Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch, aktualisierte Ausgabe

Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Reelle Zahlen 1 Wurzelziehen mit Excel − das Heron-Verfahren Bestimme mit dem Heron-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. a) √ ___ 14 b) √ ___ 32 c) √ ___ 63 d) √ ___ 72 Führe das Heron-Verfahren mithilfe einer Tabellenkalkulation auf mindestens fünf Dezimalen genau durch. a) √ ___ 26 b) √ ___ 95 c) √ ____ 117 d) √ ______ 3 000 Heron von Alexandria lebte ca. 60 n. Chr. Nach ihm ist ein Verfahren benannt, mit dem sich Quadratwurzeln ohne Wurzeltaste berechnen lassen. Dabei nähert man sich durch flächengleiche Rechtecke schrittweise einem Quadrat an. Vorgangsweise an einem Beispiel 1) Um z. B. √ ___ 27zu bestimmen, beginnt man mit einem Rechteck, das die Seitenlängen a 1 = 9 cm und b 1 = 3 cm hat. Die Quadrate der Maßzahlen 9 2 = 81 und 3 2 = 9 schließen nämlich die Zahl 27 ein. 2) Da der Wert 81 zu groß und der Wert 9 zu klein ist, bildet man den Mittelwert von Länge und Breite. So erhält man eine neue Rechteckslänge a 2 . a 2 =   a 1 + b 1  ____ 2  =   9 + 3  ___ 2  = 6 b 2 =   Fläche  ____ a 2   (  =   27  __ 6  = 4,5  ) 3) Wiederholung der Vorgehensweise des 2. Schrittes a 3 =   a 2 + b 2  ____ 2  =   6 + 4,5  ____ 2  = 5,25 b 3 =   Fläche  ____ a 3   (  =   27  ___ 5,25 ≈ 5,14  ) 4) Diese Schritte lassen sich beliebig oft wiederholen. Man erhält ein immer genaueres Intervall. Mit dem Taschenrechner erhält man √ ___ 27≈ 5,2, also war die Annäherung schon recht genau. b ¹ = 3 cm b ² = 4,5 cm a ¹ = 9 cm a ³ = 5,25 cm a ² = 6 cm b ³ = 5,14 cm A = 27 cm² A = 27 cm² A = 27 cm² 176 ô I1, H1−2, K2 1 Flächeninhalt des Rechtecks 33 2 3 Schritt Rechteckslänge Rechtecksbreite Flächeninhalt 4 1 3 11 33 5 2 7 4,714285714 33 6 3 5,857142857 5,634146341 33 7 4 5,745644599 5,743480898 33 8 5 5,744562748 5,744562545 33 9 6 5,744562647 5,744562647 33 Mithilfe einer Tabellenkalkulation kann das Heron-Verfahren leicht durchgeführt werden. Formel in B5: =   (B4 + C4)  ______ 2  Formel in C5: =   D4  __ B5 177 ô I1, H1−2, K2 34 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv