlen und Maße Figuren und Körper Zahlen und Maße Zahlen und Maße Zahlen und Maße 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 22 Kartesisches Koordinatensystem 76 23 Koordinatensystem mit vier Quadranten 78 24 Geeignete Koordinatensysteme 80 25 Figuren im Koordinatensystem verschieben 82 26 Symmetrische Figuren 84 27 Streckensymmetrale 86 28 Winkel messen und zeichnen 88 29 Winkelsymmetrale 90 30 Winkelpaare 92 Thema: Geometrie-Diktat 94 Zusammenfassung 95 Das kann ich! 96 31 Zuordnungen 100 32 Direkt proportionale Zuordnung 102 33 Schlussrechnungen – direkte Proportionalität 104 34 Indirekt proportionale Zuordnung 106 35 Schlussrechnungen – indirekte Proportionalität 108 36 Vermischte Schlussrechnungen 110 Thema: Eine Erde ist nicht genug – Ökologischer Fußabdruck 112 Zusammenfassung 113 Das kann ich! 114 37 Eigenschaften der Dreiecke 118 38 Dreiecksformen 120 39 Dreiecke konstruieren – SSS und WSW 122 40 Dreiecke konstruieren – SWS und SSW 124 41 Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke 126 42 Rechtwinklige Dreiecke 128 43 Höhen und Höhenschnittpunkt 130 44 Schwerlinien und Schwerpunkt 132 45 Umkreis und Inkreis 134 46 Dreiecke berechnen 136 47 Anwendungen 138 Thema: Eulersche Gerade 140 Zusammenfassung 141 Das kann ich! 142 Geometrische Grundlagen 74 4 5 Proportionalitäten 98 6 Dreiecke 116 Figuren und Körper Zahlen und Maße Figuren und Körper 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
48 Variablen und Terme 146 49 Gleichungen lösen 148 50 Formeln aufstellen und umformen 150 51 Gleichungen im Alltag 152 Thema: Zahlenrätsel 154 Zusammenfassung 155 Das kann ich! 156 52 Rechteck und Quadrat 160 53 Prallelogramm und Raute konstruieren 162 54 Paralleogramm und Raute berechnen 164 55 Deltoid und Trapez konstruieren 166 56 Deltoid und Trapez berechnen 168 57 Vierecke im Überblick 170 58 Vierecke digital konstruieren 172 Thema: Parkettierung 174 Zusammenfassung 175 Das kann ich! 176 59 Anteile vergleichen – Prozente 180 60 Grundbegriffe der Prozentrechnung 182 61 Prozentwert 184 62 Grundwert 186 63 Prozentsatz 188 64 Prozente darstellen 190 65 Rabatt und Skonto 192 Thema: Prozentrechnung in der Naturwissenschaft 194 Zusammenfassung 195 Das kann ich! 196 7 Gleichungen 144 Vierecke 158 8 Prozentrechnen 178 9 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Zahlen und Maße 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 66 Daten sammeln – absolute Häufigkeit 200 67 Daten vergleichen – relative Häufigkeit 202 68 Daten auswerten – Zentralmaße und Kennwerte 204 69 Daten darstellen und interpretieren 206 Thema: Relative Häufigkeit und Baumdiagramme 208 Zusammenfassung 209 Das kann ich! 210 70 Sachverhalte mit der Tabellenkalkulation darstellen 212 71 Berechnungen mit unterschiedlichen Funkionen 214 72 GeoGebra – Einblicke in Classic und Online-Apps 216 73 Konstruieren in GeoGebra 218 Kompetenzcheck für die 2. Klasse 220 Lösungen 228 Glossar 240 Formelsammlung 245 Register 247 Bildnachweis 248 Brüche-Memory Anhang Tangram – Bruchkreisscheiben Anhang Daten 198 10 11 Lernen mit Technologien 212 Daten und Zufall 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Einführung Zurück aus den Ferien … Clara war mit ihren Eltern in London. Sie erzählt: Der Tower of London wurde im 11. Jahrhundert erbaut und war ursprünglich die Residenz der Könige. Seit wie vielen Jahrhunderten gibt es den Tower of London bereits? Das London Eye wurde im Jahr 2000 eröffnet. Es ist 135 m hoch und hat 32 Gondeln. Eine Gondel ist für 25 Personen zugelassen. a) Wie viele Personen haben Platz, wenn alle Gondeln voll besetzt sind? b) Vergleiche das London Eye mit dem Wiener Riesenrad (Höhe 65 m). Um wie viele Meter ist das Wiener Riesenrad niedriger? Wegen starker Windböen ist Claras Gondel statt mit 25 Personen nur zu 4 _ 5 mit Fahrgästen ausgelastet. 3 _ 4 davon sind Erwachsene. Wie viele Kinder waren mit Clara in der Gondel? Erwachsene bezahlen pro Gondelfahrt 32,50 £, Kinder 26 £. Wie viel Euro haben Clara und ihre Eltern für eine Fahrt bezahlt? Recherchiere für die Berechnung den Wechselkurs im Internet. Jonas war mit seinen Eltern am Neusiedler See. Er erzählt: Der Neusiedler See hat eine durchschnittliche Fläche von 285 km2, davon liegen 220 km2 in Österreich. Der Schilfgürtel ist rund 180 km2 groß. a) Wie groß ist die Fläche des Neusiedler Sees, die zu Ungarn gehört? b) Der Wasserstand im August 2022 lag mit 115 cm 23 cm unter jenem des Vorjahres und sogar 70 cm unter dem maximalen Wasserstand im Jahr 1996. Wie hoch war der Wasserstand 2021 und 1996? c) Recherchiere im Internet. Wie lang ist die Radroute von Neusiedl am See nach Illmitz? d) Recherchiere im Internet: Wie lang ist der gesamte Radweg rund um den See? O 1 O 2 O 3 ô ôO 4 * 8 * Umweltbildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Die London Underground ist die älteste U-Bahn der Welt und hat die größte Netzlänge Europas. In der Umgangssprache wird die U-Bahn „Tube“ (Röhre) genannt. Zur Zeit gibt es 11 Linien mit einer gesamten Streckenlänge von 402 km und 270 Stationen. Linie Eröffnung Linientyp Länge in km Stationen Fahrgäste in Mio/Jahr Bakerloo 1906 Röhrenbahn 23,2 25 111,1 Central 1900 Röhrenbahn 74,0 49 260,9 Circle 1884 Großprofil 22,5 27 114,6 District 1868 Großprofil 64,0 60 208,3 Hammersmith & City 1864 Großprofil 26,5 29 114,6 Jubilee 1979 Röhrenbahn 36,2 27 213,6 Metropolitan 1863 Großprofil 66,4 34 66,8 Northern 1890 Röhrenbahn 57,6 51 252,3 Piccadilly 1906 Röhrenbahn 70,4 52 210,2 Victoria 1969 Röhrenbahn 22,5 16 200,0 Waterloo & City 1898 Röhrenbahn 2,4 2 15,8 Quelle: Wikipedia a) Die längste U-Bahn-Linie heißt b) Die kürzeste U-Bahn-Linie heißt c) In welchem Jahr wurde die erste U-Bahn-Linie eröffnet? d) Die jüngste U-Bahn-Linie heißt , sie wurde eröffnet. e) Hat die längste U-Bahn-Linie auch die meisten Stationen? f) Hat die längste U-Bahn-Linie auch die meisten Fahrgäste? g) Warum hat die U-Bahn-Linie Waterloo & City die wenigsten Fahrgäste? h) Berechne den Mittelwert der Länge aller elf U-Bahn-Linien in Kilometer. Erkläre, warum beim Berechnen der Spaltensummen der Spalte „Länge in km“ und „Stationen“ Differenzen zur Angabe von Aufgabe 5 auftreten. O, DI 5 B 6 * 9 Einführung * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 1 Basiswissen 1. Klasse – Rechnen Wo stehe ich? Ich kann … … statistische Daten sammeln, darstellen und beurteilen. … natürliche Zahlen vergleichen und ordnen. … addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. … einfache Gleichungen lösen. … Brüche vergleichen und ordnen. … mit Dezimalzahlen rechnen. … Text- und Anwendungsaufgaben verstehen und bearbeiten. Nach den Ferien berichten die Schülerinnen und Schüler der Klasse 2a wo sie ihren Urlaub verbracht haben. Sie machen eine Strichliste: Urlaub … Anzahl Urlaub … Anzahl … bei Verwandten … zu Hause … am Meer … auf dem Bauernhof a) In der Klasse sind Schülerinnen und Schüler. b) Die meisten Kinder verbrachten ihren Urlaub c) Zeichne ein passendes Säulendiagramm in dein Heft. Zahlenstrahl a) Welche Zahlen sind am Zahlenstrahl markiert? b) Markiere die folgenden Zahlen: 2; 5; 8; 9,5; 12; 15; 18; 20,5 Markiere auf dem Zahlenstrahl: 7 __ 10 ; 0,85; 0,3; 1 _ 4 ; 4 _ 5 ; 0,5; 9 ___ 100 Berechne. a) 36 + (24 − 8) = b) 83 − (2 · 6) = c) 3 · 5 + 2,7 = O, DI 7 O 8 10 0 10 0 O 9 0 _1 2 O 10 10 M Arbeitsheft Seite 4–8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Wie lautet das Ergebnis? a) 8,6 − 2,3 · 1,5 b) (4,2 + 3,6) : 3 c) 25,4 · (18,2 − 5,8) Die Differenz von 14,8 und 2,4 ist durch die Summe von 2,8 und 1,2 zu teilen. Finya wünscht sich ein Fahrrad. Es kostet 795 €. Sie hat schon 580 € gespart. Von ihrem Opa bekommt sie zum Geburtstag 120 €, ihre Tante gibt ihr 60 €. Reicht das Geld? An einem Sommertag waren 235 Personen im Freibad, die eine Tageskarte zu 12 € gekauft haben. Wie viel Euro wurden eingenommen? Ein Kino hat insgesamt 350 Sitzplätze. Wie viele Reihen gibt es, wenn pro Reihe 25 Sitzplätze vorhanden sind? Kreuze die größte vierstellige ungerade Zahl an, die an der Hunderterstelle die Ziffer 5 hat. A 66 565 B 6 656 C 6 565 D 6 555 Der Intercity fährt in Wien um 16:30 Uhr ab und kommt in Linz um 17:45 Uhr an. Wie viel Stunden und Minuten ist er unterwegs? Die 25 Schülerinnen und Schüler der 2b machen eine Projektwoche im Waldviertel. Für die Übernachtung und das Essen muss jedes Kind 165 € bezahlen, die Busfahrt kostet 42 € pro Person. a) Was kostet die Projektwoche für eine Schülerin oder einen Schüler? b) Wie hoch sind die Kosten für die ganze Klasse? Ordne der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Masse. 2,6 kg; 1 kg 400 g; 2 kg 60 g; 1 040 g; 2,006 g Omar denkt sich eine Zahl. Er multipliziert mit 5, dann addiert er 20, dividiert durch 2 und erhält 25. a) Welche Zahl hat sich Omar gedacht? b) Erkläre deinen Lösungsweg. Kontrolliere, ob Livia die Zeichen <, > und = richtig gesetzt hat. Korrigiere die Fehler. a) 7 _ 9 > 5 _ 4 b) 5 __ 10 = 1 _ 2 c) 77 __ 10 < 10 __ 77 d) 2 _ 4 < 10 __ 8 e) 5 __ 10 > 8 __ 12 f) 6 _ 4 = 3 _ 2 Gib vier Brüche zwischen 1 _ 4 und 2 _ 3 an. O 11 O 12 O 13 O 14 O 15 DI 16 O, DI 17 O, DI 18 O 19 O, B 20 O 21 O 22 11 Einführung * Sprachliche Bildung Ó Arbeitsblatt 32j4a9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Färbe den unechten Bruch und die passende gemischte Zahl mit derselben Farbe. Das Diagramm zeigt die zehn größten Städte in Österreich gemessen an der Einwohnerzahl. Kreuze die richtigen Aussagen an. A In Wien leben mehr Menschen als in den anderen neun Städten zusammen. B Es leben doppelt so viele Menschen in Klagenfurt wie in Linz. C Die Einwohnerzahl von Linz ist ungefähr 4-mal so groß wie die von Dornbirn. D In Villach und Wels wohnen fast gleich viele Menschen. Berechne. a) (72 : 8 + 11) − (40 − 15 · 2) = b) 2,5 + (1,6 · 2 − 5,6 : 7) = Kreuze das richtige Ergebnis an. 6 379,5 : 1,5 = A 425,3 B 42,53 C 4 253 D 4,253 Elsa überschlägt die Preise der Waren in ihrem Einkaufskorb: 23,60 €; 12,40 €; 8,20 €; 0,75 €; 10,70 €; 6,40 €. Reichen 50 € für ihren Einkauf? Trinkglas: 0,2 l Packung Vanillemilch: 250 ml Flasche Saft: 3 _ 4 l VANILLE Wie viel Liter enthalten a) 8 Trinkgläser? b) 15 Packungen Vanillemilch? c) 12 Flaschen Saft? Die Brüder Jonas und Patrick bekommen zusammen 100 € Taschengeld. Jonas, der ältere von beiden, erhält 20 € mehr als sein Bruder. Wie viel bekommt jeder? Das Dreifache einer Zahl wird um 45 vermindert und ergibt dann 552. a) Wie lautet die Zahl? b) Erkläre deinen Lösungsweg. O 23 5 _ 4 4 _ 5 1 4 _ 5 4 1 _ 4 3 3 _ 8 1 1 _ 4 9 _ 5 17 __ 4 5 _ 8 27 __ 8 5 _ 9 DI 24 Linz Salzburg 207 254 Klagenfurt 130 596 Villach 102 610 64 098 63 208 56 360 50 333 Wels St. Pölten Dornbirn Innsbruck 155 348 Graz Wien Anzahl der Einwohnerinnen und Einwohner 1 931 830 292 533 Quelle: Statista, 2022 O 25 DI 26 O, B 27 O, DI 28 O-Saft M 29 O, B 30 * 12 M Arbeitsheft Seite 4–8 * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen 2 Basiswissen 1. Klasse – Geometrie Wo stehe ich? Ich kann … … Strecke, Strahl und Gerade unterscheiden und zeichnen. … Normale und Parallele erkennen und zeichnen. … verschiedene Winkel zeichnen und die Winkelart bestimmen. … Quader und Würfel im Schrägriss und deren Netze zeichnen. … Kreise zeichnen und Kreisteile benennen. … Längen messen und umrechnen. … Umfang und Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat bestimmen. … Maße aus der Wirklichkeit in einen Plan und von einem Plan in die Wirklichkeit umrechnen. … Volumen und Oberfläche von Quader und Würfel berechnen. … Flächenmaße und Raummaße umrechnen. Betrachte die Linien und ordne sie zu. Strecke: Strahl: Gerade: Zeichne zwei Normalen zur Geraden g. Zeichne zwei Parallelen zur Geraden h. Zeichne eine Gerade g und eine Parallel zu g durch den Punkt P, für die gilt: Der Abstand d = __ Pgsoll 3,5 cm betragen. O 31 c d f e b a O 32 g O 33 h O 34 13 Einführung M Arbeitsheft Seite 9–11 Ó Arbeitsblatt 32kw2m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Miss die Winkel ab und nenne die Winkelart. Setze das Muster fort. Zeichne die Figur. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. a) Rechteck: a = 7,5 cm; b = 4,7 cm b) Quadrat: a = 6,4 cm Benenne die Kreisteile. a) b) c) r r b M r1 M r2 b s M Rechne in cm um. a) 1 m = cm b) 4,35 m = cm c) 8 cm 3 mm = cm Rechne in m um. a) 5 km 50 m = m b) 7 m 2 mm = m c) 1 _ 4 km = m Wiederhole die Flächenmaße. Beginne mit der größten Einheit und gib die Umrechnungszahl an. Ergänze die Maßeinheiten. a) 6,32 m2 = 6 32 b) 42,05 ha = 42 5 c) 3,245 = 3 km2 24 50 Gib in der geforderten Einheit an. a) 6,5 m3 = dm3 b) 0,25 m3 = cm3 c) 23,5 dm3 = m3 Rechne um. a) 2 l = dm3 b) 23 cm3 = ml c) 247 ml = l d) 17 m3 = hl O 35 α β γ δ ε O 36 O 37 M 38 O 39 O 40 M 41 O 42 O, DI 43 O, DI 44 14 M Arbeitsheft Seite 9–11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Ein Schuhkasten hat die Maße: a = 1,20 m; b = 28 cm; c = 1 m Zeichne den Schrägriss im Maßstab 1 : 20. Konstruiere den Grundriss eines Turnsaales mit 22 m Länge und 16 m Breite im Maßstab 1 : 250. Schreibe zur Würfelgruppe den passenden Bauplan wie im Musterbeispiel. Die Gesamtlänge aller Kanten eines Würfels beträgt 3,12 m. Wie groß ist die Oberfläche bzw. das Volumen dieses Würfels? Wie viele unterschiedliche Quader können aus a) zwölf b) sechzehn Einheitswürfeln zusammengebaut werden? Eine Fruchtsaftpackung ist 9 cm lang, 6 cm breit und 19,5 cm hoch. Reicht das Volumen für einen Liter Saft? Zeichne das Netz a) des Würfels: a = 35 mm b) des Quaders: a = 25 mm, b = 15 mm, c = 4 cm Eine oben offene Kiste ist 1,60 m lang, 80 cm breit und 65 cm hoch. a) Berechne die Oberfläche. b) Berechne das Volumen. Emilio möchte würfelförmige Schachteln mit einer Kantenlänge von 5 cm in einem Karton mit a = 40 cm, b = 25 cm, c = 20 cm verpacken. Wie viele davon haben Platz? Ein Schachbrett hat 64 quadratische Felder mit je 2 cm Seitenlänge. Wie groß ist die gesamte Fläche des Schachbrettes? Ein Mensch benötigt pro Tag rund 2,5 l Trinkwasser. Wie lange reicht 1 m3 Wasser für zwei Menschen? Der Parkplatz einer Firma ist 26,5 m lang und 12,5 m breit. Er bekommt eine neue Betonschicht, die 15 cm dick ist. a) Wie viel Kubikmeter Beton sind dafür notwendig? b) Wie teuer kommt das Betonieren, wenn für 1 m3 55 € verrechnet werden? O, DI 45 O 46 DI 47 M 48 DI 49 M 50 O 51 M 52 M 53 M 54 M 55 M 56 a) b) c) 1 2 3 15 Einführung Ó GZ-Material 38yi3x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Überprüfen Das kann ich! Ich kann schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Beachte die Rechenart und berechne richtig. a) 2 134 + 1 295 b) 7 469 − 3 215 c) 228 · 34 d) 480 : 10 Achte auf das Komma und berechne. a) 523,62 + 84,7 b) 829,55 − 65,12 c) 7,3 · 5,4 d) 21,15 : 1.5 Ich kann die Rechenregeln anwenden. a) 5 · 4 + 7 = b) 28 − 3 · 6 = c) (4 · 6 + 3) − 5 = d) (6,3 − 3,5 : 7) − 1,2 · 2 = Ich kann einfache Gleichungen lösen. a) 45 + x = 127 b) 30 – 2 · a = 10 c) b _ 4 = 1,5 d) 64 = y − 16 Ich kann Brüche ordnen und vergleichen. a) Ordne die Brüche der Größe nach. 2 _ 3 ; 2 _ 5 ; 5 _ 2 ; 1 1 _ 3 ; 3 _ 5 b) Vergleiche und setze <,> oder = ein. 15 __ 4 3 3 _ 4 5 __ 10 1 _ 3 12 __ 28 3 _ 6 Ich kann Text- und Anwendungsaufgaben bearbeiten. Anja und Ron waren am Kinderflohmarkt. Ihren Gewinn teilen sie so, dass jeder gleich viel erhält. Ron hat ein Computerspiel am Flohmarkt entdeckt, das er sich um 26,50 ¤ kauft. Jetzt hat er noch 35,50 ¤. Wir hoch waren die Flohmarkteinnahmen? Ich kann parallele und normale Linien konstruieren. a) Zeichne zur Geraden g eine Parallele im Abstand von 15 mm. b) Zeichne zur Geraden g eine Normale n durch den Punkt P. O 57 O 58 O 59 O 60 O 61 M 62 O 63 g P g 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Überprüfen Ich kann Winkelarten unterscheiden. Ordne richtig zu. A α < 90° rechter Winkel B β = 90° gestreckter Winkel C 90° < γ < 180° spitzer Winkel D δ = 180° voller Winkel E 180° < ε < 360° stumpfer Winkel F ω = 360° erhabener Winkel Ich kann Rechtecke und Quadrate zeichnen und deren Umfang und Flächeninhalt berechnen. a) Zeichne zwei verschiedene Rechtecke, deren Flächeninhalt 24 cm2 beträgt. Berechne den Umfang. b) Zeichne ein Quadrat, dessen Umfang 20 cm beträgt. Berechne den Flächeninhalt. Ich kann Volumen und Oberfläche von Quader und Würfel berechnen. Ein Tischler muss vier würfelförmige Pfostenabschlusselemente mit einer Kantenlänge von 5,5 cm ölen und wachsen. a) Wie viel cm3 Holz waren für die Herstellung nötig? b) Wie viel dm2 Holz muss er mit Öl bzw. Wachs behandeln? Ein kleiner quaderförmiger Gartenpool ist 5 m lang, 3 m breit und 1,5 m tief. a) Wie viel m2 müssen wasserdicht verfliest werden? b) Wie viel hl Wasser werden für die Füllung benötigt, wenn das Wasser bis 20 cm unter den Beckenrand reicht? Ich kann den Schrägriss und das Netz eines Quaders zeichnen. Ein Blumenkistchen ist 1,2 m lang, 22 cm breit und 16 cm hoch. a) Zeichne den Schrägriss im Maßstab 1 : 10. b) Zeichne das Netz im Maßstab 1 : 10. O 64 O 65 M 66 M 67 O, M 68 17 Ó GZ-Material 3958at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Wo stehe ich? Ich kann … … Zahlen der Größe nach ordnen. … die Malreihen. … natürliche Zahlen multiplizieren. … natürliche Zahlen dividieren. … die Ziffernsumme einer Zahl berechnen 1 Teilbarkeit Überprüfe deine Einschätzung! Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten. a) 3, 9, 27, 14, 2, 7, 11, 17, 20, 23 b) 415, 100, 132, 728, 590, 353, 891 2 < 3 < Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der größten. Verwende das >-Zeichen. a) 19, 8, 28, 1, 29, 16, 20, 3, 23, 5 b) 838, 954, 177, 692, 418, 506, 374 Führe die Multiplikation durch. a) 2 · 7 b) 8 · 9 c) 5 · 2 d) 9 · 4 e) 6 · 5 f) 3 · 9 g) 2 · 11 h) 5 · 13 i) 11 · 5 j) 8 · 10 Führe die Division durch. a) 10 : 2 b) 18 : 3 c) 21 : 7 d) 36 : 6 e) 49 : 7 f) 35 : 5 g) 66 : 11 h) 65 : 13 i) 39 : 13 j) 60 : 12 Olympische Spiele gibt es schon seit 776 v. Chr. Seit 1896 finden sie alle vier Jahre statt, nämlich dann, wenn man die Jahreszahl durch 4 teilen kann. Werden im Jahr 2036 olympische Spiele stattfinden? Berechne die Ziffernsumme. a) 48 b) 8 453 c) 3 475 802 d) 947 682 O 69 O 70 O 71 O 72 M, O 73 z. B.: 2020 : 4 = 505 O 74 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Das lerne ich: Was Teiler und Vielfache sind. Wie man Zahlen auf Teilbarkeit prüfen kann. Was Primzahlen sind und welche besonderen Eigenschaften sie haben. Wie der größte gemeinsame Teiler bestimmt werden kann. Wie das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmt werden kann. Gerecht geteilt Bernhard hat fünfzehn Erdbeeren. a) Wenn Bernhard nur mit Christian teilt, bekommt dann jeder gleich viele Erdbeeren? b) Wenn auch Patrick Erdbeeren bekommen soll, wie viel Stück bekommt dann jeder? c) Auch Maria und Larissa wollen einen Anteil von Bernhards Erdbeeren. Wie viel Stück erhält nun jede der fünf Personen? d) Auf wie viele Freundinnen und Freunde könnte Bernhard die Erdbeeren noch gerecht aufteilen? e) Während Bernhard noch überlegt, hat Meli einfach eine Erdbeere gegessen. Auf wie viele Personen könnte Bernhard jetzt die restlichen Erdbeeren noch gerecht aufteilen? a) Die 24 Schülerinnen und Schüler der 2b gehen in Zweierreihen. Wie viele Reihen sind das? b) Wenn immer drei miteinander gehen, wie viele Reihen sind es dann? c) Wie viele Reihen werden es, wenn die Kinder zu viert gehen? Erkläre deinen Rechenweg schriftlich. Für die Heimfahrt benötigen die drei Freunde jeweils einen Bus. Alle drei Busse fahren von der gleichen Station ab. Bernhards Bus fährt alle drei Minuten, Christians alle zwei Minuten und Patricks alle fünf Minuten. Die Abfahrt um 17:53 Uhr haben die Freunde versäumt. Wann fahren alle Busse wieder gleichzeitig ab? M, O 75 M, O, B 76 * M, O 77 19 Teilbarkeit * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Lernen 3 Teiler und Vielfache einer Zahl Duftkerzen sind in einem Karton mit sechs Reihen und vier Spalten verpackt. Man kann sie sehr leicht auf vier oder sechs Personen aufteilen. a) Kann man sie auch einfach auf acht, zehn oder zwölf Personen aufteilen? b) Auf wie viele Personen könnte man sie noch aufteilen? c) Wie viele Kerzen müsste ein Karton haben, damit man sie gleichmäßig auf sieben Personen aufteilen kann? Setze ein: | oder | a) 3 9 b) 4 16 c) 5 11 d) 7 49 e) 9 89 f) 6 96 Kreise die Vielfachen der Zahl ein. a) Vielfache von 4: 28, 32, 35, 36, 44, 46 b) Vielfache von 6: 6, 8, 15, 18, 34, 36, 56 c) Vielfache von 9: 26, 27, 45, 60, 64, 81 d) Vielfache von 11: 11, 40, 60, 66, 99, 110 Bestimme die Teiler- und Vielfachmengen. a) T50 = { } b) V6 = { } c) T40 = { } d) V15 = { } Die MS Pottenbrunn hat bei einem Umweltprojekt 124 Packerln Schulmilch gewonnen. a) Können diese ohne Rest gleichmäßig auf vier Klassen aufgeteilt werden? b) Wie viele Packerln braucht man zusätzlich, damit man sie auf fünf Klassen gleichmäßig ohne Rest aufteilen kann? M, O, B 78 Teiler Vielfache Teiler einer Zahl sind immer eins und die Zahl selbst, außerdem alle Zahlen, die diese Zahl ohne Rest teilen. Multipliziert man eine Zahl mit 1, 2, 3 …, so erhält man die Vielfachen einer Zahl. z. B.: 20 ist durch 1, 2, 4, 5, 10, 20 teilbar. Man schreibt: 5 | 20, 6 | 20 (| bedeutet „teilt“, | bedeutet „teilt nicht“) Teilermenge von 20: T20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} z. B.: Vielfachenmenge von 3: V3 = {3, 6, 9, 12 …} Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache. Teiler treten meist paarweise auf: T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} O 79 O 80 O 81 M, O 82 Zwischenstopp: a) Welche Zahlen sind Teiler von 30? Kreise ein. b) Welche Zahlen sind Vielfache von 4? Kreise ein. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 22, 24 O 83 20 M Arbeitsheft Seite 12 Ó Videoclip 2mq2uw Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Welche Vielfachenmenge ist das? Setze die fehlenden Zahlen ein. a) V = { , 10, 15, , 25, …} b) V = {8, , 24, , 40, , …} c) V = { , , 33, , 55, …} Welche Teilermenge ist das? Setze die fehlenden Zahlen ein. a) T = { 1, 2, , , 6, } b) T = { , , , , 6, , 15, } Ergänze die Einer- bzw. Zehnerstelle der Zahlen so, dass eine wahre Aussage entsteht. a) 4 | 5 b) 9 | 8 c) 7 | 4 d) 12 | 1 4 Lisa will bunte Socken stricken. Dafür muss sie 176 Maschen anschlagen. a) Kann Lisa die Maschen auf vier Stricknadeln gleichmäßig aufteilen? b) Wie viele Maschen braucht sie zusätzlich, damit sich ein vierfärbiges Muster zu je sechs Maschen gleich oft ausgeht? Herr Windischbauer hat ein Grundstück im Weinviertel gekauft und möchte dort 48 Marillenbäume pflanzen. Die Bäume sollen in mehreren Reihen mit jeweils gleich vielen Bäumen aufgestellt werden. Welche Möglichkeiten gibt es dafür? Silvia sammelt Schneekugeln. Sie hat ein Regal mit vier Brettern, auf die sie ihre Kugeln gleichmäßig verteilen will. a) Wenn sie 34 Kugeln hat, kann sie diese gleichmäßig aufteilen? b) Wenn im obersten Regal zwei Kugeln weniger Platz haben, wie viele kann sie dann besitzen? (Es gibt verschiedene Lösungen.) Jan verpackt Spielwaren. Wenn er je zwei, drei, vier, fünf oder sechs Stück verpackt, bleibt ihm stets ein Stück über. Verpackt er jedoch sieben Stück, so bleibt ihm keines über. Wie viele Spielwaren verpackt Jan? O, B 84 O, B 85 O 86 O, B 87 O 88 Zwischenstopp: Ergänze die Teiler- und die Vielfachenmenge. a) T ={ ,2, , 6} b) V = { ,14, , 28 …} O 89 M, O, B 90 M, O 91 Befreundete Zahlen Zwei Zahlen nennt man „befreundet“, wenn die eine Zahl gleich der Summe der Teiler der anderen Zahl ist (ausgenommen der Zahl selbst) – und umgekehrt. z. B.: Die Zahl 284 und die Zahl 220 sind befreundet. Die Teilersumme von 284 ist gleich 220 und die Teilersumme von 220 ist gleich 284. Die Teilersumme von 220 ist: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Die Teilersumme von 284 ist: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Zum ersten Mal erwähnte der griechische Mathematiker Pythagoras die beiden Zahlen 220 und 284. Auch 17 296 und 18 416 sind befreundet. 21 Teilbarkeit Ó Arbeitsblatt 32ng88 Ó GZ-Material 3984xu Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Lernen 4 Teilbarkeitsregeln für 2, 4, 5 und 10 Zeichne vier Tabellen mit jeweils zehn Spalten und fünf Zeilen und trage die Zahlen von 1 bis 50 ein. Am besten machst du das mit dem Computer. a) Male in der ersten Tabelle alle Zahlen an, die durch 2 teilbar sind. b) Kennzeichne in der zweiten Tabelle alle Zahlen, die durch 4 teilbar sind. c) In der dritten Tabelle streichst du alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind, an. d) Die letzte Tabelle gehört für die Zahlen, die durch 10 teilbar sind. e) Kannst du in den Tabellen Gesetzmäßigkeiten erkennen? Kreuze die richtigen Aussagen an. a) A 798 ist durch 2 teilbar. b) A Eine Zahl mit der Endziffer 6 ist durch 2 teilbar. B 354 ist durch 5 teilbar. B Eine Zahl mit der Endziffer 2 ist durch 4 teilbar. C 300 ist durch 10 teilbar. C Eine Zahl mit der Endziffer 4 ist durch 4 teilbar. D 324 ist durch 4 teilbar. D Eine Zahl mit der Endziffer 0 ist durch 5 teilbar. In einigen Ländern gibt es immer noch Kinderarbeit. a) Amar ist 11 Jahre alt und lebt in Indien. Um seine Familie finanziell zu unterstützen, verpackt er T-Shirts. Ist es möglich, 800 T-Shirts jeweils in Zweier-, Vierer- oder Fünferpackungen abzupacken? Wenn ja, wie viele Packungen würden das jeweils sein? b) Gib drei Länder an, in denen es Kinderarbeit gibt. Überlegt gemeinsam, wie man das verhindern könnte. Finde fünf Zahlen, die durch 100 teilbar sind. Formuliere eine Teilbarkeitsregel. O, DI, B 92 ô * Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Z.B. 4 356 ist durch 2 teilbar, weil die Endziffer 6 ist. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Z. B. 7 832 ist durch 4 teilbar, weil 32 durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Z. B. 1 765 ist durch 5 teilbar, weil die Endziffer 5 ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist. Z.B. 9 760 ist durch 10 teilbar, weil die Endziffer 0 ist. O 93 M, O, B 94 ô * * Kinderarbeit: Wenn Kinder Tätigkeiten ausüben, die für sie nicht passend, gefährlich oder gesundheitsschädlich sind, oder diese sie vom Besuch einer Schule abhalten, spricht man von Kinderarbeit. O 95 * 22 M Arbeitsheft Seite 13 * Sprachliche Bildung ** Politische Bildung Ó Videoclip 2mr24f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Die Zahl 1 3 soll durch a) 2 b) 4 teilbar sein. Schreibe Ziffern auf, die an den letzten beiden Stellen der Zahl stehen könnten. Ordne zu, welche Zahlen auf den Kärtchen durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar sind. Lege eine Tabelle an. a) Streiche jene Jahre, die keine Schaltjahre sind. 1824, 1924, 1964, 1993, 2002, 2014, 2018 b) Viki ist am 29. Februar 1996 geboren. Wie oft hat sie schon Geburtstag gefeiert? c) Wie viele Schaltjahre hast du schon erlebt? Begründe, ob der Satz wahr oder falsch ist, und gib ein Beispiel an. a) Eine Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar. b) Eine Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar. c) Eine Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 5 teilbar. Finde jeweils zwei dreistellige Zahlen, die folgende Bedingungen erfüllen. a) Teilbar durch 4, aber nicht durch 25. b) Teilbar durch 25, aber nicht durch 4. c) Teilbar durch 4 und 25. Vertausche die Ziffern in der Zahl 5 163 so, dass eine Zahl entsteht, die a) durch 2 teilbar ist. b) durch 4 teilbar ist. c) durch 5 teilbar ist. Für Summen und Differenzen gilt: Wenn x ein Teiler von zwei beliebigen Zahlen ist, dann ist x auch ein Teiler der Summe bzw. der Differenz dieser beiden beliebigen Zahlen. Prüfe, ob diese Aussage stimmt. Zwischenstopp: Setze | oder | ein. 2 166 4 2 045 5 135 10 260 O, DI 96 M, O 97 M, O 98 36 412 640 822 222 222 480 55 555 1 280 56 123 7 456 5 650 40 20 984 592 345 5 564 894 12 748 376 teilbar durch 2 4 5 10 36 412 36 412 … … … … … … Schaltjahr Schaltjahre sind Jahre, die einen Tag mehr haben, den 29. Februar. Damit wird das Kalenderjahr dem Sonnenjahr angeglichen. Ein Jahr ist ein Schaltjahr, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist. M, O 99 Zwischenstopp: Setze für jeden Platzhalter eine Ziffer ein, sodass die Aussage wahr ist. a) 4 | 5 7 8 b) 5 | 46 c) 10 | 3 d) 100 | 9 7 O 100 M, O, B 101 * O 102 O 103 M, B 104 23 Teilbarkeit * Sprachliche Bildung Ó Arbeitsblatt 32rq6q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Lernen 5 Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 Christian hat 63 Fahrjetons und möchte sie auf seine drei Freunde gerecht aufteilen. Ist das möglich? Zeige, wie du vorgegangen bist. Gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du das herausfinden kannst? Bemale die Zahl und die dazugehörende Ziffernsumme in derselben Farbe. Ergänze die Tabelle. Zahl 21 69 135 267 8 694 Ziffernsumme 3 Ziffernsumme durch 3 teilbar ja Ziffernsumme durch 9 teilbar nein Zahl ist durch 3 teilbar ja Zahl ist durch 9 teilbar nein Ergänze die Einerstelle so, dass die Zahl durch 3 bzw. durch 9 teilbar ist. a) 45 b) 68 c) 1 03 d) 45 55 e) 9 87 Addiert drei beliebige aufeinander folgende natürliche Zahlen. Stellt fest, ob ihre Summe durch 3 teilbar ist. Stellt eine Vermutung auf und überprüft diese durch mehrere konkrete Beispiele. Findet eine Begründung und formuliert diese in vollständigen Sätzen. M, O 105 Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Z. B. 3 624 ist durch 3 teilbar, weil die Ziffernsumme 15 beträgt und 15 durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. Z. B. 7 623 ist durch 9 teilbar, weil die Ziffernsumme 18 beträgt und 18 durch 9 teilbar ist. Die Summe der Ziffern einer Zahl heißt Ziffernsumme. Z.B. Ziffernsumme von 3 624: 3 + 6 + 2 + 4 = 15 O 106 365 27 12 14 503 9 1 014 6 66 8 O 107 O 108 Zwischenstopp: Setze | oder | ein. a) 3 66 b) 3 105 c) 9 135 d) 9 269 O 109 O, DI 110 * B 24 M Arbeitsheft Seite 14 * Sprachliche Bildung Ó Videoclip 2n4e4t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Lernen Streiche eine Ziffer in der gegebenen Zahl, sodass eine durch 3 teilbare Zahl entsteht. a) 19 b) 326 c) 1 057 d) 9 150 e) 4 823 Streiche eine Ziffer in der gegebenen Zahl, sodass eine durch 9 teilbare Zahl entsteht. a) 29 b) 362 c) 9 354 d) 1 369 e) 1 234 a) Gib die kleinste und die größte vierstellige Zahl und fünfstellige Zahl an, die durch 3 teilbar ist. b) Gib die kleinste und die größte vierstellige Zahl und fünfstellige Zahl an, die durch 9 teilbar ist. c) Gib alle durch 3 teilbare Zahlen an, die größer als 130 und kleiner als 160 sind. d) Gib alle durch 9 teilbare Zahlen an, die größer als 130 und kleiner als 160 sind. Eine Gruppe Wanderer kehrt in einem Gasthaus ein. Alle trinken einen großen Apfelsaft. Um Zeit zu sparen, bezahlt die Leiterin der Gruppe für alle. Sie bezahlt a) 28,80 €; b) 33,80 €; c) 36,90 €. Kann die Rechnung gerecht auf die neun Personen aufgeteilt werden oder hat sich der Kellner verrechnet? Begründe deine Antwort. Die drei Kinder der Familie Kellner sparen für das Zeltlager. Am Sparbuch sind 427 €. Hat jedes Kind den selben Betrag gespart? Für eine Feier werden auf den beiden Längsseiten der Tische jeweils neun Sessel aufgestellt. Es werden 116 Gäste erwartet. Sind alle Tische voll besetzt? Hannah und ihre acht Freundinnen haben beim Feuerwehrfest geholfen und 472,50 € Trinkgeld bekommen. Kann dieser Betrag gleichmäßig aufgeteilt werden?  Ergänze die Zahlen mit einer Ziffer so, dass sie durch 3, aber nicht durch 9 teilbar sind. a) 27 b) 3 5 c) 2 25 d) 99 e) 10 0 8 f) 7 07 Alexandra behauptet: „Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, muss sie auch durch 3 teilbar sein.“ Hat sie recht? Begründe. Welche durch 3 teilbare Zahl liegt der gegebenen Zahl am nächsten? a) 23 b) 97 c) 391 d) 1 010 e) 2 072 f) 5 392 Welche durch 9 teilbare Zahl liegt der gegebenen Zahl am nächsten? a) 17 b) 83 c) 672 d) 4 100 e) 9 805 f) 2 702 O 111 O 112 O 113 M, O, B 114 * M, O 115 M, O 116 O 117 Zwischenstopp: Gib die kleinste und die größte dreistellige Zahl an, die durch a) 3 b) 9 teilbar ist. O 118 O, DI 119 O, B 120 O 121 O 122 25 Teilbarkeit * Sprachliche Bildung Ó Arbeitsblatt 336a9y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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