Schritt für Schritt Mathematik 4, Arbeitsheft

Lösungen 107 a) d = 38,7cm (38,749…); d R = 47,5 cm (47,458…) b) d = 5,32 cm (5,3174…); d R = 6,51 cm (6,5125…) 108 d 3 = 8,41 cm (8,4077…); d R = 10,5 cm (10,506…); A = 26,5 cm 2 (26,484…) 109 a) a = 12,0 cm (11,950…); d R = 20,7cm (20,689…); V = 1,71 dm 3 (1,7065…) b) a = 5,31 cm (5,3116…); d = 7,51 cm (7,5117…); V = 150 cm 3 (149,85…) c) a = 6 cm; d = 8,49 cm (8,4852…); d R = 10,4 cm (10,392…) 110 a) a = 12,2m (12,162…); h = 12,0m (12,044…); V = 594m 3 (593,89…); h a = 13,5m (13,492…); O = 476m 2 (476,12…) b) a = 11,9 cm (12,162…); V = 880 cm 3 (879,64…); h a = 19,6 cm (19,620…); O = 607cm 2 (607,28…) 111 a) a = 1,06m (1,0606…) b) A Quadrat = 1,13m 2 (1,125); … um 36,4% (36,440…) 112 a) h =  √ _______________ b 2 – (  d G – d D   ) 2 ; d G = 7,5m; d D = 6,16m (6,1554…); h = 2,79m (2,7932…) b) A = 2A 1 + 2A 2 + A 3 ; x = 0,9m; h a = 2,97m (2,9664…); A 1 = 30,26m 2 (30,258…); A 2 = 14,0m 2 (13,95); A 3 = 18,9m 2 ; A = 107m 2 (107,31…) 113 a) ha = 28,0m (27,970…); M = 19,8 a (19,814…) b) A Raute = 3,11m 2 (3,105…) c) e = 3,51m (3,5073…); f = 1,77m (1,771); Breite der Raute: a = 1,96m (1,9645…); Höhe der Raute: h = 1,58m (1,5808…) d) Cheops–Pyramide: a = 230m (230,33), h = 147m (146,59); a Glas : a Cheops = 1 : ≈ 6,50 (6,5028…); h Glas : h Cheops = 1 : ≈ 6,77 (6,7709…) Die Proportionen sind ähnlich, aber nicht gleich, da die Maße erosionsbedingt variie ren. 114 a) Z. B.: Über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks werden die Quadrate errichtet. Das Quadrat über der kürzeren Kathete wird diagonal halbiert. Das rechtwinklige Dreieck wird an der längeren Kathete gespiegelt und anschließend nochmals an der Diagona le des Quadrats über der längeren Kathete. Dadurch entstehen innerhalb des Quadrats über der längeren Kathete weitere Teilfigu ren: ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge b – a und zwei stumpfwinklige Dreiecke. Durch Verschieben, Drehen und Spiegeln dieser Teilfiguren kann das Quadrat über der Hypotenuse vollständig ausgefüllt werden. Aus folgt: a 2 + b 2 = c 2 b) Arbeite beim Ausschneiden sehr sorgfältig, damit die Teilflächen das Hypotenusenqua drat genau ausfüllen. 115 Z. B.: Über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks werden die Quadrate errichtet. Die beiden Quadrate über den Katheten werden mit einer einzigen Hilfslinie diagonal halbiert. Um diese Gerade wird das rechtwinklige Dreieck gespiegelt (Abb.1), anschließend auch um den Mittelpunkt des Quadrats über der Hypotenuse. Mit einer weiteren Hilfslinie werden der Eckpunkt C des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks und der Eckpunkt C des zweiten gespiegelten Dreiecks mit einander verbunden (Abb. 2). Die zweite Hilfslinie halbiert das Quadrat über der Hypotenuse. Insgesamt sind vier kongru ente Vierecke entstanden. Es gilt:   a 2  __ 2  +   ab  __ 2  +   b 2  __ 2  =   c 2  __ 2  +   ab  __ 2  (Abb. 3). Nun werden die beiden hinzugefügten rechtwinkligen Dreiecke wieder entfernt:   a 2  __ 2  +   b 2  __ 2  =   c 2  __ 2  . Alle grünen und blauen Teilflächen zusammen ergeben die drei Quadratflächen: a 2 + b 2 = c 2 3 4 2 1 5 7 6 7 6 5 2 3 1 4 6 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv