Schritt für Schritt Mathematik 3, Arbeitsheft

221 a) x = 20,2 cm b) x = 4,24 m (4,2379…) 222 a) z. B.: Scherung ist die, durch eine Kraft bewirkte, Verformung eines Körpers. In der Mathematik bedeutet Scherung, dass jeder Punkt einer geometrischen Figur, bei der eine ganze Seite fest bleibt, parallel zu dieser Seite verschoben wird. Dabei verändern sich die Normalabstände der verschobenen Punkte zur festen Seite nicht und der Flächeninhalt der neuen Figur ist genauso groß wie der Flächeninhalt der ursprünglichen Figur. b) 1. Quadrat; 2. Verforme; 3. Rechteck; 4. flächengleich c) Quadrat: b = 12mm; Rechteck: c = 15mm, q = 9,6mm; A Quadrat = b 2 = 144mm 2 ; A Rechteck = c · q = 144mm 2 Das ursprüngliche blaue Quadrat und das entstandene Rechteck sind flächengleich. d) Quadrat: a = 9mm; Rechteck: c = 15mm, p = 5,4mm; A Quadrat = a 2 = 81mm 2 ; A Rechteck = c · p = 81mm 2 Das ursprüngliche grüne Quadrat und das entstandene Rechteck sind flächengleich. e) z. B.: Beide Kathetenquadrate werden in zwei flächengleiche Rechtecke überführt, die gemeinsam das Hypotenusenquadrat ausfüllen. a 2 + b 2 = c · p + c · q = c · (p + q) = c · c = c 2 Somit gilt der Satz des Pythagoras: Die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate ist gleich dem Flächen inhalt des Hypotenusenquadrats. 223 z. B.: Das Dreieck ABC wird durch die Strecke ___ MCin zwei gleichschenklige Dreiecke geteilt. Die Schenkellänge entspricht dem Radius des Kreises. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich groß. Es gilt daher im Dreieck ABC: α + β = γ ; im Dreieck CAM: δ = 180° – 2 α ; im Dreieck BCM: ε = 180° – 2 β . δ und ε sind supplementär. Es gilt: δ + ε = 180°. Durch Einsetzen erhält man: 180° – 2 α + 180° – 2 β = 180° also 2 α + 2 β = 180° α + β = 90° γ = 90° 224 a) d = 54,9m; A = 535 m 2 (534,6) b) b = 39,6 cm; A = 33,5dm 2 (33,5412) c) d = 3,39dm (3,3941…); A = 5,76dm 2 d) a = 27,6 cm (27,577…); A = 761 cm 2 (760,5) 225 a) c = 127cm (126,68…); A = 29,3dm 2 (29,263…) b) a = 110dm; A = 58,1 m 2 (58,08) c) h c = 16,9 m (16,857…); A = 169 m 2 (168,57…) d) c = 106 cm (105,98…); A = 36,6dm 2 (36,563…) 226 a) a = 4,16 cm (4,1569…); A = 7,48 cm 2 (7,4824…) b) h = 78,8mm (78,808…); A = 35,9 cm 2 (35,857…) c) a = 73,0 m (72,977…); A = 23,1 a (23,060…) d) h = 3,98 cm (3,9837…); A = 9,16 cm 2 (9,1625…) 227 a) x = 6,44m (6,4404…); u = 26,2m (26,240…); A = 44,7 m 2 (44,658…) b) x = 28,3m (28,284…); y = 57,9m (57,870…); u = 359m (359,15…); A = A 1 + A 2 = 64,0 a (63,95) (A 1 =   (25 + 43)  ______ 2  · 55m 2 , A 2 = 75 · 63 –   20 · 20  ____ 2  m 2 ) 228 a) a = 6,02 cm (6,0214…) b) z. B.: Um vor Verletzungen zu schützen, sind die Ecken der dreiseitigen Schalen sicher abgerundet. Auch muss die Dicke der Schalen berücksichtigt werden. 229 z. B.: Die meisten Platten passen diagonal durch rechteckige Öffnungen. d Fenster = 140 cm (139,71…); d Tür = 229 cm (229,40…) 230 a) ≈ 23,9 km (23,943…) (Hinweis: Lege durch die Spitze des Leuchtturms eine Tangente an die Erdkugel. Tangente und Radius bilden einen rechten Winkel.) b) h ≈ 39,7 m (39,736…) c) z. B.: Die Krümmung der Erdoberfläche wird nicht berücksichtigt, sie hat nicht die Form einer Kugel. Wetterbedingungen können die Sicht beeinträchtigen oder eine bessere Fernsicht ermöglichen. In der Nacht könnte die Lichtstärke des „Leuchtfeuers“ zu schwach sein. 231 a) h = 6,57m (6,5734…) b) schräge Böschung: x = 11,6m (11,634…); A = 233 a (232,69…) Das kann ich! 232 a) Der rechte Winkel wird von den beiden Katheten gebildet und liegt der längsten Seite, der Hypotenuse, gegenüber. Dreieck 1: Katheten: o, p; Hypotenuse: q; Dreieck 2: kein rechtwinkliges Dreieck; Dreieck 3: Katheten: a, a; Hypotenuse: c b) Kreuze an: Dreieck 1: o 2 = q 2 – p 2 und o 2 + p 2 = q 2 Dreieck 2: keine Formel passt Dreieck 3: a 2 + a 2 = c 2 und 2 · a 2 = c 2 K K 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv