Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch, aktualisierte Ausgabe

Lösungen 267 a) a = 10,1 dm (10,111…); V = 1,03 m 3 (1,0338…); O = 613 dm 2 (613,47) b) a = 3,46m (3,4641…); V = 41,6 m 3 (41,569…); O = 72 m 2 274 a) d = 10,1 cm (10,107…) b) Z. B.: Die Länge des Trinkhalmes entspricht einer Flächendiagonale. Der Trinkhalm kann nur in die Packung rutschen, wenn er den Platz der Raumdiagonale einnimmt. Denn die Raumdiagonale ist stets länger als eine Flächendiagonale. d 1 = 6,10 cm (6,0959…); d 2 = 10,1 cm (10,107…); d 3 = 9,85 cm (9,8488…); d R = 10,9 cm (10,870…) 279 a) x = 9 cm; h = 30,7cm (30,708…); A Glas = 952 cm 2 (951,95…) b) A Tür = 1,72 m 2 ; ≈ 1,62 m 2 (1,6248…) Holzfurnier 284 Z. B.: Die zwei Teilflächen des grünen Quadrats (a 2 ) und die drei Teilflächen des blauen Quadrats (b 2 ) ergeben zusammen die Fläche des roten Quadrats (c 2 ). Daher gilt: a 2 + b 2 = c 2 (Beweis von J. Versluys). 287 a) Z. B.: Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte. Sein berühmtestes Werk − Elemente − ist eine Sammlung des Wissens der griechischen Mathematik seiner Zeit. Aufnahme in dieses Werk fand nur mathematisches Wissen, das einer strengen Beweisführung standhielt. So wurde dieses Werk zum Vorbild der modernen Mathematik. Euklid konnte auch beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Berühmt ist auch die euklidische Geometrie. b) Z. B.: Abbildung 1: Über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden Quadrate errichtet. Abbildung 2: Im rechtwinkligen Dreieck wird die Höhe h auf die Hypotenuse c eingezeichnet und ins Hypotenusenquadrat verlängert. So wird die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte q und p geteilt und das Hypotenusenquadrat in die Rechtecke mit den Flächeninhalten A = q · c und A = p · c. Nun wird noch eine Parallele zur Hypotenuse durch den linkesten Eckpunkt des linken Kathetenquadrats (A = b 2 ) gezogen. Das linke Kathetenquadrat wird so in ein Trapez und ein, zum ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck, kongruentes Dreieck geteilt. Das Trapez und das ursprüngliche rechtwinklige Dreieck bilden ein, zum linken Kathetenquadrat, kongruentes Parallelogramm. Abbildung 3: Durch Drehung um den linken Eckpunkt A des rechtwinkligen Dreiecks wird eine Seite des Paralleenusenquadrats zur Deckung gebracht. Abbildung 4: Das Parallelogramm wird durch Streckung in ein flächengleiches Rechteck übergeführt. Dieses Rechteck ist flächengleich dem Rechteck mit dem Flächeninhalt A = q · c. Daraus folgt: b 2 = c · q (Kathetensatz). Verfährt man ebenso mit dem rechten Kathetenquadrat (A = a 2 ), erhält man einen Beweis für die Gültigkeit des zweiten Kathetensatzes: a 2 = c · p. Mithilfe der beiden Kathetensätze kann der Satz des Pythagoras bewiesen werden. a 2 + b 2 = c · p + c · q = c · (p + q) = c · c = c 2 Basis und Plus – Das kann ich! 294 a) a = b = 13,7cm; u = 48,4 cm; A = 92,4 cm 2 b) c = 4,2dm; u = 48,4dm; A = 46,2 dm 2 295 a) u = 12,6dm; h = 3,64dm (3,6373…); A = 7,64 dm 2 (7,6383…) b) a = 74,2 cm (74,247…); u = 223 cm (222,74…); A = 23,9 dm 2 (23,870…) c) a = 45,3mm (45,3); h = 39,3mm (39,259…); A = 890 mm 2 (889,88…) 296 a) d = 26,9 cm b) b = 3,32m (3,3241…) c) a = 2,02m; d = 2,10m (2,1016…) 297 a) d = 273mm (272,94…) b) a = 37,2 cm (37,193…) c) a = 2,4m; d = 3,39m (3,3941…) 298 a) a = 10,9 cm; u = 43,6 cm; A = 109 cm 2 (109,2) b) e = 14,4m; u = 68m; A = 222 m 2 (221,76) 299 a) x = 9 cm, a = 41 cm, b = 58 cm b) y = 36mm, a = 25mm, e = 56mm 300 a) x = 8,04m (8,0392…); c = 3,42m (3,4214…); e = 17,3m (17,255…) b) x = 1,21 dm; a = 12,4dm (12,41); b = 6,71 dm 301 a) a = 24,3dm; q = 25,9dm (25,92); b = 32,4dm; h = 19,4dm (19,44) b) a = 29,5 cm (29,455…); p = 18,5 cm; b = 36,5 cm (36,496…); h = 22,9 cm (22,921…) c) a = 37,6m (37,589…); b = 68,9m (68,914…); c = 78,5m; h = 33m 302 a) d 1 = 122 cm; d 2 = 169 cm; d 3 = 121 cm (121,01…); d R = 170 cm (170,42…) b) d 1 = 27,9m (27,941…); d 2 = 36,3m (36,303…); d 3 = 31,2m (31,229…); d R = 39,2m (39,204…) 303 a) d = 57,8 cm (57,841…); d R = 70,8 cm (70,840…) b) d = 19,7cm (19,657…); d R = 24,1 cm (24,075…) 216 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv