Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch, aktualisierte Ausgabe

Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Körper –Drehzylinder,Drehkegel,Kugel 8 Körper –Drehzylinder,Drehkegel,Kugel 8 Satz vonCavalieri WelcherZylinderausMünzenhatdasgrößereVolumen? BegründedeineAntwort. A DasVolumen vonZylinderA istgrößer. B DasVolumen vonZylinderB istgrößer. C BeideVolumina sindgleichgroß. Begründe,warumbeideKörper jeweilsdasgleicheVolumenhaben. EineHalbkugel (r 1 = 10cm)wird inderHöheh = 6cmgeschnitten. Berechneden FlächeninhaltderentstandenenKreisfläche. FrästmanauseinemZylinder (r =h = 10cm)einenKegelmit gleichemRadiusundgleicherHöheund schneidet ihn inder Höhe von 6cm, soerhältmaneinenKreisringalsSchnittfläche. a) Berechneden FlächeninhaltdesKreisringes.Was fälltdirauf? b) BeweisenachdemSatz vonCavalieri,dassdieHalbkugel dasgleicheVolumenwiederausgefrästeZylinderhat. ZylinderA ZylinderB 1061 I3,H3,K2 DerSatz vonCavalieri ZweiKörpergleicherHöhehabendasgleicheVolumen,wenn jedeSchnittebeneparallel zurGrundebene ingleicherSchnitthöhebeiderKörperdengleichen Flächeninhalthat. BonaventuraFrancescoCavalieri (1598–1647) lebte in Italien. ErwarMathematikerundAstronom. Vorallembeschäftigteer sichmitderGeometrieund lehrte anderUniversität inBologna. 1062 I3,H3,K2 a) b) c) h r 2 r 1 1063 I3,H2–3,K3 6cm 4cm h r h 1064 I3,H2–3,K3 Zusammenfassung Drehzylinder • Das Volumen ergibt sichaus Grundfläche xHöhe. V =G ·h • Die Oberfläche bestehtausden zweiGrundflächenunddemMantel. O =2 · r 2 ·π+ 2 · r ·π ·h O = 2 · r ·π · (r+h) Drehkegel • Das Volumen ergibt sichaus einDrittel xGrundfläche xHöhe. V = G ·h ___ 3 = r 2 ·π ·h _____ 3 • Die Oberfläche istdieSummeaus GrundflächeundMantelfläche. O = r 2 ·π + r ·π · s O = rπ · (r+ s) Kugel • Das Volumen einerKugel ist zweiDritteldes VolumensdesumschließendenZylinders. V = 4 · r 3 ·π _____ 3 • Fürdie Oberfläche gilt: O= 4 · r 2 ·π ZusammengesetzteKörper • Das Volumen von zusammengesetzten Körpern errechnet sichausderSumme derEinzelvolumina. • Das Volumen vonausgehöhltenKörpern berechnetmanalsDifferenzder Einzelvolumina. • Die Oberfläche zusammengesetzteroder ausgehöhlterKörper lässt sichalsSumme derEinzelflächenberechnen. r r G G h h r = 2cm,h = 4cm V = 4 ·π · 4 = 16πcm 3 O = 2 · 2 ·π · (2 + 4) = 24πcm 2 r =3m;h =4m s = √ _______ 3 2 + 4 2 = √ ___ 25= 5m V = 3 2 ·π ·4 ______ 3 = 12πm 3 O = 3 2 ·π + 3 ·π · 5= 24πm 2 M s s G r h S M r r = 2cm V = 4 ·2 3 ·π _____ 3 = 32 __ 3 πcm 3 O = 4 · 2 2 ·π = 16πcm 2 d = 8cm r = 4cm Mantellinie: s = √ _______ 4 2 + 3 2 =5cm V = 4 2 ·π · 3 − 1 _ 3 · 4 2 ·π · 3 = 2 _ 3 · 16 ·π ·3 = 32πcm 3 O = 4 2 ·π +2 ·π · 4 · 3 + 4 ·π · 5 = 60πcm 2 8cm 3cm 172 173 Ó GZ- Arbeitsblatt 7tc4ec Körper–Drehzylinder,Drehkegel,Kugel 8 BasisundPlus –Daskann ich! BerechnedieOberflächedesKörpers. BerechnedasVolumendesKörpers. a) Drehzylinder: r = 2,2m;h= 4m b) Drehkegel:d = 6,5cm; s =7,4cm c) Kugel: r = 1,25m EinehalbkugelförmigeSchüsselhateinen Innendurchmesser von 24 cm. Wie viel Liter Fassungsvermögenhat sie? Corinabastelteinen kegelförmigenPapierhut. DerUmfangderÖffnungmisst 58cm,dieHöhebeträgt 40cm. Wie vielMaterialbraucht siedafür? a) Wie viel LiterWasser fasstdie kegelförmige Blumenvase? b) Emma leertdasWasser indie zylinderförmigeVaseum. Wiehoch stehthierdasWasser? BerechnedasVolumenunddieOberfläche des zusammengesetztenKörpers. Ich kanndieOberflächeunddasVolumen vonDrehzylinder,Drehkegelund Kugelberechnen. 1065 I3,H2,K1 7,4cm 32cm 0,86m 10,8cm 54cm a) b) c) 1066 I3,H2,K1 Ich kannSachaufgaben zurOberflächeund zumVolumen vonDrehzylinder, DrehkegelundKugel lösen. 1067 I3,H2,K1 1068 I3,H2,K2 18cm 14cm 32cm 32cm 1069 I3,H2,K2 2,5 7,8 Maße inm 10,5 Ich kannVolumenundOberfläche von zusammengesetztenKörpernberechnen. 1070 I3,H2,K2 BestimmedasVolumenderbeidenKörper. a) Drehzylinder: r = 3,5cm;h = 17cm b) Drehkegel:d = 8,5cm; s = 14cm c) WiegroßmussderRadiusdesDrehkegels beigleichbleibenderHöhegewähltwerden, damitdiebeidenKörper volumengleich sind? EineKugelausMarmor ( ρ = 2,68g/cm 3 )hateinen Umfang von 163,4cm. a) BerechnedieMassederKugel. b) KönntestdudieKugel tragen,wenn sieaus Kork ( ρ = 0,51g/cm 3 )wäre? c) DieKorkkugel soll verpacktwerden. WelcheGrößemussderKartonmindestenshaben? Armin ist LehrlingunderhältdenAuftrag,eine zylinderförmigeDose füreinen Inhalt von 0,75 Liter zuentwerfen. KreuzediebeidenAngabenan,diedieBedingungenamehestenerfüllen. A r = 4,9cm,h = 10cm D r =7cm;h = 4,9cm B r = 4,5cm;h =8cm E r = 55mm;h= 65mm C r= 8,5cm;h=4cm DerZementsiloeinerBaufirmabestehtauseinemDrehzylinderundeinemDrehkegel. a) Wie vielm 3 Zement könnendaringelagertwerden? b) DerSilowirdaußenneugestrichen.Ein Farbkanister reicht für 50m 2 Anstrich.Wie vieleKanisterbrauchtman? c) Wie langedauerteine vollständigeEntleerungdesSilos, wennproSekunde 10dm 3 Zementausfließen können? d) DerSilo ist leer.ErwirdmiteinerGeschwindigkeit von 50dm 3 proSekundegefüllt. Welcherder folgendenGraphen zeigt,wie sichdieHöhe deseingefülltenZementsmitderZeit verändert? 1071 I3,H2,4,K3 7cm 17cm s d 1072 I3,H2,4,K3 1073 I3,H2–3,K3 1074 I3,H2–4,K3 1,75m 2,2m 4,5m 1 2 3 4 5 174 175 Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Starten Lernen Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Körper –Drehzli kegel,Kugel 8 Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Diese Seiten helfen dir, den Lernstoff des Kapitels zu wiederholen und zu üben sowie deine Kompetenzen zu erweitern und zu vertiefen. Auf der Seite Zusammenfassung hast du den Überblick zum Kapitel. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Graphiken. Verbinden Überprüfen Zusammenfassen Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin/dein Lehrer passgenaue Verweise auf Online-Zusatzmaterial. www.oebv.at Begriff/Online-Link/Code Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt  u28w5w 3 N u r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv